Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 có đáp án - Đề 02
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \({\log _a}b = 3\). Tính giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\).
\(15\).
\(84\).
\(36\).
\(25\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^4}\)\( = 3{\log _a}a + 4{\log _a}b\)\( = 3 + 4 \cdot 3 = 15\). Chọn A.
Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\log _4}\left( {4 - {x^2}} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right)\).
\(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).
Ta có \({x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Chọn D.
\({a^{\frac{{17}}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{{17}}{6}}}\).
\(\sqrt a \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^4}}}\)\( = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{6}}} = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\). Chọn A.
\(y = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}\).
Ta có \(0 < \frac{1}{\pi } < 1\) suy ra \(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
\(\left( {0;16} \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\).
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
Ta có \({2^{2x}} < {2^{x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2x < x + 4\)\( \Leftrightarrow x < 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\). Chọn B.
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {0;2} \right)\).
\(S = \left( {0;4} \right)\).
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
\({\log _2}x > 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {4; + \infty } \right)\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
\(x = - 1\) là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
Phương trình \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\) có nghiệm duy nhất.
Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi \(m \in \left( {4;5} \right)\).
a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Thay \(x = - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).
Do đó \(x = - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
Có 30 giá trị \(m\) nguyên dương để bất phương trình \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\) có không quá 31 nghiệm nguyên.
\(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = 3\).
Biết \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\). Khi đó \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right) = 36\).
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x < - 2\) (loại).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < m\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).
Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).
Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).
d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).
Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Biết phương trình \(2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7\) có hai nghiệm thực \({x_1} < {x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}}\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Ta có \(2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7\)\( \Leftrightarrow 2{\log _2}x + \frac{3}{{{{\log }_2}x}} = 7\)\( \Leftrightarrow 2\log _2^2x - 7{\log _2}x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{1}{2}\\{\log _2}x = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = 8\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = \sqrt 2 ,{x_2} = 8\).
Vậy \(T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^8} = 16\).
Trả lời: 16.
Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{OA \cdot AB}}{{OA \cdot AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x}} = {\log _b}a\).
Mà \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {\log _b}a = \frac{3}{2}\).
Ta có \({\log _b}\sqrt a = \frac{1}{2}{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Ta có \(f\left( 8 \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2 \cdot 8}}} \right) \approx 20\).
Trả lời: 20.
