Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 có đáp án - Đề 02
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \({\log _a}b = 3\). Tính giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\).
\(15\).
\(84\).
\(36\).
\(25\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^4}\)\( = 3{\log _a}a + 4{\log _a}b\)\( = 3 + 4 \cdot 3 = 15\). Chọn A.
Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\log _4}\left( {4 - {x^2}} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right)\).
\(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)\).
\(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).
Ta có \({x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Chọn D.
Biểu thức \(\sqrt a \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^4}}}\) với \(a > 0\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\({a^{\frac{{17}}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{{12}}}}\).
\({a^{\frac{{17}}{6}}}\).
\(\sqrt a \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^4}}}\)\( = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{6}}} = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\). Chọn A.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}\).
Ta có \(0 < \frac{1}{\pi } < 1\) suy ra \(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{2x}} < {2^{x + 4}}\) là
\(\left( {0;16} \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\).
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
Ta có \({2^{2x}} < {2^{x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2x < x + 4\)\( \Leftrightarrow x < 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;4} \right)\). Chọn B.
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}x > 2\) là
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {0;2} \right)\).
\(S = \left( {0;4} \right)\).
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
\({\log _2}x > 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {4; + \infty } \right)\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
\(x = - 1\) là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
Phương trình \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\) có nghiệm duy nhất.
Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi \(m \in \left( {4;5} \right)\).
a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Thay \(x = - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).
Do đó \(x = - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).
c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
Có 30 giá trị \(m\) nguyên dương để bất phương trình \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\) có không quá 31 nghiệm nguyên.
\(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = 3\).
Biết \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\). Khi đó \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right) = 36\).
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).
b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x < - 2\) (loại).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < m\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).
Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).
Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).
d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).
Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Biết phương trình \(2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7\) có hai nghiệm thực \({x_1} < {x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}}\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Ta có \(2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7\)\( \Leftrightarrow 2{\log _2}x + \frac{3}{{{{\log }_2}x}} = 7\)\( \Leftrightarrow 2\log _2^2x - 7{\log _2}x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{1}{2}\\{\log _2}x = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = 8\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = \sqrt 2 ,{x_2} = 8\).
Vậy \(T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^8} = 16\).
Trả lời: 16.
Cho hình chữ nhật \(OABD\), đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua đỉnh \(B\), đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) cắt cạnh \[AB\] tại điểm \(C\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình chữ nhật \(OABD\) và hình chữ nhật \(OACM\), biết tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \({\log _b}\sqrt a \).
Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{OA \cdot AB}}{{OA \cdot AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x}} = {\log _b}a\).
Mà \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {\log _b}a = \frac{3}{2}\).
Ta có \({\log _b}\sqrt a = \frac{1}{2}{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau \(f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \(t\) (ngày) là thời gian học và \(f\left( t \right)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. (nguồn: R.I. Charles et al, Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \(k = 0,2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 8 ngày? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(f\left( 8 \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2 \cdot 8}}} \right) \approx 20\).
Trả lời: 20.
