Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 50)
34 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tập nghiệm của bất phương trình\({2^{x - 3}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x + 1}}\)là
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Ta có \({2^{x - 3}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 3}} < {\left( {\frac{1}{{{2^2}}}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 3}} < {2^{ - 2x - 2}}\)\( \Leftrightarrow x - 3 < - 2x - 2 \Leftrightarrow x < \frac{1}{3}\).
Tập nghiệm của bất phương trình: \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\). Chọn A.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + 2\) đạt cực trị bằng 0 tại \(x = 1\) (với \(b\),\(c\) là hằng số).
a) Giá trị của \(b + c\) bằng \( - 3\).
a) Đúng. Ta có \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + 2\) đạt cực trị bằng 0 tại \(x = 1\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + b + c + 2 = 0\\3 + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = - 3\\2b + c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = - 3\end{array} \right.\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = - 1\).
b) Đúng. Từ câu a), ta có \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\), \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên, hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = - 1\).
c) Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 0.
c) Sai. Theo bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số bằng \(4\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).
d) Sai. Theo bảng biến thiên, hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 1,\,\,{u_2} = 5\). Công sai của cấp số cộng đó bằng
\( - 5\).
\( - 6\).
\(6\).
\(4\).
Ta có \(d = {u_2} - {u_1} = 5 - \left( { - 1} \right) = 6\). Chọn C.
Trường THPT X có \(800\) học sinh, trong đó có \(360\) học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Trong số các học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao của trường có \(188\) học sinh biết bơi. Trong số các học sinh của trường không tham gia câu lạc bộ thể thao có \(132\) học sinh biết bơi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT X.
Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”.
Gọi \(B\) là biến cố: “Chọn được học sinh biết bơi”.
a) Xác suất \(P\left( A \right) = 0,45\).
a) Đúng. Xác suất \(P\left( A \right) = \frac{{360}}{{800}} = 0,45\).
b) Xác suất có điều kiện \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2\).
b) Sai. Số học sinh không tham gia câu lạc bộ là: \(800 - 360 = 440\).
Xác suất có điều kiện \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{132}}{{440}} = 0,3\).
c) Xác suất \(P\left( B \right) = 0,45\).
c) Sai. Số học sinh biết bơi là: \(188 + 132 = 320\).
Xác suất \(P\left( B \right) = \frac{{320}}{{800}} = 0,4\).
d) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi bằng \(0,58\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) Sai. Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{188}}{{360}}\).
Áp dụng công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,45 \cdot \frac{{188}}{{360}}}}{{0,4}} = \frac{{47}}{{80}} = 0,5875 \approx 0,59\).
Nếu \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 5\) thì \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + \sin x} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
\( - 4\).
\( - 7\).
\( - 6\).
\( - 3\).
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + \sin x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x{\rm{d}}x} = - 5 - \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = - 5 - \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0 = - 4\).
Chọn A.
Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển động tăng tốc với tốc độ (m/s) (trong đó, \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn \[1\] giây so với xe Taxi và có gia tốc bằng \(a\)\[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\](\(a\) là hằng số). Sau khi xe Cứu thương xuất phát được \[17\] giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe Taxi nhập làn cao tốc sau \[20\] giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong \[28\] giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
Gọi \(t\) là thời gian tính từ lúc xe Taxi bắt đầu chuyển động (\(t \ge 0\), đơn vị giây).
Vận tốc của xe Taxi: \({v_T}\left( t \right) = - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t\) (m/s).
Xe Cứu thương xuất phát sau 1 giây (\(t = 1\)) với gia tốc \(a\) và vận tốc ban đầu \(0\).
Gọi \(t' = t - 1\) là thời gian chuyển động của xe Cứu thương (\(t' \ge 0\)).
Vận tốc xe Cứu thương: \({v_A}\left( {t'} \right) = at'\).
Quãng đường xe Cứu thương: \({S_A}\left( {t'} \right) = \frac{1}{2}a{\left( {t'} \right)^2}\).
a)Sai. Quãng đường xe Taxi đi được đến khi nhập làn (\(t = 20\)\[{\rm{s}}\]):
\({S_T}\left( {20} \right) = \int\limits_0^{20} {{v_T}\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right){\rm{d}}t} \) \[ = \left. {\left( { - \frac{{{t^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}}{t^2}} \right)} \right|_0^{20} = - \frac{{{{20}^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}} \cdot {20^2} = \frac{{4240}}{{27}} \approx 157\,{\rm{(m)}}\].
b)Xe Cứu thương chuyển động với gia tốc \(a = \frac{{300}}{{289}}\)\[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].
b)Sai. Xe Cứu thương xuất phát được \[17\] giây thì đuổi kịp Taxi. Tức là tại \(t' = 17{\rm{s}}\) (ứng với \(t = 18{\rm{s}}\) của Taxi).
Tại \(t = 18\), quãng đường hai xe đi được bằng nhau:
\({S_T}\left( {18} \right) = \int\limits_0^{18} {{v_T}\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^{18} {\left( { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{{{t^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}}{t^2}} \right)} \right|_0^{18} = - \frac{{{{18}^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}} \cdot {18^2} = \frac{{642}}{5}\,{\rm{(m)}}\).
\({S_A}\left( {17} \right) = \frac{1}{2}a \cdot {17^2} = \frac{{289}}{2}a\).
\({S_T}\left( {18} \right) = {S_A}\left( {17} \right) \Rightarrow \frac{{642}}{5} = \frac{{289}}{2}a \Rightarrow a = \frac{{1284}}{{1445}}\,\,{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
c) Xác suất \(P\left( B \right) = 0,45\).
c)Sai. Vận tốc xe Cứu thương khi đuổi kịp Taxi (\(t' = 17{\rm{s}}\)):
\({v_A}\left( {17} \right) = a \cdot t' = \frac{{1284}}{{1445}} \cdot 17 = \frac{{1284}}{{5 \times {{17}^2}}} \cdot 17 = \frac{{1284}}{{85}} \approx 15\,\,({\rm{m/s}})\).
d) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi bằng \(0,58\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d)Đúng. Vận tốc trung bình từ lúc gặp nhau (\(t = 18\)) đến \(t = 28\):
Vận tốc trung bình của xe Taxi từ lúc \[t = 18{\rm{s}}\] đến \[t = 28{\rm{s}}\]:
\[{v_T}\left( {TB} \right) = \frac{{\int\limits_{18}^{28} {v\left( t \right)\,{\rm{d}}t} }}{{28 - 18}} = \frac{{\int\limits_{18}^{28} {\left[ { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right]\,{\rm{d}}t} }}{{28 - 18}} = \frac{{\frac{{1510}}{9}}}{{10}} = \frac{{151}}{9} \approx 16,78\,\,({\rm{m/s}})\].
Vận tốc trung bình của xe Cứu thương từ lúc \[t = 17{\rm{s}}\] đến \[t = 27{\rm{s}}\]
\({S_A}\left( {27} \right) = \frac{1}{2}a{.27^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1284}}{{1445}} \cdot 729 = \frac{{468018}}{{1445}}\,\,({\rm{m}})\).
\({S_A}\left( {17} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1284}}{{1445}} \cdot {17^2} = \frac{{642}}{5}\) (m).
\[{v_A}\left( {TB} \right) = \frac{{{S_A}\left( {27} \right) - {S_A}\left( {17} \right)}}{{27 - 17}} = \frac{{\frac{{468018}}{{1445}} - \frac{{642}}{5}}}{{10}} \approx 19,55\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
Do đó \[{v_A}\left( {TB} \right) > {v_T}\left( {TB} \right)\] hay trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ \[28\] (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 1\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 1\].
\[F\left( x \right) = {e^x} + x + 1\].
\[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2}\].
\[F\left( x \right) = {e^x} + 2{x^2}\].
Ta có \[F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\].
Theo đề bài ta có \[F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^0} + {0^2} + C = 1 \Rightarrow C = 0\].
Vậy \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2}\]. Chọn C.
Một tàu thăm dò tự hành (AUV) đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ \(Oxyz\) được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trục \(Oz\) hướng thẳng đứng xuống dưới (độ sâu \(z > 0\)), đơn vị tính bằng hectômét (hm). AUV bắt đầu hành trình từ vị trí \(A\left( {8;6;1} \right)\) và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối \(B\left( {4; - 2;2} \right)\). Trong hành trình của mình AUV cần tránh một khu vực hình cầu \(\left( S \right)\), tâm tại điểm \(K\left( {2; - 4;2} \right)\), bán kính \(R = 1\)hm (khu vực có thiết bị nhạy cảm).
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
a) Đúng.Đường thẳng chứa hành trình của AUV đi qua điểm \(A\left( {8;6;1} \right)\) và nhận\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 8;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x - 8}}{{ - 4}} = \frac{{y - 6}}{{ - 8}} = \frac{{z - 1}}{1}\).
b)Xe Cứu thương chuyển động với gia tốc \(a = \frac{{300}}{{289}}\)\[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].
b) Đúng.Mặt cầu \(\left( S \right)\), tâm tại điểm \(K\left( {2; - 4;2} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\).
c) Vận tốc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của xe Cứu thương tại thời điểm đuổi kịp xe Taxi khoảng \[16\,\,{\rm{(m/s)}}\].
c) Đúng.Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 8;1} \right) \Rightarrow AB = 9\); \(\overrightarrow {AK} = \left( { - 6; - 10;1} \right) \Rightarrow AK = \sqrt {137} > 1\);
\(\overrightarrow {KB} = \left( {2;2;0} \right) \Rightarrow KB = 2\sqrt 2 > 1\) suy ra \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu.
Giao điểm \(I,J\) của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 4}} = \frac{{y - 6}}{{ - 8}} = \frac{{z - 1}}{1} = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{80}}{{27}}\\y = - \frac{{110}}{{27}}\\z = \frac{{61}}{{27}}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = - \frac{{44}}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Từ (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t + 8\\y = - 8t + 6\\z = t + 1\end{array} \right.\). Thế vào (2) ta được:
\({\left( { - 4t + 8 - 2} \right)^2} + {\left( { - 8t + 6 + 4} \right)^2} + {\left( {t + 1 - 2} \right)^2} = 1\)
\({\left( {4t - 6} \right)^2} + {\left( {8t - 10} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\)
\(16{t^2} - 48t + 36 + 64{t^2} - 160t + 100 + {t^2} - 2t + 1 = 1\)
\(81{t^2} - 210t + 136 = 0\)
\(t = \frac{{34}}{{27}}\) hoặc \(t = \frac{4}{3}\)
Với \(t = \frac{{34}}{{27}}\) ta được điểm \(I\left( {\frac{{80}}{{27}};\frac{{ - 110}}{{27}};\frac{{61}}{{27}}} \right)\).
Với \(t = \frac{4}{3}\) ta được điểm \(J\left( {\frac{8}{3};\frac{{ - 14}}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{{ - 136}}{{27}};\frac{{ - 272}}{{27}};\frac{{34}}{{27}}} \right)\); \(\overrightarrow {IJ} = \left( {\frac{{ - 8}}{{27}};\frac{{ - 16}}{{27}};\frac{2}{{27}}} \right)\); \(\overrightarrow {JB} = \left( {\frac{4}{3};\frac{8}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AI} = 17\overrightarrow {IJ} \) nên \(I\) nằm giữa \(A\) và \(J\).
\(\overrightarrow {IJ} = - \frac{2}{9}\overrightarrow {JB} \) hay \(\overrightarrow {BI} = \frac{7}{2}\overrightarrow {IJ} \) nên \(I\) nằm giữa \(J\) và \(B\).
Nhận thấy hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu về cùng một phía so với hai điểm \(I,J\) nên trên hành trình AUV luôn cách tâm \(K\) một khoảng lớn hơn hoặc bằng \(KB = 2\sqrt 2 > 1 = R\) .
d)Trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ \[28\] (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.
d) Đúng.Vìhai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu về cùng một phía so với hai điểm \(I,J\) nên hành trình của AUV không đi qua khu khu vực có thiết bị nhạy cảm hình cầu \(\left( S \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], bán kính của mặt cầu \[\left( S \right)\]: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 6z + 3 = 0\] bằng
\[\sqrt {41} \].
\[2\sqrt 2 \].
\[41\].
\[8\].
Ta có \[a = \frac{2}{{ - 2}} = - 1;\,b = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1;\,c = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3;\,d = 3\].
Suy ra \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2} - 3} = 2\sqrt 2 \]. Chọn B.
Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm\[A\left( { - 3;1; - 2} \right)\], \[B\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\],\[C\left( { - 3;1;1} \right)\]. Độ dài của \[\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \] bằng
\[\sqrt {57} \].
\[\sqrt 7 \].
\[3\sqrt {33} \].
\[\sqrt {17} \].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0;\,0;\,3} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \left( {0;\,0;\,6} \right)\].
Vậy \[\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \left( {2;\, - 2;\,7} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {7^2}} = \sqrt {57} \]. Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \[\log \left( {2x - 1} \right) = \log \left( {{x^2} - 4} \right)\] là
\[2\].
\[0\].
\[1\].
\[3\].
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\{x^2} - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\].
Khi đó \[\log \left( {2x - 1} \right) = \log \left( {{x^2} - 4} \right) \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\] .
Ta thấy \[x = 3\] thỏa mãn và \[x = - 1\] không thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy số nghiệm của phương trình là \[1\]. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {7; + \infty } \right)\).
\(\left( {3;7} \right)\).
\(\left( { - \infty ;7} \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Ta có\(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {3;7} \right)\) nênhàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {3;7} \right)\). Chọn B.
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thì được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \(\)\(\left[ {0\,;\,20} \right)\) | \(\left[ {20\,;\,40} \right)\) | \(\left[ {40\,;\,60} \right)\) | \(\left[ {60\,;\,80} \right)\) | \(\left[ {80\,;\,100} \right)\) |
Số học sinh | 2 | 5 | 7 | 19 | 9 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?
\(\left( {22;24} \right)\).
\(\left( {20;22} \right)\).
\(\left( {18;20} \right)\).
\(\left( {24;26} \right)\).
Ta có bảng sau:
Thời gian (phút) | \(\)\(\left[ {0\,;\,20} \right)\) | \(\left[ {20\,;\,40} \right)\) | \(\left[ {40\,;\,60} \right)\) | \(\left[ {60\,;\,80} \right)\) | \(\left[ {80\,;\,100} \right)\) |
Giá trị đại diện | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
Số học sinh | 2 | 5 | 7 | 19 | 9 |
Cỡ mẫu: \(n = 2 + 5 + 7 + 19 + 9 = 42\).
Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\(\overline x = \frac{{2 \cdot 10 + 5 \cdot 30 + 7 \cdot 50 + 19 \cdot 70 + 9 \cdot 90}}{{42}} = \frac{{190}}{3} \approx 63,3\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\({s^2} = \frac{1}{{42}}\left[ {2 \cdot {{\left( {10 - \bar x} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {30 - \bar x} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {50 - \bar x} \right)}^2} + 19 \cdot {{\left( {70 - \bar x} \right)}^2} + 9 \cdot {{\left( {90 - \bar x} \right)}^2}} \right] \approx 469,8\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s \approx \sqrt {469,8} \approx 21,7\). Chọn B.
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{2}\]. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\]?
\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 9;12; - 6} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;4; - 2} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_3}} = \left( {6;8;4} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_4}} = \left( {3;4;2} \right)\].
Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {3; - 4;2} \right)\]. Suy ra \[ - 3\overrightarrow u = \left( { - 9;12; - 6} \right)\] cũng là vectơ chỉ phương của \[d\]. Chọn A.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 9x - 6}}{x}\) có phương trình là
\(y = 2x - 18\).
\(y = - x - 9\).
\(y = x + 9\).
\(y = x - 9\).
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 9x - 6}}{x} = x - 9 - \frac{6}{x}\).
Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 9} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{ - 6}}{x}} \right) = 0\) nên phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \(y = x - 9\). Chọn D.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là:
\(x - y - 2z = 0\).
\(2x + y - 2z = 0\).
\(2x + y - 2z + 1 = 0\).
\(2x - y + 2z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\, - 2\,;2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5\,;\, - 4\,;3} \right)\).
Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với cả \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{n_1}} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{n_2}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2\,;1\,;\, - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2\,;1\,;\, - 2} \right)\) có phương trình là: \(2x + y - 2z = 0\). ChọnB.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích \[330{\rm{ml}}\]. Tìm bán kính của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,74.
Giả sử chi phí sản xuất các mặt hình trụ là như nhau và các mép nối không đáng kể.
Ta có, thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = 330{\rm{ (ml)}} = 330{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}) \Rightarrow h = \frac{{330}}{{\pi {r^2}}}{\rm{ (cm)}}\).
Diện tích toàn phần của hộp đựng là: \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot h = 2\pi {r^2} + \frac{{660}}{r}\).
Ta có \(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{660}}{{{r^2}}}\); \(S'\left( r \right) = 0 \Rightarrow {r^3} = \frac{{165}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}} \approx {\rm{3,74 (cm)}}\).
Bảng biến thiên:
Vậy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}} \approx 3,74{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)
Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\)ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).
Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.
Đáp án: 3390.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 4;0} \right)\), \(\left( {24;0} \right)\) và tọa độ đỉnh \(I\left( {10; - \frac{{17}}{2}} \right)\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}16a - 4b + c = 0\\576a + 24b + c = 0\,\,\,\,\,\,\end{array}\\{100a + 10b + c = - \frac{{17}}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{{392}}\\b = - \frac{{85}}{{98}}\\c = - \frac{{204}}{{49}}\end{array} \right.\).
Nên \(f\left( x \right) = \frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}\).
Thể tích của quả bóng bầu dục là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \pi } \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {\frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}} \right]}^2}{\rm{d}}x = } \frac{{16184\pi }}{{15}}\)\( \approx 3390\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 4a.\] Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,A} \right]\] bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 51.
Cách 1:
Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B.\)
Ta xác định được \(SA = 4a,AB = 2a,AC = 2\sqrt 2 a,SC = 2\sqrt 6 a,SB = 2\sqrt 5 a.\)
Kẻ \(AM \bot SC\) tại \(M\). Xét tam giác vuông \(SAC\) có đường cao \(AM:\)
\(A{C^2} = SC \cdot CM \Leftrightarrow CM = \frac{{A{C^2}}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{3}\);
\(AM = \frac{{SA \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{4a \cdot 2a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 6 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a\).
Kẻ \(BN \bot SC\) tại \(N\). Xét tam giác vuông \(SBC\) có đường cao \(BN:\)
\(B{C^2} = SC \cdot CN \Leftrightarrow CN = \frac{{B{C^2}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{6};\,\,BN = \frac{{SB \cdot BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\).
Ta có \(\frac{{MH}}{{BN}} = \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SC - \frac{{SC}}{3}}}{{SC - \frac{{SC}}{6}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow MH = \frac{4}{5}BN = \frac{4}{5} \cdot \frac{{a\sqrt {30} }}{3} = \frac{{4a\sqrt {30} }}{{15}}\)(với .
Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] = \widehat {AMH}\).
Xét tam giác \(SBN\) có: \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SN}} \Leftrightarrow SH = \frac{{SM \cdot SB}}{{SN}} = \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt 5 a = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a\).
Ta có \(A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} - 2SA \cdot SH \cdot \cos \widehat {ASH} = S{A^2} + S{H^2} - 2 \cdot SA \cdot SH \cdot \frac{{SA}}{{SB}}\)
\( = 16{a^2} + \frac{{64}}{5}{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a \cdot \frac{{4a}}{{2\sqrt 5 a}} = \frac{{16}}{5}{a^2}\).
\( \Rightarrow AH = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}a\).
Khi đó, \(\cos \widehat {AMH} = \frac{{M{A^2} + M{H^2} - A{H^2}}}{{2MA.MH}} = \frac{{\frac{{16}}{3}{a^2} + \frac{{32}}{{15}}{a^2} - \frac{{16}}{5}{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \cdot a \cdot \frac{{4\sqrt {30} }}{{15}}a}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {AMH} \approx 51^\circ .\)
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên thỏa mãn: \(O \equiv A\left( {0\,;0\,;0} \right),\,\,B \in Ox,\,\,D \in Oy,\,\,S \in Oz\).
Không mất tính tổng quát, ta suy ra được \(B\left( {2\,;0\,;0} \right),\,\,D\left( {0\,;2\,;0} \right),\,\,S\left( {0\,;0\,;4} \right){\rm{, }}C\left( {2\,;2\,;0} \right)\).
Gọi \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)\). Khi đó:
\[\left. \begin{array}{l}{{\vec n}_1} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = 8\left( {1\,; - 1\,;0} \right)\\{{\vec n}_2} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = - 4\left( {2\,;0\,;1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].
Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] \approx 51^\circ \).
Trong không gian chọn hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo là kilômét, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(M\left( {1100\,;\,650\,;\,14} \right)\) đến điểm \(N\) trong 20 phút. Nếu đến \(N\) máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là \(Q\left( {1500\,;\,860\,;\,16} \right)\). Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm \(E\left( {\frac{{1700}}{3}\,;\,370\,;\,\frac{{34}}{3}} \right)\) được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí \(N\). Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.
Đáp án: 8.
Do vận tốc của máy bay không đổi nên thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Thời gian máy bay di chuyển từ \(M\) đến \(Q\) là 30 phút nên \(\frac{{MN}}{{MQ}} = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3}\), do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MQ} \).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - 1100\,;\,{y_N} - 650\,;\,{z_N} - 14} \right)\); \(\overrightarrow {MQ} = \left( {400\,;210\,;2} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{2}{3} \cdot 400 + 1100 = \frac{{4100}}{3}\\{y_N} = \frac{2}{3} \cdot 210 + 650 = 790\\{z_N} = \frac{2}{3} \cdot 2 + 14 = \frac{{46}}{3}\end{array} \right.\) tức là \(N\left( {\frac{{4100}}{3}\,;790 & & \,;\frac{{46}}{3}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3}\,;\,140\,;\,\frac{4}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {ME} = \left( {\frac{{ - 1600}}{3}\,;\, - 280\,;\,\frac{{ - 8}}{3}} \right)\).
Khi đó \(\frac{{\frac{{800}}{3}}}{{\frac{{ - 1600}}{3}}} = \frac{{140}}{{ - 280}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 8}}{3}}} = - \frac{1}{2}\) nên ba điểm \(M\), \(E\), \(N\) thẳng hàng; \(M\) nằm giữa \(E\) và \(N\); \(ME = 2MN\).
Giả sử sau \(x\) phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.
Khi đó vận tốc khẩu pháo là \(\frac{{EN}}{{20 - x}}\) km/phút; vận tốc máy bay là \(\frac{{MN}}{{20}}\) km/phút.
Theo đề bài \(\frac{{EN}}{{20 - x}} = 5 \cdot \frac{{MN}}{{20}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(\frac{{3MN}}{{20 - x}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(20 - x = 12\)\( \Leftrightarrow x = 8\).
Vậy sau 8 phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.
Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau: Phí cố định được ước tính trong một năm là \(55\) triệu đồng. Chi phí một phần ăn ước tính khoảng \(22\) nghìn đồng. Giá niêm yết trên thực đơn là \(30\) nghìn đồng. Giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu \(x\) là số phần ăn trong một năm, giả sử \(x\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ {5\,000;\,25\,000} \right]\). Mục tiêu của chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là \(135\) triệu đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa \(300\) ngày một năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt mục tiêu trên?
Đáp án:\(80\).
Tổng chi phí hằng năm cho \(x\) phần ăn là \(22x + 55\,000\) (nghìn đồng).
Tổng lợi nhuận hằng năm cho \(x\) phần ăn là
\(L\left( x \right) = 30x - \left( {22x + 55\,000} \right) = 8x - 55\,000\) (nghìn đồng).
Để đạt mục tiêu lợi nhuận ít nhất \(135\) triệu đồng \( = 135\,000\) nghìn đồng mỗi năm thì
\(L\left( x \right) \ge 135\,000\)\( \Leftrightarrow 8x - 55\,000 \ge 135\,000\)\( \Leftrightarrow x \ge 23\,750\).
Do đó hàng năm, nhà hàng cần phục vụ tối thiểu \(23\,750\) phần ăn thì mới có lợi nhuận như mong muốn.
Do nhà hàng mở cửa \(300\) ngày một năm nên trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ là
\(23\,750:300 \approx 79,2\) (phần ăn).
Vậy để đạt được mục tiêu thì trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ ít nhất \(80\) phần ăn.
Tổng kết năm học 2024 - 2025, đội HSG toán của CLB Toán trường X có \(7\) bạn được khen thưởng: Phát, Phong, Đức, Kiên, Dương, Khoa và Hải. Phần thưởng cho tất cả các bạn gồm có \(4\) quyển sách Đa thức, \(5\)quyển sách Tổ hợp và \(5\) quyển sách Hình học (các quyển sách cùng chủ đề là giống nhau), sao cho mỗi học sinh được \(2\) quyển sách khác chủ đề. Tính xác suất để bạn Khoa và bạn Dương có phần thưởng giống nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,24.
Giả sử có \(x\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp;
\(y\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học;
\(z\)học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x + z = 5}\end{array}}\\{y + z = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}}\\{z = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy có \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp, \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học, \(3\) học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.
Số khả năng chia sách cho \(7\) bạn là \(n\left( \Omega \right) = C_7^2 \cdot C_5^2 \cdot C_3^3 = 210\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Hai bạn Khoa và Dương có phần thưởng giống nhau”.
TH1: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Tổ hợp, khi đó \(5\) bạn còn lại có \(2\)bạn nhận sách Đa Thức và Hình học, \(3\) bạn nhận sách Tổ hợp và Hình học.
Vậy số cách phân chia là: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).
Tương tự, ta có:
TH2: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).
TH3: Khoa và Dương cùng nhận sách Tổ hợp và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^2 = 30\).
Do đó, suy ra \(n\left( A \right) = 10 + 10 + 30 = 50\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{21}} \approx 0,24\).
