Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

 Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ \(A\) để đi đến \(B\) với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quảng đường \(AB\) dài \(120\,\,{\rm{km}}\). Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là \(10\,\,{\rm{km/h}}\) nên xe ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Giải hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x  + 2\sqrt {y - 1}  = 5}\\{4\sqrt x  - \sqrt {y - 1}  = 2}\end{array}} \right.\].

2) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \((d):y = mx + 5\).

a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \[A\left( {0;5} \right)\] với mọi giá trị của \(m.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là\[{x_1},{x_2}\] (với \[{x_1} < {x_2}\]) sao cho \[\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|.\]

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] ngoại tiếp tam giác nhọn \[ABC\]. Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ \[AB\] và cung nhỏ \[BC\]. Hai dây \[AN\] và \[CM\] cắt nhau tại điểm \(I.\) Dây \[MN\] cắt các cạnh \[AB\] và \[BC\] lần lượt tại các điểm \(H\) và \(K\).

1) Chứng minh bốn điểm \[C,N,K,I\] cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \[N{B^2} = NK.NM\].

3) Chứng minh tứ giác \[BHIK\]là hình thoi.

4) Gọi \(P,Q\) lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác \[MBK\], tam giác \[MCK\] và \[E\] là trung điểm của đoạn \[PQ\]. Vẽ đường kính \[ND\] của đường tròn \[\left( O \right)\]. Chứng minh ba điểm \[D,E,K\] thẳng hàng.

Cho các số thực \(a,b,c\) thay đổi luôn thỏa mãn \[a \ge 1,\,b \ge 1,\,c \ge 1\] và \[ab + bc + ca = 9\].

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2}\].