Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = - \cos x\).
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = {\sin ^2}x\).
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = \sin x\).
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\). Chọn A.
Hàm số \(y = {x^2} \cdot \cos x\) có đạo hàm là
\(y' = 2x \cdot \cos x + {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x \cdot \sin x + {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x \cdot \cos x - {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x \cdot \sin x - {x^2}\cos x\).
\(y' = {\left( {{x^2} \cdot \cos x} \right)^\prime } = 2x \cdot \cos x - {x^2} \cdot \sin x\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = - 2{x^3} + 6{x^2} - 5\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hoành độ bằng 3 là
\(y = 18x + 49\).
\(y = 18x - 49\).
\(y = - 18x + 49\).
\(y = - 18x - 49\).
Vì \(M \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {3; - 5} \right)\).
Ta có \(y' = - 6{x^2} + 12x\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(y'\left( 3 \right) = - 18\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là \(y = - 18\left( {x - 3} \right) - 5 = - 18x + 49\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = {e^{ - 2x}} \cdot \cos x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(y'' - 4y' + 5y = 0\).
\(y'' + 4y' + 5y = 0\).
\(y' + 4y'' + 5y = 0\).
\(y' - 4y'' + 5y = 0\).
Ta có \(y' = - 2{e^{ - 2x}} \cdot \cos x - {e^{ - 2x}} \cdot \sin x\);
\(y'' = 4{e^{ - 2x}} \cdot \cos x + 2{e^{ - 2x}} \cdot \sin x - \left( { - 2{e^{ - 2x}} \cdot \sin x + {e^{ - 2x}} \cdot \cos x} \right)\)\( = 3{e^{ - 2x}} \cdot \cos x + 4{e^{ - 2x}} \cdot \sin x\).
Suy ra \(y'' + 4y' + 5y = 0\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = 5\). Khi đó \(f'\left( { - 1} \right)\) bằng
\(5\).
\( - 1\).
\( - 5\).
\(4\).
Lời giải
\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = 5\). Chọn A.
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x - x\) tại điểm \({x_0} = 4\) là
\(\frac{9}{2}\).
\(6\).
\(\frac{3}{4}\).
\( - \frac{3}{4}\).
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 1\).
Ta có \(y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} - 1 = - \frac{3}{4}\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - 3x - 8}}{{x + 2}}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \ne - 2\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(\left( {0; - 4} \right)\) là \(y = 2x - 4\).
Hàm số có đạo hàm cấp hai \(f''\left( x \right) = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 3\left( {x + 2} \right) - \left( { - 3x - 8} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2\).
c) Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(\left( {0; - 4} \right)\) là \(y = \frac{1}{2}x - 4\).
d) \(f''\left( x \right) = \frac{{ - 4\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}} = - \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{2024x}}{{x + 1}}\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f'\left( x \right) = \frac{{2024}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \frac{1}{2}\).
\(f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2024} \right) = \frac{1}{{2025}}\).
a) Điều kiện: \(\frac{{2024x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{{2024x}}{{x + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{2024x}}{{x + 1}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{x + 1}}{{2024x}} \cdot \frac{{2024}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
d) \(f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2024} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} = 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động \(h\left( t \right) = 3 + 196t - 4,9{t^2}\), trong đó \(t > 0\), \(t\) là thời gian chuyển động và được tính bằng giây; \(h\) là độ cao so với mặt đất và được tính bằng mét. Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 m/s thì viên đạn ở độ cao so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?
Vận tốc tức thời \(v\left( t \right) = h'\left( t \right) = 196 - 9,8t\).
Thời điểm vận tốc tức thời bằng 98 m/s là \(196 - 9,8t = 98 \Rightarrow t = 10\) (giây).
Khi đó viên đạn ở độ cao là \(h\left( {10} \right) = 3 + 196 \cdot 10 - 4,9 \cdot {10^2} = 1473\) (m).
Trả lời: 1473.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right)\). Phương trình \(y' = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\ln 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\ln 2}}\) với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (loại).
Vậy phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.
Trả lời: 0.
Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s\left( t \right) = 4\sin \left( {t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\), trong đó \(t > 0\), \(t\) tính bằng giây, \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) giây theo đơn vị m/s2.
Ta có \(v'\left( t \right) = 4\cos \left( {t + \frac{{2\pi }}{3}} \right);a'\left( t \right) = - 4\sin \left( {t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) giây là \(a'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 4\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 2{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Trả lời: −2.
