Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Phương trình \(\sin x = \frac{1}{5}\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\)?
1.
0.
2.
Vô số.
Vì \(x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) nên \(\sin x < 0\) mà \(\sin x = \frac{1}{5}\) nên phương trình vô nghiệm trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Chọn B.
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}\) ta được kết quả là
\(M = \frac{1}{{\cos x}}\).
\(M = \frac{{\cos 3x}}{{\sin x.\cos x}}\).
\(M = \frac{1}{{\sin x}}\).
\(M = 1\).
\(M = \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}\)\( = \frac{{\sin 2x\cos x - \cos 2x\sin x}}{{\sin x\cos x}}\)\( = \frac{{\sin \left( {2x - x} \right)}}{{\sin x\cos x}}\)\( = \frac{1}{{\cos x}}\). Chọn A.
Tập xác định của hàm số \(y = \cos 2x\) là
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ {0;1} \right]\).
\(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cos 2x\) là \(\mathbb{R}\). Chọn D.
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + 1\) đi qua điểm nào sau đây?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {\pi ;0} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {0;1} \right)\) vào hàm số ta thấy thỏa mãn.
Do đó dồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + 1\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\). Chọn A.
Hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số lượng giác \(y = \sin 2x\).
Hàm số \(y = \sin 2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số \(y = \sin 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\). Chọn C.
Giải phương trình \(\sin x + 1 = 0\) ta được tập nghiệm là
\(S = \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\sin x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.
Cho biểu thức \(A = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}\).
Khi \(x = 0\) thì \(A = 1\).
\(A = 1 + \sin 2x\).
\(A \in \left[ {0;2} \right]\).
Nếu \(\cos 2x = - 1\) thì \[A = - 2\].
a) Thay \(x = 0\) vào biểu thức ta được \(A = {\left( {\sin 0 - \cos 0} \right)^2} = 1\).
b) \(A = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}\)\( = {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\)\( = 1 - 2\sin x\cos x\)\( = 1 - \sin 2x\).
c) Vì \( - 1 \le - \sin 2x \le 1\) nên \(0 \le 1 - \sin 2x \le 2 \Rightarrow A \in \left[ {0;2} \right]\).
d) Có \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1\\\cos 2x = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\sin ^2}2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0\).
Do đó \(A = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(g\left( x \right) = \sin x + \cos x\).
\(g\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).
Với \(\forall x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì \(g\left( x \right) < 0\).
Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng 2.
a) \(g\left( x \right) = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)\)\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
b) \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)\( \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0\). Suy ra \(g\left( x \right) < 0\).
c) Có \(g\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.
Do đó phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
d) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\) là \({x_0} = \frac{m}{n}\pi \) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,n \in \mathbb{N}*\). Tính giá trị của biểu thức \(m + 2n\).
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vì x là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(x = \frac{{2\pi }}{9}\) ứng với k = 0.
Suy ra m = 2; n = 9. Do đó \(m + 2n = 20\).
Trả lời: 20.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết \(\cot 2\alpha = - \frac{{a\sqrt 6 }}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0.
Ta có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{24}}{{25}}\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).
Ta có \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = \frac{{23}}{{25}}\) và \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}}\).
Do đó \(\cot 2\alpha = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = - \frac{{23\sqrt 6 }}{{24}}\).
Khi đó \(a = 23;b = 24\). Vậy \(a + b = 47\).
Trả lời: 47.
Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 12 m khi thủy triểu lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 8 m. Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (\(0 \le t \le 24\)) được cho bởi công thức \(h = m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với m; a là các số thực dương cho trước. Giá trị của \(T = m \cdot a\) là bao nhiêu?
\( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - a \le a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le a\)\( \Leftrightarrow m - a \le m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le m + a\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m + a = 12\\m - a = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 10\\a = 2\end{array} \right.\).
Do đó \(T = m \cdot a = 20\).
Trả lời: 20.
