Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đạo hàm của hàm số \(y = 2\sqrt x - \ln x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
\(y' = \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{1}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{x}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{x}\). Chọn D.
hàm của hàm số \(y = x + \sin x\) là
\(1 - \cos x\).
\(1 + \cos x\).
\( - \cos x\).
\(\cos x\).
\(y' = 1 + \cos x\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đạo hàm \(f'\left( 2 \right) = 6\). Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)\) bằng
\(2\).
\(3\).
\(6\).
\(12\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( 2 \right) = 6\). Chọn C.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^3} + 2x\) là
\(3x\).
\(3x + 2\).
\(6x\).
\(6x + 2\).
\(y' = 3{x^2} + 2\); \(y'' = 6x\). Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x - {x^2}}}\). Biết rằng \(f''\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính \({x_1} \cdot {x_2}\).
\({x_1}{x_2} = \frac{3}{4}\).
\({x_1}{x_2} = 1\).
\({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}\).
\({x_1}{x_2} = 0\).
\(f'\left( x \right) = \left( {1 - 2x} \right){e^{x - {x^2}}}\); \(f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = \left[ {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} - 2} \right]{e^{x - {x^2}}}\).
Có \(f''\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x - 1 = 0\).
Ta có \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(4{x^2} - 4x - 1 = 0\) nên theo định lí Vi ét ta có \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}\). Chọn C.
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\) là
\(y' = \cot x\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
\(y' = - \cot x\).
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt x \), có đồ thị \(\left( C \right)\).
Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{6}\).
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) có đạo hàm là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên \(\mathbb{R}\).
Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng 4, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(\frac{1}{2}\).
a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(y' = f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Khi đó \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).
c) \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).
Khi đó \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
d) Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
\(y' = 3{x^2} - 3x - 9\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(y' < 0\) là \(S = \left( { - 1;3} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) bằng \( - 9\).
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của \(\left( C \right)\) có phương trình là \(y = 12x - 11\).
a) \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).
b) Ta có \(y' < 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 < 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;3} \right)\).
c) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) là \(\left( {0;10} \right)\).
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'\left( 0 \right) = - 9\).
d) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 12 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\).
Giá trị nhỏ nhất của \(y'\) là \( - 12\) khi \(x = 1\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = - 1\).
Phương trình tiếp tuyến là \(y = - 12\left( {x - 1} \right) - 1 = - 12x + 11\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Biết đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{4} \cdot \sqrt x - \frac{1}{x} + {3^x}\) có dạng \(y' = \frac{1}{{a\sqrt x }} + \frac{b}{{{x^2}}} + {3^x} \cdot \ln c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng bao nhiêu?
\(y' = \frac{1}{{8\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}} + {3^x} \cdot \ln 3\).
Suy ra \(a = 8;b = 1;c = 3\). Khi đó \(T = 8 + 1 + 3 = 12\).
Trả lời: 12.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( 4 \right) = 5\). Tính đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^2} + 1} \right)\) tại điểm \(x = 1\).
Ta có \(g'\left( x \right) = 6x \cdot f'\left( {3{x^2} + 1} \right).\) Khi đó \(g'\left( 1 \right) = 6 \cdot f'\left( 4 \right) = 6 \cdot 5 = 30\).
Trả lời: 30.
Cho hàm số \(y = \frac{9}{x}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {3;3} \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.
Ta có \(y' = - \frac{9}{{{x^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(y'\left( 3 \right) = - \frac{9}{{{3^2}}} = - 1\).
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là \(y = - \left( {x - 3} \right) + 3 = - x + 6\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm \(A\left( {6;0} \right),B\left( {0;6} \right)\) nên diện tích tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) bằng \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\).
Trả lời: 18.
