Đề kiểm tra Toán 11 Kết nối tri thức Chương 6 có đáp án - Đề 02
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Biểu thức \(\sqrt a \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^4}}}\) với \(a > 0\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\({a^{\frac{{17}}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{{17}}{6}}}\).
\(\sqrt a \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^4}}}\)\( = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{6}}} = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\). Chọn A.
\(y = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\)
\(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}\).
Ta có \(0 < \frac{1}{\pi } < 1\) suy ra \(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
\(15\).
\(84\).
\(36\).
\(25\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^4}\)\( = 3{\log _a}a + 4{\log _a}b\)\( = 3 + 4 \cdot 3 = 15\). Chọn A.
\(y = {\log _4}\left( {4 - {x^2}} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right)\).
\(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).
Ta có \({x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Chọn D.
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {0;2} \right)\).
\(S = \left( {0;4} \right)\).
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
\({\log _2}x > 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {4; + \infty } \right)\). Chọn D.
\(\left( {0;16} \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\).
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
Ta có \({2^{2x}} < {2^{x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2x < x + 4\)\( \Leftrightarrow x < 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\). Chọn B.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
Có 30 giá trị \(m\) nguyên dương để bất phương trình \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\) có không quá 31 nghiệm nguyên.
\(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = 3\).
Biết \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\). Khi đó \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right) = 36\).
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x < - 2\) (loại).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < m\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).
Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).
Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).
d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).
Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
\(x = - 1\) là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
Phương trình \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\) có nghiệm duy nhất.
Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi \(m \in \left( {4;5} \right)\).
a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Thay \(x = - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).
Do đó \(x = - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau \(f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \(t\) (ngày) là thời gian học và \(f\left( t \right)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. (nguồn: R.I. Charles et al, Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \(k = 0,2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 8 ngày? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(f\left( 8 \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2 \cdot 8}}} \right) \approx 20\).
Trả lời: 20.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Ta có \(2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7\)\( \Leftrightarrow 2{\log _2}x + \frac{3}{{{{\log }_2}x}} = 7\)\( \Leftrightarrow 2\log _2^2x - 7{\log _2}x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{1}{2}\\{\log _2}x = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = 8\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = \sqrt 2 ,{x_2} = 8\).
Vậy \(T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^8} = 16\).
Trả lời: 16.
Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{OA \cdot AB}}{{OA \cdot AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x}} = {\log _b}a\).
Mà \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {\log _b}a = \frac{3}{2}\).
Ta có \({\log _b}\sqrt a = \frac{1}{2}{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
