Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

\(\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not  = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not  = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Ta có véctơ chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \({\vec u_1}\, = \,\left( {3\,;\,1} \right)\), \({\vec u_2}\, = \,\left( {6\,;\,2} \right)\,\)\( \Rightarrow \,{\vec u_2}\, = \,3{\vec u_1}\,\,\left( 1 \right)\,\).

Lấy điểm \(M\left( { - 1;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_1}\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d_2}\) thấy thỏa mãn \( \Rightarrow \,M\left( { - 1\,;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_2}\) \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.

Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\x + 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\).

Để 3 đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy thì \({d_3}\) phải đi qua điểm \(A\)

\[ \Rightarrow m + 1 - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 6.\]

Chọn A

\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 16 = 0\\{d_2}:x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y =  - 18\end{array} \right..\]

Chọn D

Gọi \[{\vec n_d}\], \[{\vec n_{d'}}\] lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] và \[d':\,\,x + y = 0\]

Ta có \[\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ  \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4.\)

Chọn A

Chọn A

\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]

Chọn B

\[d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}  \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right..\]

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4} \right).\)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5; - 12} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{33}}{{65}}\).

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB:x + 3y - 8 = 0\).

Vì \(C \in \Delta \) nên\(C\left( {2c - 8;c} \right)\) .

Vậy \(C\left( {12;10} \right)\) và \(C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\).

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = (5; - 6)\), \({\vec u_2} = (5;6)\) với \(5.6 \ne  - 6.5\) nên hai vectơ này không cùng phương. Vì vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 5t = 7 + 5{t^\prime }}\\{3 - 6t =  - 3 + 6{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5t - 5{t^\prime } = 5}\\{ - 6t - 6{t^\prime } =  - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{{t^\prime } = 0}\end{array} \Rightarrow M(7; - 3)} \right.} \right.} \right.\) là tọa độ giao điểm hai đường \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

Ta có: \({\vec u_1} = (5; - 6),{\vec u_2} = (5;6){\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 5.5 - 6.6 =  - 11 \ne 0\). Suy ra hai đường thẳng đã cho chỉ cắt nhau mà không vuông góc.

a) Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 2 - 4 \cdot ( - 1) - 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{2}{5}\).

b) Ta có \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 2 + 3t}\end{array} \Rightarrow \Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{3} \Rightarrow \Delta :3x - 2y + 4 = 0} \right.\).

Do đó: \(d(M,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 5) + 4|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 2\sqrt {13} \).

c) Ta dễ dàng chứng minh được \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Ta có \(M(0;3) \in {\Delta _1}\).

d) Khi đó: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{|7.0 + 3 + 12|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = ( - 1; - 1),{\vec n_2} = (2;1)\) với \( - 1.1 \ne  - 1.2\) nên hai vectơ này không cùng phương. Do đó hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau. Thay phương trình \({\Delta _2}\) vào phương trình \({\Delta _1}:(1 - t) - (2 + 2t) - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{4}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y =  - \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

a) Ta có \(\frac{1}{{ - 1}} \ne \frac{2}{3}\) nên \(d\) cắt \({\Delta _1}\). Tọa độ giao điểm của \(d\) và \({\Delta _1}\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 1 = 0}\\{ - x + 3y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{5}}\\{y = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \[d\] cắt \({\Delta _1}\) tại \(A\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\)

b) \({\Delta _2}:y =  - \frac{1}{2}x + 3 \Leftrightarrow x + 2y - 6 = 0\). Ta có \(\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 6}}\) nên \(d//{\Delta _2}\)

c) Ta có \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \ne \frac{{ - 1}}{3}\) nên \(d//{\Delta _3}\)

d) \(d\) cắt \({\Delta _4}:2x + y - 1 = 0\)

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;2)\).

Điều kiện cần: \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}\) cùng phương với \({\vec n_2}\)

\( \Rightarrow 1.2 = (m + 1)m \Rightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - 2}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Thử lại (điều kiện đủ):

- Với \(m = 1\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 - 2t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}:x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.

- Với \(m =  - 2\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 + t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}: - 2x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn đề bài.

Vậy ta tìm được hai giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m = 1;m =  - 2\).

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) có hai vectơ pháp tuyến là \({\vec n_1} = (2; - 3),{\vec n_2} = (4m; - 3)\).

Ta có: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 4m + ( - 3) \cdot ( - 3) = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{8}\).

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;1),{\vec n_2} = (2;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \cos 45^\circ  \Rightarrow \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow 4 + {m^2} = 4 + 4m + {m^2} \Rightarrow m = 0\). Vậy \(m = 0\) thỏa mãn đề bài.

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) qua \(M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0\).

Ta có: \(d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b =  - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a =  - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Với \(3a =  - b\); chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0\).

Với \(b = 0\); chọn \(a = 1 \Rightarrow d:x = 2\).

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

\(d:x - 3y + 13 = 0\) hay \(d:x = 2\).

Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = ( - 33;25),{\vec u_2} = ( - 30; - 40)\); côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{| - 33 \cdot ( - 30) + 25( - 40)|}}{{\sqrt {{{( - 33)}^2} + {{25}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 30)}^2} + {{( - 40)}^2}} }} \approx 0,00483\).

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;6)\).

Điều kiện cần để \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song nhau là \({\vec n_1},{\vec n_2}\) cùng phương

\( \Leftrightarrow 1.6 = (m + 1)m \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m =  - 3}\end{array}} \right.\).

Thử lại:

Với \(m = 2\) thì \({\Delta _2}:2x + 6y - 76 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 38 = 0\).

Ta có \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \in {\Delta _2}\) nên loại \(m = 2\).

Với \(m =  - 3\) thì \({\Delta _2}: - 3x + 6y - 76 = 0\). Ta có \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên loại \(m =  - 3\) thỏa mãn.

Vậy với \(m =  - 3\) thì \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song nhau.