Bài tập ôn tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
\(\lim \frac{1}{{{n^4}}}\) bằng
2.
4.
0.
3.
Ta có \(\lim \frac{1}{{{n^4}}} = 0\). Chọn C.
\(\frac{1}{2}\).
0.
\(\frac{1}{5}\).
\( - \frac{3}{2}\).
Ta có \(\lim \frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + 3}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {\frac{1}{{{n^3}}}} }}{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 0\). Chọn B.
\( - 2\).
2.
\( - 1\).
4.
\(\lim \frac{{4n + 2}}{{n - 1}}\)\( = \lim \frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{1 - \frac{1}{n}}} = 4\). Chọn D.
\({u_n} = {\pi ^n}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{{n^5}}}{{2n + 3}}\).
Ta có \(\lim {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) vì \(\frac{2}{5} < 1\). Chọn B.
\({a^b}\).
\(a - b\).
\(a + b\).
\(a \cdot b\).
Ta có \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = a - b\). Chọn B.
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\)\( = \lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\). Chọn A.
\(S = 2\).
\(S = \frac{1}{2}\).
\(S = 3\).
\(S = \frac{1}{3}\).
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên
\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\). Chọn A.
\(3\).
\(7\).
\(1\).
\( - 1\).
Ta có \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\) \( \Leftrightarrow 4 + \lim {u_n} = 3 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1\). Chọn D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^4}}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = - \infty \).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ + }\) thì \(x - 2 > 0\). Chọn D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\).
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \(\left[ {c;d} \right]\) là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} f\left( x \right) = f\left( c \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} f\left( x \right) = f\left( d \right)\). Chọn B.
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left[ { - 2; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Chọn A.
\(0\).
\(6\).
\(4\).
\(1\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 6\]. Chọn B.
\( - 1\).
\(1\).
\( - \infty \).
\(0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 5x - {x^3}}}{{{x^3} - x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^3}}} - \frac{5}{{{x^2}}} - 1}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}} = - 1\). Chọn A.
\(3\).
\(1\).
\(8\).
\( + \infty \).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3x - 1} \right) = 8\). Chọn C.
\( - \sqrt 3 \).
\( - 3\).
\(\sqrt 3 \).
\( + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - \sqrt 3 \). Chọn A.
\(1\).
\(\frac{1}{6}\).
\(0\).
\( - \frac{1}{6}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {10 - {x^2}} - 3}}{{1 - {x^2}}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} + 3} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {10 - {x^2}} + 3}} = \frac{1}{6}\]. Chọn B.
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + 1}} - \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} - \left| x \right|\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + x\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right) = - \infty \). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {m;n} \right),a \in \left( {m;n} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\). Chọn C.
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \).
\(f\left( x \right) = \cot x\).
\(f\left( x \right) = \sin x\).
\(f\left( x \right) = \tan x\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.
\(m = - 1\).
\(m = 4\).
\(m = \frac{1}{2}\).
\(m = - 3\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = - \frac{5}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 0\) thì \(m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1\). Chọn A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = 1\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Chọn B.
\(L = - 1\).
\(L = 3\).
\(L = 1\).
\(L = 0\).
\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 1 + 2 = 3\). Chọn B.
\(\frac{9}{5}\).
\(\frac{6}{5}\).
\( - \frac{6}{5}\).
\( - \frac{9}{5}\).
Ta có \({S_n} = 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}\)\( = \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]\).
Suy ra \(\lim {S_n}\)\( = \lim \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = \frac{9}{5}\). Chọn A.
\(0\).
\(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 - 1}}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 + 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {5{x^2} - 4x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\left| x \right|\sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}\)\( = \frac{2}{{1 - \sqrt 5 }}\). Chọn B.
\(\frac{7}{3}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(21\).
\(10\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{7}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}} = \frac{7}{3}\). Chọn A.
\( - \infty \).
\(0\).
\( + \infty \).
\(a\).
Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\). Chọn B.
\( - \infty \).
\(1\).
\(0\).
\( - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{ - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\]. Chọn D.
\({x^2} - 8x + 15 = 0\).
\({x^2} - 11x + 10 = 0\).
\({x^2} + 9x - 10 = 0\).
\({x^2} - 5x + 6 = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{ - x\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}\).
Suy ra \( - \frac{a}{2} = 5 \Leftrightarrow a = - 10\).
Thay \(a = - 10\) vào phương trình \({x^2} - 11x + 10 = 0\) ta thấy thỏa mãn. Chọn B.
Hàm số liên tục trên \(\left[ { - 2;2} \right]\).
Hàm số liên tục trên \(\left( {0;4} \right)\).
Hàm số liên tục tại \[x = 2\].
Hàm số liên tục tại \[x = 1\].
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\). Chọn D.
\(y = \sqrt x \).
\(y = \tan x\).
\(y = 3{x^3} - 4{x^2} + 1\).
\(y = \cot x\).
Hàm số \(y = 3{x^3} - 4{x^2} + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\), \({v_n} = \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}}\).
\(\lim {u_n} = 7\).
\(\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0\).
\(\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 0\).
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{2}\).
a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{8 + \frac{3}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{4}\).
b) \(\lim {v_n} = \lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{{{n^2}}}} }}{8} = \frac{1}{4}\). Suy ra \(\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0\).
c) \(\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}\).
d) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{4}:\left( {2 \cdot \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = 2\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\).
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).
d) Với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);
Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 1\) liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Theo câu c, hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
\(f\left( 0 \right) = 2m + \frac{1}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(m = \frac{1}{4}\).
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) \(f\left( 0 \right) = m \cdot {0^2} + 2m + \frac{1}{4} = 2m + \frac{1}{4}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}} \right) = 2m + \frac{1}{4}\).
Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) thì \(2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 30\).
Một người gửi xe ô tô trong 2,5 giờ thì số tiền phải trả là 55 nghìn đồng.
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
a) Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\30 + 20\left( {x - 1} \right)\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\) hay \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30\).
c) Số tiền phải trả trong 2,5 giờ đầu là \(f\left( {2,5} \right) = 10 + 20 \cdot 2,5 = 60\) nghìn đồng.
d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\).
Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(f\left( x \right) = 30\) liên tục trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = 10 + 20x\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
\(f\left( x \right) = x,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 3\).
Không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\).
a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) = - 2\).
d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).
c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).
d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) = - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = \infty \).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}}\) tồn tại hữu hạn.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty \].
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}} = \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).
c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty \] vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) và \({\left( {x - 3} \right)^2} > 0\) khi \(x \to 3\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = - 1\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 1\).
a) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\), \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).
b) Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).
c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\); \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\].
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
\(\lim {v_n} = - 2\).
Với \(a = 1\) thì \(\lim {u_n} = 2\).
Biết \(\lim {u_n} = 1\) và \(\lim {v_n} = b\) thì \(a \cdot b = 6\).
Không có giá trị nào của \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn vô cực.
a) \(\lim {v_n} = \lim \left( {3 - \frac{5}{{{2^n}}}} \right) = 3\).
b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}\)\( = \frac{2}{a}\).
Với \(a = 1\) thì \(\lim {u_n} = 2\).
c) \(\lim {u_n} = 1\) thì \(\frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2\).
Theo câu a, ta có \(b = 3\). Do đó \(a \cdot b = 6\).
d) Với \(a = 0\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn vô cực.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
\(f\left( 2 \right) = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 4\).
\(a = - 1010\) thì tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
a) \(f\left( 2 \right) = 2a + 2024\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024\).
d) Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) thì \(2a + 2024 = 4 \Leftrightarrow a = - 1010\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right)\)\( = - 2 + 11 = 9\).
Trả lời: 9.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {a{x^2} + bx - 2} \right) = 0\) hay \(4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x - 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {a{x^2} - 2ax} \right) + \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {ax + 1} \right)}}{{x - 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {ax + 1} \right) = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 3\).
Vậy \(S = - 4\).
Trả lời: −4.
Từ giả thiết ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) - 20} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 20\).
\(T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6f\left( x \right) + 5 - 125}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\)
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]
\[ = 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{{5 \cdot \left( {25 + 25 + 25} \right)}} \approx 0,2\].
Trả lời: 0,2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2\).
Suy ra \(a = - 6;b = - 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 40\).
Trả lời: 40.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(a = 2;b = 3\). Vậy \(a + b = 5\).
Trả lời: 5.
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)}}{x}\)\( = 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18x + 12}}{{\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} + 3x}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {18 + \frac{{12}}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3} \right)}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18 + \frac{{12}}{x}}}{{\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3}} = 300\).
Trả lời: 300.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}}{{5x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}{5} = - \frac{3}{5}\].
Suy ra \(a = - 3;b = 5\). Do đó \(P = a + b = 2\).
Trả lời: 2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(S = 4\).
Trả lời: 4.
Cho phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2x + 55\). Gọi \(\overline C \left( x \right)\) là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với số tiền nào (đơn vị triệu đồng)?
Ta có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 55}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{55}}{x}} \right) = 2\).
Trả lời: 2.
Để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\;{\rm{khi}}\;x \ne 1\\m\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\) thì giá trị \(m\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
B. Tự luận
Tìm giới hạn của các dãy số sau
a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\); b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\).
a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{5}{n}}}{{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}\).
b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2}}{{5 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}} = - \frac{2}{5}\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }}\]\[ = 1\].
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1\) nên hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
Trên khoảng \(( - \infty ;1)\): \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(( - \infty ;1)\).
Trên khoảng \((1; + \infty )\): \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \((1; + \infty )\).
Tại điểm\({x_0} = 1\), ta có: \(f(1) = {1^3} + 1 + 1 = 3\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 4) = 6\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^3} + x + 1) = 3\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\). Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Tóm lại \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(( - \infty ;1)\)và \((1; + \infty )\) và gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1.\)
Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là \(\frac{1}{2}\) nên diện tích \({S_1} = \frac{1}{4}\).
Cạnh hình vuông thứ hai là \(\frac{1}{4}\) nên diện tích \({S_2} = \frac{1}{{16}}\),…
Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được \({S_1};\,{S_2};\,{S_3};...\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có \({S_1} = \frac{1}{4}\), \(q = \frac{1}{4}\) nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\) (đvdt).
Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\); b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\]; c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}.\)
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 1} \right) = - 3\).
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x} + 2} \right)}} = 0\).
