Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Trong các công thức lượng giác dưới đây, công thức nào đúng.
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{\tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{\tan a + \tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\). Chọn A.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\). Khi đó \(\cos 2\alpha \) bằng
\(\frac{{17}}{{25}}\).
\(\frac{{17}}{5}\).
\( - \frac{3}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = \frac{{17}}{{25}}\). Chọn A.
Đường cong trong hình sau đây là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\):
![Đường cong trong hình sau đây là đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [ − 2 π ; 2 π ] :Khẳng định nào dưới đây sai? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1763283467/image1.png)
Khẳng định nào dưới đây sai?
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Hàm số \(y = \sin x\) có tập giá trị là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ. Chọn D.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\cos \alpha \)bằng
A. \( - \frac{3}{5}\).
B. \( - \frac{3}{{25}}\).
C. \(\frac{9}{{25}}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).
Mà \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{3}{5}\). Chọn A.
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Chọn C.
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\) là
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\sin x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( { - x} \right)\) xác định trên tập D.
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\).
\(y = - \cos x,\forall x \in D\).
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) trên khoảng \(\left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) là \(12\pi \).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
b) \(y = f\left( x \right) = \cos x,\forall x \in D\).
c) \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( { - x} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \cos x = 1\)\( \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
d) Vì \(x \in \left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) nên \( - \pi \le k2\pi \le 6\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le 3\). Mà k ℤ nên \(k = 0;k = 1;k = 2;k = 3\).
Khi đó ta có các nghiệm \(x = 0;x = 2\pi ;x = 4\pi ;x = 6\pi \).
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \(12\pi \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\tan \left( {\alpha + 3\pi } \right) = 3 + 3\pi \).
\(\tan \left( { - \alpha } \right) = - 3\).
\(\cot 2\alpha = - \frac{4}{3}\).
a) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
b) \(\tan \left( {\alpha + 3\pi } \right) = \tan \alpha = 3\).
c) \(\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha = - 3\).
d) \(\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{2\tan \alpha }} = \frac{{1 - {3^2}}}{{2.3}} = - \frac{4}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu L (tính theo đơn vị mét) của mực mước trong kênh theo thời gian t (giờ) được cho bởi công thức \(L = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\). Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \(t = \frac{a}{b}\) (giờ) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \(a \cdot b\).
Ta có \( - 3 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 11 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14 \le 17\).
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + 8k\).
Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất thì k = 0.
Do đó \(t = \frac{2}{3}\). Suy ra \(a = 2;b = 3 \Rightarrow ab = 6\).
Trả lời: 6.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\) có dạng \(x = \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a + b\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{4} + k2\pi \).
Vì nghiệm của phương trình là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(k = 1\).
Do đó \(x = \frac{{5\pi }}{4}\). Suy ra \(a = 5;b = 4\). Vậy T = 5 + 4 = 9.
Trả lời: 9.
Cho góc lượng giác \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) và có \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\cos x < 0\).
Mà \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\) \( \Rightarrow \cos x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(A = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{3} \approx - 0,4\).
Trả lời: −0,4.
