Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2015 - 2016 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng \[60\,\,{\rm{km}}\], sau đó chạy xuôi dòng \(48\,\,{\rm{km}}\) trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2 km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài III 

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + \sqrt {x + 1}  = 4\\\left( {x + y} \right) - 3\sqrt {x + 1}  =  - 5\end{array} \right.\].

Cho phương trình \[{x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\] (\(x\) là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Bài IV 

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \[AB\]. Lấy điểm \(C\) trên đoạn thẳng \[AO\] (\(C\) khác \(A\), \(C\) khác \(O\)). Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với \[AB\] cắt nửa đường tròn tại \(K\). Gọi \(M\) là điểm bất kì trên cung \[KB\] (\(M\) khác \(K\), \(M\) khác \(B\)). Đường thẳng \[CK\] cắt các đường thẳng \[AM\], \[BM\] lần lượt tại \(H\) và \(D\). Đường thẳng \[BH\] cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai \(N\).

1) Chứng minh tứ giác \[ACMD\] là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \[CA.CB = CH.CD\].

3) Chứng minh ba điểm \(A,N,D\) thẳng hàng và tiếp tuyến tại \(N\) của nửa đường tròn đi qua trung điểm của \[DH\].

4) Khi \(M\) di động trên cung \[KB\], chứng minh đường thẳng \[MN\] luôn đi qua một điểm cố định.

Bài V 

Với hai số thực không âm \(a,b\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \frac{{ab}}{{a + b + 2}}\].