Bài tập ôn tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
\(\lim \frac{1}{{{n^4}}}\) bằng
2.
4.
0.
3.
Ta có \(\lim \frac{1}{{{n^4}}} = 0\). Chọn C.
Giới hạn \(\lim \frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + 3}}\) có kết quả là
\(\frac{1}{2}\).
0.
\(\frac{1}{5}\).
\( - \frac{3}{2}\).
Ta có \(\lim \frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + 3}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {\frac{1}{{{n^3}}}} }}{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 0\). Chọn B.
Giới hạn \(\lim \frac{{4n + 2}}{{n - 1}}\) bằng
\( - 2\).
2.
\( - 1\).
4.
\(\lim \frac{{4n + 2}}{{n - 1}}\)\( = \lim \frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{1 - \frac{1}{n}}} = 4\). Chọn D.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
\({u_n} = {\pi ^n}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{{n^5}}}{{2n + 3}}\).
Ta có \(\lim {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) vì \(\frac{2}{5} < 1\). Chọn B.
Cho các dãy số \({u_n},{v_n}\) và \(\lim {u_n} = a;\lim {v_n} = b\). Tính \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)\).
\({a^b}\).
\(a - b\).
\(a + b\).
\(a \cdot b\).
Ta có \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = a - b\). Chọn B.
\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\) bằng
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\)\( = \lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\). Chọn A.
Tính tổng \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + ...\) bằng
\(S = 2\).
\(S = \frac{1}{2}\).
\(S = 3\).
\(S = \frac{1}{3}\).
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên
\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\). Chọn A.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\). Giá trị của \(\lim {u_n}\) bằng
\(3\).
\(7\).
\(1\).
\( - 1\).
Ta có \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\) \( \Leftrightarrow 4 + \lim {u_n} = 3 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1\). Chọn D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^4}}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = - \infty \).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ + }\) thì \(x - 2 > 0\). Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {c;d} \right)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \(\left[ {c;d} \right]\) là
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \(\left[ {c;d} \right]\) là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\). Chọn B.
Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục.
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left[ { - 2; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Chọn A.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\] bằng
\(0\).
\(6\).
\(4\).
\(1\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 6\]. Chọn B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 5x - {x^3}}}{{{x^3} - x + 1}}\) bằng
\( - 1\).
\(1\).
\( - \infty \).
\(0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 5x - {x^3}}}{{{x^3} - x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^3}}} - \frac{5}{{{x^2}}} - 1}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}} = - 1\). Chọn A.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{x - 3}}\).
\(3\).
\(1\).
\(8\).
\( + \infty \).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3x - 1} \right) = 8\). Chọn C.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\).
\( - \sqrt 3 \).
\( - 3\).
\(\sqrt 3 \).
\( + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - \sqrt 3 \). Chọn A.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {10 - {x^2}} - 3}}{{1 - {x^2}}}\).
\(1\).
\(\frac{1}{6}\).
\(0\).
\( - \frac{1}{6}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {10 - {x^2}} - 3}}{{1 - {x^2}}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} + 3} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {10 - {x^2}} + 3}} = \frac{1}{6}\]. Chọn B.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + 1}} - \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\).
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + 1}} - \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} - \left| x \right|\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + x\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right) = - \infty \). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {m;n} \right),a \in \left( {m;n} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\). Chọn C.
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \).
\(f\left( x \right) = \cot x\).
\(f\left( x \right) = \sin x\).
\(f\left( x \right) = \tan x\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.
Tìm m để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}\;\;{\rm{khi}}\;x < 0\\m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 0\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
\(m = - 1\).
\(m = 4\).
\(m = \frac{1}{2}\).
\(m = - 3\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = - \frac{5}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 0\) thì \(m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1\). Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = 1\) khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = 1\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Chọn B.
Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 2\]. Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\).
\(L = - 1\).
\(L = 3\).
\(L = 1\).
\(L = 0\).
\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 1 + 2 = 3\). Chọn B.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và công bội \(q = - \frac{2}{3}\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), với \(n \ge 1\). Giá trị \(\lim {S_n}\) bằng
\(\frac{9}{5}\).
\(\frac{6}{5}\).
\( - \frac{6}{5}\).
\( - \frac{9}{5}\).
Ta có \({S_n} = 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}\)\( = \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]\).
Suy ra \(\lim {S_n}\)\( = \lim \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = \frac{9}{5}\). Chọn A.
Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {5{x^2} - 4x + 2} + x}}\) bằng
\(0\).
\(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 - 1}}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 + 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {5{x^2} - 4x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\left| x \right|\sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}\)\( = \frac{2}{{1 - \sqrt 5 }}\). Chọn B.
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} - 1}}{x} = \frac{a}{b}\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = ab\).
\(\frac{7}{3}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(21\).
\(10\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{7}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}} = \frac{7}{3}\). Chọn A.
Nếu \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = - \infty \) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng
\( - \infty \).
\(0\).
\( + \infty \).
\(a\).
Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\). Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) bằng
\( - \infty \).
\(1\).
\(0\).
\( - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{ - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\]. Chọn D.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = 5\) thì giá trị của \(a\) là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
\({x^2} - 8x + 15 = 0\).
\({x^2} - 11x + 10 = 0\).
\({x^2} + 9x - 10 = 0\).
\({x^2} - 5x + 6 = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{ - x\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}\).
Suy ra \( - \frac{a}{2} = 5 \Leftrightarrow a = - 10\).
Thay \(a = - 10\) vào phương trình \({x^2} - 11x + 10 = 0\) ta thấy thỏa mãn. Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?
Hàm số liên tục trên \(\left[ { - 2;2} \right]\).
Hàm số liên tục trên \(\left( {0;4} \right)\).
Hàm số liên tục tại \[x = 2\].
Hàm số liên tục tại \[x = 1\].
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\). Chọn D.
Hàm số nào dưới đây liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(y = \sqrt x \).
\(y = \tan x\).
\(y = 3{x^3} - 4{x^2} + 1\).
\(y = \cot x\).
Hàm số \(y = 3{x^3} - 4{x^2} + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\), \({v_n} = \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}}\).
\(\lim {u_n} = 7\).
\(\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0\).
\(\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 0\).
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{2}\).
a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{8 + \frac{3}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{4}\).
b) \(\lim {v_n} = \lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{{{n^2}}}} }}{8} = \frac{1}{4}\). Suy ra \(\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0\).
c) \(\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}\).
d) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{4}:\left( {2 \cdot \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\;{\rm{khi}}\;x < 2\\{x^2} - x - 1\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = 2\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\).
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).
d) Với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);
Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 1\) liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Theo câu c, hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 0\\m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}{\rm{khi}}\;x \le 0\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số.
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
\(f\left( 0 \right) = 2m + \frac{1}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(m = \frac{1}{4}\).
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) \(f\left( 0 \right) = m \cdot {0^2} + 2m + \frac{1}{4} = 2m + \frac{1}{4}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}} \right) = 2m + \frac{1}{4}\).
Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) thì \(2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo.
Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 30\).
Một người gửi xe ô tô trong 2,5 giờ thì số tiền phải trả là 55 nghìn đồng.
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
a) Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\30 + 20\left( {x - 1} \right)\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\) hay \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30\).
c) Số tiền phải trả trong 2,5 giờ đầu là \(f\left( {2,5} \right) = 10 + 20 \cdot 2,5 = 60\) nghìn đồng.
d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\).
Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(f\left( x \right) = 30\) liên tục trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = 10 + 20x\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).
\(f\left( x \right) = x,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 3\).
Không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\).
a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) = - 2\).
d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{x}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \le 1\\\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\). Khi đó
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).
c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) = - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\). Khi đó
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = \infty \).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}}\) tồn tại hữu hạn.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty \].
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}} = \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).
c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty \] vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) và \({\left( {x - 3} \right)^2} > 0\) khi \(x \to 3\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \le - 1\\x + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 1 < x < 1\\2x + 3\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\end{array} \right.\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = - 1\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 1\).
a) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\), \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).
b) Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).
c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\); \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\].
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}\) và dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) biết \({v_n} = 3 - \frac{5}{{{2^n}}}\). Khi đó:
\(\lim {v_n} = - 2\).
Với \(a = 1\) thì \(\lim {u_n} = 2\).
Biết \(\lim {u_n} = 1\) và \(\lim {v_n} = b\) thì \(a \cdot b = 6\).
Không có giá trị nào của \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn vô cực.
a) \(\lim {v_n} = \lim \left( {3 - \frac{5}{{{2^n}}}} \right) = 3\).
b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}\)\( = \frac{2}{a}\).
Với \(a = 1\) thì \(\lim {u_n} = 2\).
c) \(\lim {u_n} = 1\) thì \(\frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2\).
Theo câu a, ta có \(b = 3\). Do đó \(a \cdot b = 6\).
d) Với \(a = 0\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn vô cực.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 2\\ax + 2024\;{\rm{khi}}\;x \le 2\end{array} \right.\).
\(f\left( 2 \right) = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 4\).
\(a = - 1010\) thì tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
a) \(f\left( 2 \right) = 2a + 2024\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024\).
d) Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) thì \(2a + 2024 = 4 \Leftrightarrow a = - 1010\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right)\)\( = - 2 + 11 = 9\).
Trả lời: 9.
Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + 2b\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {a{x^2} + bx - 2} \right) = 0\) hay \(4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x - 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {a{x^2} - 2ax} \right) + \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {ax + 1} \right)}}{{x - 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {ax + 1} \right) = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 3\).
Vậy \(S = - 4\).
Trả lời: −4.
Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}} = 10\). Tính \(T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Từ giả thiết ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) - 20} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 20\).
\(T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6f\left( x \right) + 5 - 125}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\)
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]
\[ = 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{{5 \cdot \left( {25 + 25 + 25} \right)}} \approx 0,2\].
Trả lời: 0,2.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\;\;{\rm{khi}}\;x < 3\\1 - x\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 3\end{array} \right.\). Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = a,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = b\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2\).
Suy ra \(a = - 6;b = - 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 40\).
Trả lời: 40.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(a = 2;b = 3\). Vậy \(a + b = 5\).
Trả lời: 5.
Một đơn vị sản xuất ước tính rằng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\). Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)}}{x}\)\( = 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18x + 12}}{{\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} + 3x}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {18 + \frac{{12}}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3} \right)}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18 + \frac{{12}}{x}}}{{\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3}} = 300\).
Trả lời: 300.
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \frac{a}{b}\) trong đó \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*}\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = a + b\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}}{{5x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}{5} = - \frac{3}{5}\].
Suy ra \(a = - 3;b = 5\). Do đó \(P = a + b = 2\).
Trả lời: 2.
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + b.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(S = 4\).
Trả lời: 4.
Cho phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2x + 55\). Gọi \(\overline C \left( x \right)\) là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với số tiền nào (đơn vị triệu đồng)?
Ta có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 55}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{55}}{x}} \right) = 2\).
Trả lời: 2.
Để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\;{\rm{khi}}\;x \ne 1\\m\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\) thì giá trị \(m\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
B. Tự luận
Tìm giới hạn của các dãy số sau
a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\); b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\).
a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{5}{n}}}{{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}\).
b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2}}{{5 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}} = - \frac{2}{5}\).
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}\;\;{\rm{khi}}\;x \ne 2\\1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 2\end{array} \right.\) tại điểm \({x_0} = 2\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }}\]\[ = 1\].
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1\) nên hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + x + 1{\rm{ khi }}x \ge 1\\2x + 4{\rm{ khi }}x < 1\end{array} \right.\) trên tập xác định của nó.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
Trên khoảng \(( - \infty ;1)\): \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(( - \infty ;1)\).
Trên khoảng \((1; + \infty )\): \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \((1; + \infty )\).
Tại điểm\({x_0} = 1\), ta có: \(f(1) = {1^3} + 1 + 1 = 3\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 4) = 6\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^3} + x + 1) = 3\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\). Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Tóm lại \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(( - \infty ;1)\)và \((1; + \infty )\) và gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1.\)
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.
Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là \(\frac{1}{2}\) nên diện tích \({S_1} = \frac{1}{4}\).
Cạnh hình vuông thứ hai là \(\frac{1}{4}\) nên diện tích \({S_2} = \frac{1}{{16}}\),…
Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được \({S_1};\,{S_2};\,{S_3};...\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có \({S_1} = \frac{1}{4}\), \(q = \frac{1}{4}\) nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\) (đvdt).
Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\); b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\]; c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}.\)
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 1} \right) = - 3\).
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x} + 2} \right)}} = 0\).
