Đề kiểm tra Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án - Đề 01
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Khẳng định nào sau đây sai?
\(\lim {\left( {\frac{{ - 2024}}{{2025}}} \right)^n} = 0\).
\(\lim {\left( {\sqrt 3 } \right)^n} = + \infty \).
\(\lim {\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} = 0\).
\(\lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\).
Ta có \(\lim {\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} = + \infty \). Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) liên tục tại \(x = 1\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 5\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng bao nhiêu?
\(f\left( 1 \right) = - 5\).
\(f\left( 1 \right) = 1\).
\(f\left( 1 \right) = - 1\).
\(f\left( 1 \right) = 5\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5\). Chọn D.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 5\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) bằng
\(8\).
\( - 8\).
\( - 15\).
\(2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 3 + 5 = 2\). Chọn D.
Tính \(\lim \frac{{3n + 1}}{{n + 2}}\) bằng
\( - \infty \).
\(\frac{1}{2}\).
\( + \infty \).
\(3\).
\(\lim \frac{{3n + 1}}{{n + 2}}\)\( = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{2}{n}}} = 3\). Chọn D.
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ℝ?
\(y = \cos x\).
\(y = \frac{x}{{{x^2} + x + 2}}\).
\(y = \frac{x}{{x + 1}}\).
\(y = {x^2} + 6x + 20\).
Hàm số \(y = \frac{x}{{x + 1}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Chọn C.
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1\)?
\(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \sqrt {x + 1} \).
Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) không xác định tại \(x = 1\). Do đó hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1\). Chọn C.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 + 2m\;{\rm{khi}}\;x < 2\\\sqrt {x + 7} \;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\end{array} \right.\) (\(m\)là tham số).
Khi \(m = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 5\).
Tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) khi \(m = - 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 3\).
a) Khi \(m = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 1 - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {x + 7} = \sqrt {10} \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 7} = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 1 + 2m} \right) = 3 + 2m\); \(f\left( 2 \right) = 3\).
Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) thì \(3 + 2m = 3 \Leftrightarrow m = 0\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 7} = 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\;\;{\rm{khi}}\;x \ne 3\\6\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 3\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}}\). Khi đó:
Hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 6\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
a) Hàm số \(g\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 3\). Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = 3\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 3} \right) = 6\).
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho giá trị của \(M = \lim \left( {\sqrt {9{n^2} - 3n + 7} - 3n} \right)\) là \( - \frac{a}{b}\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b.\)
\(M = \lim \left( {\sqrt {9{n^2} - 3n + 7} - 3n} \right)\)\( = \lim \frac{{ - 3n + 7}}{{\sqrt {9{n^2} - 3n + 7} + 3n}}\)\( = \lim \frac{{ - 3 + \frac{7}{n}}}{{\sqrt {9 - \frac{3}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}} + 3}} = - \frac{1}{2}\).
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \(a + b = 3\).
Trả lời: 3.
Tính \(\lim \left( {\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
\(\lim \left( {\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
\( = \lim \left( {\frac{{2\sqrt 1 - 1\sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} + \frac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{3 \cdot 2}} + ... + \frac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}} \right)\)
\( = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
\( = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\).
Trả lời: 1.
Biết hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}},\;\;x \ne 1\\3m + 1,\;\;\;\;\;\;\;\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\). Hãy tính giá trị biểu thức \(P = 9{m^2} + 6m - 2.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]\[ \Leftrightarrow 3m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\].
Khi đó \(P = 9{m^2} + 6m - 2 = 9 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 6 \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right) - 2 = 6\).
Trả lời: 6.
