Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 có đáp án - Đề 01
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} - 5x + 3}} = 81\).
\(5\).
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
\({3^{{x^2} - 5x + 3}} = 81\)\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5x + 3}} = {3^4}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 1 = 0\).
Theo định lí vi ét, tích các nghiệm của phương trình là -1. Chọn C.
Cho \(a,b > 0\) thỏa mãn \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}};{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\). Khi đó:
\(a > 1,b > 1\).
\(a > 1,0 < b < 1\).
\(0 < a < 1,b > 1\).
\(0 < a < 1,0 < b < 1\).
Vì \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}\) mà \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\) nên \(a > 1\).
Vì \({b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\) mà \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\) nên \(0 < b < 1\). Chọn B.
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\ln {e^2} = 2\).
\(\ln {e^2} = 2e\).
\(\log 20 = 2\).
\(\log 10 = 2\).
\(\ln {e^2} = 2\ln e = 2\). Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0\).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \(\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = 0\\{\log _2}x - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;x = - 3\\x = 8\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, ta có \(x = 1;x = 8\).
Vậy phương trình có hai nghiệm. Chọn C.
Với \(a,b\) là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\) bằng
\(2\log a + 3\log b\).
\(\frac{1}{2}\log a + \frac{1}{3}\log b\).
\(3\log a + 2\log b\).
\(2\log a + \log b\).
\(\log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\)\( = \log {a^2} + \log {b^3}\)\( = 2\log a + 3\log b\). Chọn A.
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác 1. Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số \(y = {\log _a}x,y = {b^x},y = {c^x}\).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(c < b < a\).
\(a < b < c\).
\(b < c < a\).
\(c < a < b\).
Hàm số \(y = {c^x}\) nghịch biến nên \(0 < c < 1\).
Hàm số \(y = {b^x};y = {\log _a}x\) đồng biến nên \(a > 1;b > 1\).
Đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) tại điểm có hoành độ là \(x = {\log _b}2 \in \left( {0;1} \right)\).
Suy ra \(b > 2\).
Đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) tại điểm có hoành độ \(x = {a^2} \in \left( {2;3} \right)\).
Do đó \(c < a < b\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(m = {\log _{ab}}a,n = {\log _{\sqrt[4]{{ab}}}}b\) với \(a\) và \(b\) là hai số thực lớn hơn 1.
\(m > 1\).
\(4m + n = 4\).
Biểu thức \(S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{4}\).
\({\log _a}b = \frac{n}{{4m}}\).
a) \(m = {\log _{ab}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {ab} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\log }_a}b}} < 1\).
b) Có \(4m + n = 4{\log _{ab}}a + {\log _{\sqrt[4]{{ab}}}}b\)\( = 4{\log _{ab}}a + 4{\log _{ab}}b\)\( = 4{\log _{ab}}\left( {ab} \right) = 4\).
c) Ta có \(n = {\log _{\sqrt[4]{{ab}}}}b = \frac{4}{{{{\log }_b}\left( {ab} \right)}} = \frac{4}{{1 + {{\log }_b}a}}\).
Khi đó \(S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\)\( = 1 + {\log _a}b + \frac{{1 + {{\log }_b}a}}{4} = \frac{5}{4} + {\log _a}b + \frac{{{{\log }_b}a}}{4} \ge \frac{5}{4} + 2\sqrt {{{\log }_a}b \cdot \frac{{{{\log }_b}a}}{4}} = \frac{9}{4}\).
d) \(\frac{n}{{4m}} = \frac{{4{{\log }_{ab}}b}}{{4{{\log }_{ab}}a}} = {\log _a}b\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = {3^x},y = g\left( x \right) = {9^{{x^2} + 1}}\).
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình \({3^x} = {9^{{x^2} + 1}}\) có hai nghiệm thực phân biệt.
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {3^x}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
a) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
b) Thay \(x = - 1\) vào hàm số \(y = g\left( x \right)\) ta được \(g\left( { - 1} \right) = {9^{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1}} = 81\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( { - 1;81} \right)\).
c) \({3^x} = {9^{{x^2} + 1}}\)\( \Leftrightarrow {3^x} = {3^{2{x^2} + 2}}\)\( \Leftrightarrow x = 2{x^2} + 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 2 = 0\).
Phương trình trên vô nghiệm vì \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = - 15 < 0\).
Do đó phương trình \({3^x} = {9^{{x^2} + 1}}\) vô nghiệm.
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {3^x}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) < {\log _2}\left( {14 - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\14 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x < 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14\).
Ta có \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) < {\log _2}\left( {14 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x - 1 < 14 - x\)\( \Leftrightarrow 3x < 15 \Leftrightarrow x < 5\).
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{2} < x < 5\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Trả lời: 4.
Cho phương trình \({4^x} + {2^{x + 1}} - 3 = 0\) có nghiệm duy nhất là \(a\). Tính \(P = a{\log _3}4 + 1\).
\({4^x} + {2^{x + 1}} - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} + 2 \cdot {2^x} - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = - 3\end{array} \right.\).
Vì \({2^x} > 0\) nên \({2^x} = 1\)\( \Leftrightarrow x = 0\).
Suy ra \(a = 0\). Do đó \(P = 0 \cdot {\log _3}4 + 1 = 1\).
Trả lời: 1.
Giả sử nhiệt độ\(T\)(độ C) của một loại đồ uống được xác định theo công thức: \(T = 22 + 50{e^{\frac{{ - 1}}{8}t}},t \ge 0\) trong đó \(t\) (phút) là khoảng thời gian tính từ lúc pha chế đồ uống đó xong. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút kể từ lúc pha chế xong thì nhiệt độ của đồ uống đó là 45°C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Theo đề ta có \(22 + 50{e^{\frac{{ - 1}}{8}t}} = 45\)\( \Leftrightarrow {e^{\frac{{ - 1}}{8}t}} = \frac{{23}}{{50}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{8}t = \ln \frac{{23}}{{50}}\)\( \Leftrightarrow t = \ln \frac{{23}}{{50}}:\left( {\frac{{ - 1}}{8}} \right) \approx 6,21\).
Vậy sau khoảng 6,21 phút kể từ lúc pha chế xong thì nhiệt độ của đồ uống đó là 45°C.
Trả lời: 6,21.
