Chọn D

Ta có: \[\sin \alpha  = \frac{{2,5}}{5} = \frac{1}{2}\] nên \[\alpha  = 30^\circ \].

Vậy góc hợp bởi thang và thân cây cau là \[\alpha  = 30^\circ \].

Chọn D

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

• \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(AB = AC \cdot \tan C = 10\tan 30^\circ  = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\);

• \(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).
Vậy \(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}};\,\,BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).

Chọn B

Ta có \(BH = \frac{{BC}}{2} = 3,615\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có:

\(\tan \widehat {HAB} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{3,615}}{{11}}\) nên \(\widehat {HAB} \approx 18^\circ \).

Suy ra \[\widehat {BAC} = 2\widehat {HAB} \approx 2 \cdot 18^\circ  = 36^\circ .\]

Vậy góc sút của cầu thủ khoảng \(36^\circ \).

Chọn C

Gọi \(A,\,\,D\) là vị trí của người đứng;

\(C,\,\,D\) là vị trí bức tường phía trên và dưới cùng;

\[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[BC.\]

Tứ giác \[ADBH\] là hình chữ nhật nên \(BD = AH = 1,5\;\,{\rm{m}}\);

\[BH = AD = 1,2\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABD\) vuông tại \(D,\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 1,{2^2} + 1,{5^2} = 3,69\).

Suy ra \(AB = \sqrt {3,69}  = 1,92\;\,({\rm{m}}).\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có:

\(A{B^2} = BH \cdot BC\) hay \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}} = \frac{{3,69}}{{1,2}} \approx 3\;\,\,({\rm{m}})\).

Vậy chiều cao của bức tường là \[3{\rm{ m}}.\]

a) Đúng. Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ  - \left( {75^\circ  + 65^\circ } \right) = 40^\circ .\]

b) Đúng. Vì \[\widehat {ABC} = 75^\circ \,;\,\,\widehat {ACB} = 65^\circ \] và \[\widehat {BAC} = 40^\circ \] nên \[\Delta ABC\] nhọn.

c) Đúng. Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ) có \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].

Xét \[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

\[BD = AB \cdot \sin \widehat {BAC} = c \cdot \sin A.\]      \[\left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

\[BD = BC \cdot \sin \widehat {ACB} = a \cdot \sin C.\]      \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c \cdot \sin A = a \cdot \,\sin C\] hay \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}.\]

Chứng minh tương tự, ta được \[b \cdot \sin A = a \cdot \sin B\] hay \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}.\]

Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] hay \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

d) Sai. Từ câu c, ta có: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

Suy ra \[\frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\] hay \[AC = \frac{{1\,\,225 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].