Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án
55 câu hỏi
Chọn khẳng định đúng.
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
Ta có \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \). Chọn D.
Đổi số đo của góc 70° sang đơn vị radian.
\(\frac{7}{{18}}\).
\(\frac{{7\pi }}{{18}}\).
\(\frac{{70}}{\pi }\).
\(\frac{7}{{18\pi }}\).
\(70^\circ = 70.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{{18}}\). Chọn B.
Đổi số đo của góc \(\frac{\pi }{{12}}\) rad sang đơn vị độ.
\(6^\circ \).
\(15^\circ \).
\(10^\circ \).
\(5^\circ \).
π12=π12.180π°=15° Chọn B.
Chọn khẳng định đúng?
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \left( {\alpha \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \left( {\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\({\sin ^2}a + {\cos ^2}b = 1\).
\({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = 1\).
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \left( {\alpha \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\). Chọn A.
Cho \(P = \sin \left( {\pi + \alpha } \right)\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(Q = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(P + Q = 0\).
\(P + Q = - 1\).
\(P + Q = 1\).
\(P + Q = 2\).
\(P = \sin \left( {\pi + \alpha } \right)\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\)\( = \sin \alpha \cos \alpha \).
\(Q = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)\( = - \cos \alpha \sin \alpha \).
Suy ra \(P + Q = 0\). Chọn A.
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0\).
B. \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0\).
C. \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) > 0\).
D. \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) \ge 0\).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha < 0\) vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) \( \Rightarrow \tan \alpha > 0\).
Có \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{5\pi }}{2} < \frac{{3\pi }}{2} + \alpha < 3\pi \)\( \Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) < 0\).
Ta có \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow - \frac{{3\pi }}{2} < - \alpha < - \pi \)\( \Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{{3\pi }}{2} - \pi \)\( \Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{\pi }{2}\).
Do đó \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0;\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0 \Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0\). Chọn B.
Rút gọn biểu thức \(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\). Chọn đáp án đúng?
\(A = - 2\sin x\).
\(A = - 2\cot x\).
\(A = 0\).
\(A = - 2\sin x - 2\cot x\).
\(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)\( = - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x = 0\). Chọn C.
Cho \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \cos \alpha \).
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( - \frac{2}{5}\).
\(\frac{2}{5}\).
Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\cos \alpha < 0\).
Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}\). Chọn B.
Giá trị của biểu thức \(\sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} + \sin \frac{\pi }{{30}}\cos \frac{{4\pi }}{5}\) bằng
\(1\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\sqrt 3 \).
\(0\).
\(\sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} + \sin \frac{\pi }{{30}}\cos \frac{{4\pi }}{5}\)\( = \sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} + \sin \frac{\pi }{{30}}\cos \left( {\pi - \frac{\pi }{5}} \right)\)\( = \sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} - \cos \frac{\pi }{5}\sin \frac{\pi }{{30}}\)\( = \sin \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{30}}} \right)\)\( = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\). Chọn B.
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}\) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\( - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sqrt 3 \).
\( - \sqrt 3 \).
\(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}\)\( = \frac{{2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9}}}{{2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9}}}\)\( = \sqrt 3 \). Chọn C.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\) (giả sử biểu thức A có nghĩa).
\(A = \cos x + \sin x\).
\(A = \cos x - \sin x\).
\(A = \sin x - \cos x\).
\(A = - \sin x - \cos x\).
\(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \cos x - \sin x\). Chọn B.
Cho biết \(\tan x = 5\). Tính giá trị biểu thức \(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\).
\(Q = 1\).
\(Q = \frac{{19}}{{11}}\).
\(Q = - 1\).
\(Q = \frac{{11}}{9}\).
\(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\)\( = \frac{{3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4}}{{1 + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)\( = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\)\( = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\). Chọn A.
Chọn câu sai.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ. Chọn C.
Chọn câu sai?
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \). Chọn A.
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\tan x}}\) là
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}\).
\(x \ne k\pi \).
Điều kiện: \(\tan x \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}\). Chọn C.
Chu kì của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\) là
0.
\(2\pi \).
\(4\pi \).
\(\pi \).
Chu kì của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\) là \(T = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \). Chọn C.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Điều kiện: \(1 + \cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow \cos x \ne - 1\)\( \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Chọn C.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4\) bằng
7.
1.
3.
4.
Ta có \(0 \le {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 0 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 4 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4 \le 7\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4\) bằng 7. Chọn A.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\). Tính \(P = M - m\).
\(P = 2\sqrt 2 \).
\(P = 4\).
\(P = \sqrt 2 \).
\(P = 2\).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\).
Suy ra \(M = 2;m = - 2\). Do đó \(P = M - m = 4\). Chọn B.
Nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) là
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \).
\(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \). Chọn A.
Nghiệm phương trình \(\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0\) là
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Điều kiện: \(\cos 2x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\).
Kết hợp điều kiện ta có \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.
Phương trình \(\cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) có nghiệm là
\(15^\circ + k180^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(30^\circ + k180^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(45^\circ + k180^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(60^\circ + k180^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
Điều kiện: \(\sin \left( {x + 45^\circ } \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + 45^\circ \ne k180^\circ \)\( \Leftrightarrow x \ne - 45^\circ + k180^\circ \).
\(\cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ \)\( \Leftrightarrow x + 45^\circ = 60^\circ + k180^\circ \)\( \Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ \).
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm phương trình là \(x = 15^\circ + k180^\circ \). Chọn A.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi m > 1.
Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| > 1\).
Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(m \le 1\).
Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\). Chọn D.
Nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) là
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \).
\(x = \frac{{k\pi }}{2}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(\sin 2x = 1\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) của phương trình \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\).
0.
1.
2.
3.
\(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) nên \(\pi \le - \frac{\pi }{3} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 2.
Do đó phương trình \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) có 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Chọn B.
Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\) trên \(\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\).
\(\frac{{7\pi }}{4}\).
\(\frac{{3\pi }}{8}\).
\(\frac{{11\pi }}{8}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \).
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\) nên \(\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi < 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 0; k = 1.
Suy ra các nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{3\pi }}{8};x = \frac{{11\pi }}{8}\).
Khi đó tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{{11\pi }}{8} = \frac{{7\pi }}{4}\). Chọn A.
Cho đồ thị hàm số lượng giác ở hình sau
Khoảng đồng biến của hàm số là
\(\left( {\frac{{ - 3\pi }}{2}; - \pi } \right)\).
\(\left( { - \pi ;0} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
Khoảng đồng biến của hàm số là \(\left( { - \pi ;0} \right)\). Chọn B.
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sqrt 3 \cot x = 1\) có giá trị bằng
\(\frac{{ - 2\pi }}{3}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\( - \frac{{4\pi }}{3}\).
\( - \frac{{14\pi }}{3}\).
Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).
Ta có \(\sqrt 3 \cot x = 1\)\( \Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).
Vì nghiệm âm lớn nhất nên \(k = - 1\). Suy ra \(x = - \frac{{2\pi }}{3}\). Chọn A.
Với \(k \in \mathbb{Z}\), phương trình \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\).
\(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sin x\)\( \Leftrightarrow \cos x = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.
Phương trình \(\sin x = \sqrt 3 \cos x\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\)?
3.
2.
0.
1.
\(\sin x = \sqrt 3 \cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\)\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \[0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\] mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Suy ra phương trình có 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Chọn D.
Cho biết \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{4}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
a) \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\).
b) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\).
c) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).
d) \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).
a) Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\).
b) Ta có \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{15}}{{32}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {30} }}{8}\).
c) Ta có \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{17}}{{32}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}\).
d) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}: - \frac{{\sqrt {30} }}{8} = \frac{{\sqrt {255} }}{{18}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho \(\cot x = - \sqrt 3 ,\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \).
a) \(\sin x = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
b) \(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).
c) \(\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - x} \right) = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
d) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
a) b) Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin x < 0;\cos x > 0\).
Ta có \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}\).
Ta có \(\cos x = \cot x.\sin x = \left( { - \sqrt 3 } \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
c) \(\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - x} \right) = \sin \frac{{4\pi }}{3}\cos x - \cos \frac{{4\pi }}{3}\sin x\)\( = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4} - \frac{1}{4} = - 1\).
d) Vì \(\cot x = - \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{3}}}\)\( = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\sqrt 3 }}\)\( = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x - 1\). Khi đó:
Giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\)tại \(x = \frac{\pi }{8}\) bằng 0.
Hàm số \(f\left( x \right)\)là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và tập giá trị là ℝ.
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tuần hoàn.
a) \(f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0\).
b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 2x} \right) - 1 = - \tan 2x - 1 \ne f\left( x \right)\).
Do đó hàm số f(x) không là hàm số chẵn.
c) Điều kiện \(\cos 2x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và tập giá trị là ℝ.
d) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - 5\).
Hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số là một hàm số chẵn.
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −3.
\(y = f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - 5\)\( = 2.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - 5\)\( = - 4 - \cos 2x\).
a) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).
b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = - 4 - \cos \left( { - 2x} \right) = - 4 - \cos 2x = f\left( x \right)\). Do đó hàm số là hàm số chẵn.
c) Có \( - 1 \le - \cos 2x \le 1\)\( \Leftrightarrow - 5 \le - 4 - \cos 2x \le - 3\).
Giá trị lớn nhất của hàm số là −3 khi \(\cos 2x = - 1\)\( \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −5.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right)\) xác định trên tập D.
Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
\(y = \tan x,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{9\pi }}{4}\).
a) \(f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x\).
Điều kiện \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) \(f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x\).
c) \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow - \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
d) Vì \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) nên \( - \pi \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà k ℤ nên k = 0; k = 1; k = 2.
Khi đó phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4}\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \( - \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{9\pi }}{4}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Số lượng (đơn vị: nghìn con) của một loài bướm ở một khu bảo tồn thiên nhiên được biểu diễn theo hàm số \(P\left( t \right) = 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right)\), \(0 \le t \le 12\) với t tính theo tuần kể từ khi các nhà khoa học ước tính số lượng.
Số lượng bướm ban đầu là 5 nghìn con.
Số lượng bướm nhỏ nhất là 3 nghìn con.
Số lượng bướm luôn dao động từ 1 nghìn con đến 5 nghìn con.
Số lượng bướm lần đầu tiên chạm mức 4 nghìn con khi t = 5 tuần.
a) Số lượng bướm ban đầu ứng với t = 0. Khi đó \(P\left( 0 \right) = 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}.0} \right) = 3\) nghìn con.
b) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 1 \le 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 5\).
Suy ra số lượng bướm nhỏ nhất là 1 nghìn con.
c) Theo câu b, ta có số lượng bướm luôn dao động từ 1 nghìn con đến 5 nghìn con.
d) Ta có \(3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) = \frac{1}{2}\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{6}t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 12k\\t = 5 + 12k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
Số lượng bướm lần đầu tiên chạm mức 4 nghìn con khi k = 0 tức là t = 1 tuần.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\).
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) bằng −4.
Hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) có tập xác định là ℝ.
\(f\left( {150^\circ } \right) = 0\).
a) Ta có \( - 4 \le 4\sin x \le 4\)\( \Leftrightarrow - 6 \le 4\sin x - 2 \le 2\).
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 2; giá trị nhỏ nhất của hàm số là −6.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.
b) \(f\left( { - x} \right) = 4\sin \left( { - x} \right) - 2 = - 4\sin x - 2 \ne f\left( x \right)\).
Do đó hàm số không là hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) là \(D = \mathbb{R}\).
d) \(f\left( {150^\circ } \right) = 4\sin 150^\circ - 2 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \sin x\).
Chu kì tuần hoàn của hàm số là \(T = 2\pi \).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ { - 2;2} \right]\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
a) Chu kì tuần hoàn của hàm số là \(T = 2\pi \).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
c) Tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ { - 1;1} \right]\).
d) \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) như hình vẽ
\(f\left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - 1\).
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\).
Trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) phương trình \(\sin x = - \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = 1\).
b) Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\).
c) Trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại 6 điểm phân biệt.
Do đó trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) phương trình \(\sin x = - \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.
d) Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) và \(g\left( x \right) = \sin 5x\).
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\) là \(\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là 3.
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) bằng \(4\pi \).
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là \(\left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\\ - \frac{\pi }{2} \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{17}}{{12}}\end{array} \right.\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(\left[ \begin{array}{l}k = 0;k = 1\\k = 0;k = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3};x = \frac{{7\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{3};x = \frac{{5\pi }}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra phương trình có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
c) Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{3} + \frac{{7\pi }}{3} + \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{5\pi }}{3} = 4\pi \).
d) \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \cos x = \sin 5x\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x = - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Suy ra tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\cos x = \frac{1}{3}\). Biểu thức \(P = {\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x\) có giá trị bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
\(P = {\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 4{\cos ^2}x\)\( = 1 + 4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{13}}{9} \approx 1,4\).
Trả lời: 1,4.
Cho \(\alpha - \beta = \frac{\pi }{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\).
\(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)
\( = 2 + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \frac{\pi }{3} = 3\).
Trả lời: 3.
Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều dương. Biết rằng sau 5 giây, quạt quay được một góc có số đo là \(\frac{a}{b}\pi \) với \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính b – a.
Tốc độ góc của quạt trần là \(\frac{{45}}{{60}}.2\pi = \frac{{3\pi }}{2}\left( {rad/s} \right)\).
Sau 5 giây quạt quay được một góc có số đo là \(\frac{{3\pi }}{2}.5 = \frac{{15\pi }}{2}\).
Suy ra a = 15; b = 2. Do đó b – a = −13.
Trả lời: −13.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm không nhuận được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\) với t ∈ ℕ và \(0 < t \le 365\). Gọi a là ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất và b là ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất trong năm. Tính a + b.
Ta có \( - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\)\( \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\)\( \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\).
Số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là 14 khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow t = 149 + 356k\).
Vì \(0 < t \le 365\) nên ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 149.
Số giờ có ít ánh sáng mặt trời nhất là 6 khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow t = - 29 + 356k\).
Vì \(0 < t \le 365\) nên ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 327.
Suy ra \(a = 149;b = 327\). Do đó \(a + b = 476\).
Trả lời: 476.
Biết rằng tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính a – b.
\(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \cos x + 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + \sin x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x + \sin x - 2 = 0\end{array} \right.\).
TH1: \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{6};x = - \frac{{11\pi }}{6}\); \(x = \frac{{5\pi }}{6};x = - \frac{{7\pi }}{6}\).
TH2: \(\cos x + \sin x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \) (vô nghiệm).
Tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{{11\pi }}{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} + \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - 2\pi \).
Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a - b = - 3\).
Trả lời: −3.
Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2025\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }}\) bằng bao nhiêu?
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ {0;2025\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2025\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}\).
Khi đó \(S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}\)\( = \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)\)\( = \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}\).
Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051\).
Trả lời: 4051.
Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình \(\sin 2x + 2 = m\)có nghiệm là \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó a + b bằng bao nhiêu?
\(\sin 2x + 2 = m\)\( \Leftrightarrow \sin 2x = m - 2\).
Để phương trình có nghiệm thì \( - 1 \le m - 2 \le 1\)\( \Leftrightarrow 1 \le m \le 3\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(a + b = 4\).
Trả lời: 4.
Hằng năm, tại Hội Lim (huyện Tiên Du) thường có trò chơi đu. Giả sử một người chơi đu nhún đều làm cho cây đu đưa người đó dao động qua lại vị trí cân bằng, khoảng cách h từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được xác định bởi \(h = \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right|\), với h tính bằng mét, thời gian t (t ≥ 0) tính bằng giây. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có bao nhiêu lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất?
Ta có \(0 \le \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| \le 3\) hay \(0 \le h \le 3\).
Đẳng thức \(h = 3\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow 2t - 1 = 3k\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{3k + 1}}{2}\left( {k \in \mathbb{Z},3k + 1 \ge 0} \right)\).
Ta thấy \(0 \le \frac{{3k + 1}}{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow 0 \le 3k + 1 \le 20\)\( \Leftrightarrow - 1 \le 3k \le 19\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{19}}{3}\).
Mà k ℤ nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Các giá trị tương ứng của t là \(t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;\frac{{19}}{2}} \right\}\).
Vậy trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có 7 lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
Trả lời: 7.
Cho hàm số \(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là M và m. Tính \(M \cdot m\).
\(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\)\( = 2{\cos ^2}x - 1 - 2\cos x + 4\)\[ = 2{\cos ^2}x - 2\cos x + 3\].
Đặt \(\cos x = t, - 1 \le t \le 1\). Khi đó \[y = 2{t^2} - 2t + 3\].
Hàm số \[y = 2{t^2} - 2t + 3\] là một parabol có bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh của parabol là \({t_0} = \frac{1}{2}\).
Vì \(\frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại \({t_0}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2.\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) đạt được tại một trong hai đầu mút.
Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 7;y\left( 1 \right) = 3\). Vậy giá trị lớn nhất là 7.
Suy ra \(M = 7;m = \frac{5}{2}\). Do đó \(M \cdot m = \frac{{35}}{2} = 17,5\).
Trả lời: 17,5.
Phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \)có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\)?
Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) (thỏa mãn điều kiện).
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Trả lời: 1.
Cho \(\sin a = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\cos a;\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\).
Ta có \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos a = - \frac{4}{5}\).
Có \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}\)\( = \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
Rút gọn các biểu thức
(a) \(E = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \).
(b) \(F = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
a) \(E = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1\)\( = \frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).
b) \(F = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)\( = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\)
\( = 2{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 2\).
Giải các phương trình sau
(a) \(\sin \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right)\);
(b) \(\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = \pi - \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
b) \(\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 3x = - \frac{{3\pi }}{4} + x + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).
(a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?
(b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?
a) \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 20 \le 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 20\)\( \Leftrightarrow 10 \le 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 50\).
Vậy Cabin đạt độ cao tối đa là 50 m.
b) Ta có \(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao 40 m thì k = 0. Suy ra t = 12,5 giây.
Tính giá trị biểu thức \(A = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + ... + {\sin ^2}80^\circ \).
\(A = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + ... + {\sin ^2}80^\circ \)\( = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + ... + {\cos ^2}20^\circ + {\cos ^2}10^\circ \)\( = {\sin ^2}10^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\cos ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\cos ^2}40^\circ \)
\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).
