Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Chọn C

Ta có: \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \, = \,\left( {2\,;\, - 1} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,\left( {1\,;\,2} \right)\,\).

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,2.1\, + \,\left( { - 1} \right).2\, = \,0\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_1}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_2}} \,\) \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc.

Chọn B

Gọi \[M\] là giao điểm của 3 đường thẳng \[{d_1};{d_2}{\rm{ }}\]và đường thẳng chứa trục hoành.

\[M \in {d_2} \Rightarrow M\left( { - 1 + t\,;\,3 + 3t} \right),M \in Ox \Rightarrow 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = --1\].

Suy ra \[M\left( { - 2;0} \right)\].

\(M \in {d_1}\)\[ \Rightarrow a\left( { - 2} \right) + 3.0--4 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow a = --2\].

Vậy \(a =  - 2\) là giá trị cần tìm.

Chọn B

Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x--5y + 3 = 0\\x - 3y--7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 44\\y =  - 17\end{array} \right.\).

Vì \[{d_1}\], \[{d_2}\] và \[d\] đồng quy nên đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 44;{\rm{ }} - 17} \right)\)

\[\Delta \] có một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4;\,1} \right)\] nên có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 4} \right).\]

Vì \(d \bot \Delta \) nên \[d\] có một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 4} \right).\]

Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(1\left( {x + 44} \right) - 4\left( {y + 17} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 4y - 24 = 0.\)

Chọn C

Chọn D

Ta có

d1:2x–4y+1=0d2:x=−1+aty=3−a+1t→n→1=1;−2n→2=a+1;a→d1⊥d2n→1⋅n→2=0⇔a+1−2a=0⇔a=1.

Chọn D

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(d\left( {M,{d_1}} \right) = \frac{5}{{13}}d\left( {M,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {5x - 12y + 4} \right|}}{{13}} = \frac{5}{{13}}\frac{{\left| {4x - 3y - 10} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| {5x - 12y + 4\left|  =  \right|4x - 3y - 10} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 12y + 4 = 4x - 3y - 10}\\{5x - 12y + 4 =  - 4x + 3y + 10}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 9y + 14 = 0}\\{9x - 15y - 6 = 0}\end{array}.} \right.} \right.\)

Chọn A

Ta có

d1:2x+23y+5=0→n→1=1;3d2:y−6=0.→n→2=0;1→φ=d1;d2cosφ=31+3.0+1=32→φ=30∘.

Chọn A

Chọn A

Chọn A

\(d\) nhận \[\overrightarrow n  = \left( {5;1} \right)\] là 1 véctơ pháp tuyến.

\(d'\) nhận \[\overrightarrow {n'}  = \left( {5; - 1} \right)\] là 1 véctơ pháp tuyến.

\( \Rightarrow \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {25 + 1} .\sqrt {25 + 1} }} = \frac{{12}}{{13}}\).

Chọn B

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1} \right),\]\[\overrightarrow {AC}  = \left( {0;2} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(AB,AC\)

\( \Rightarrow \cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \)\(\left( {AB,AC} \right) \approx 63^\circ 26'.\)

a) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.

b) Đường thẳng \({m_1}\) song song với đường thẳng \({m_2}\).

c) Hai đường thẳng \({a_1}\) và \({a_2}\) trùng nhau.

d) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là 450

\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (2;1),{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = (1; - 2)\).

Vì 2. \(( - 2) \ne 1.1\) nên hai vectơ trên không cùng phương, suy ra hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.

Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 15 = 0}\\{x - 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{{27}}{5}}\\{y =  - \frac{{21}}{5}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại \(\left( { - \frac{{27}}{5}; - \frac{{21}}{5}} \right)\).

Mặt khác: \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 2) = 0\). Vậy \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.

a) Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (1;0)\).

Vì vậy \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1.1 + \sqrt 3  \cdot 0|}}{{\sqrt {1 + 3}  \cdot \sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 60^\circ \).

b) Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (2;2\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (0;1)\).

Vì vậy \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2.0 + 2\sqrt 3  \cdot 1|}}{{\sqrt {4 + 12}  \cdot \sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ \).

c) \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = (2; - 3)\) nên có một vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (3;2)\);

\({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = (3;2)\).

Ta có: \(3.2 = 2.3\) nên hai vectơ pháp tuyến này cùng phương nhau.

Mặt khác điểm \(A(4;1) \in {d_1}\) và \(A \in {d_2}\). Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trùng nhau.

d) Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - 3)\), \({\vec n_2} = (1; - 3)\) với \(1.( - 3) =  - 3.1\) nên hai vectơ này cùng phương.

Mặt khác: \(A(0;1) \in {\Delta _1}\) mà \(A \notin {\Delta _2}\) nên hai đường thẳng này song song nhau.

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = ( - 1; - 1),{\vec u_2} = (2; - 3)\) với \( - 1\). \(( - 3) \ne  - 1.2\) nên hai vectơ này không cùng phương. Do đó hai đường \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.

Xét hệ hai phương trình \({\Delta _1},{\Delta _2}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - t = 1 + 2{t^\prime }}\\{2 - t = 1 - 3{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - t - 2{t^\prime } =  - 2}\\{ - t + 3{t^\prime } =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{8}{5}}\\{{t^\prime } = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

\(t = \frac{8}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.\). Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{7}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Gọi \(M(a;0)\) là điểm thuộc trục hoành. Khoảng cách từ \(A,M\) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 2y - 3 = 0\) lần lượt là \(\frac{1}{{\sqrt {13} }},\frac{{|3a - 3|}}{{\sqrt {13} }}\). Vì đường thẳng \(\Delta :3x + 2y - 3 = 0\)

cách đều hai điểm \(A,M\) nên \(\frac{1}{{\sqrt {13} }} = \frac{{|3a - 3|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow |3a - 3| = 1 \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}\) hoặc \(a = \frac{2}{3}\).

Vậy \(M\left( {\frac{4}{3};0} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).

Tại thời điểm \(t\), vị trí tàu \(A\) là \(M(3 - 33t; - 4 + 25t)\), vị trí của tàu \(B\) là \(N(4 - 30t;3 - 40t)\). Ta có \(MN = \sqrt {{{(1 + 3t)}^2} + {{(7 - 65t)}^2}}  = \sqrt {4234{t^2} - 904t + 50} \).

\(MN\) nhỏ nhất khi hàm bậc hai \(f(t) = 4234{t^2} - 904t + 50\) đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó: \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 904}}{{2.4234}} = \frac{{226}}{{2117}} \approx 0,107\) (giây).

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}}  \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ  \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) =  - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.

Ta có: \(d//\Delta :x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Mặt khác: \(d(A,d) = 3 \Rightarrow \frac{{| - 2 + 4.3 + c|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = 3 \Rightarrow |10 + c| = 3\sqrt {17} \)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3\sqrt {17}  - 10}\\{c =  - 3\sqrt {17}  - 10}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}:x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\\{{d_2}:x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0;x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta ;\Delta \) qua \(A(5;1)\) nên có phương trình \(a(x - 5) + b(y - 1) = 0 \Rightarrow d:ax + by - 5a - b = 0\).

Ta có: \(d(B,\Delta ) = 5 \Rightarrow \frac{{|2a - 3b - 5a - b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Rightarrow | - 3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {(3a + 4b)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 25{a^2} + 25{b^2}\) \( \Rightarrow 16{a^2} + 9{b^2} - 24ab = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 0 \Rightarrow 4a = 3b\).

Chọn \(a = 3 \Rightarrow b = 4\). Ta có phương trình \(\Delta :3x + 4y - 19 = 0\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  = (2;1),\overrightarrow {AC}  = (0;2)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(AB,AC\)

Nên \(\cos (AB,AC) = \cos |(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )| = \frac{{|\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} |}}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} |}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy (AB,AC)≈63°26'