a) Ta có \(IC//C'J\) mà \(C'J \subset \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(IC//\left( {A'B'C'} \right)\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) có \(A'I\) cắt \(BB'\). Do đó \(\left( {A'IC} \right)\) không song song \(\left( {BC'B'} \right)\).

c) Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) có \(IM\) cắt \(B'E\). Do đó \(\left( {EB'C'} \right)\) không song song \(\left( {IMN} \right)\).

d) Trong mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\), giả sử \(F = AC' \cap A'C\) nên F là trung điểm của \(AC'\)(1).

Mà \(E = A'I \cap AJ\). Suy ra \(\left( {A'IC} \right) \cap \left( {AJC'} \right) = EF\).

Lại có \(AIJA'\) là hình bình hành nên \(E\)là trung điểm của \(AJ\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AJC'\). Suy ra \(EF//C'J\).

Mà \(C'J \subset \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(EF//\left( {A'B'C'} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Sai.

Gọi I là giao điểm của \(MN\) và \(CD\).

Mà \(CD \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(I = MN \cap \left( {BCD} \right)\).

Kẻ \(DE//AC\left( {E \in IM} \right)\).

Do \(DE//CM\) nên \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{MC}} \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{2AM}}\) (1).

Do \(DE//AM\) nên \(\frac{{ED}}{{AM}} = \frac{{ND}}{{NA}} = \frac{1}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{4}\). Vậy \(a + 2b = 9\).

Trả lời: 9.

\(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(EF//BD\).

Lại có \(G \in \left( {GEF} \right) \cap \left( {ABD} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua \(G\)và song song với \(BD\) cắt \(AB,AD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).

Có \(\frac{{EF}}{{BD}} = \frac{1}{2};\frac{{MN}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{EF}}{{MN}} = \frac{1}{2}:\frac{2}{3} = \frac{3}{4} = 0,75\).

Trả lời: 0,75.

Trong hình thang \(ABCD\) ở mặt phẳng đáy, gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D,C\) lên \(AB\).

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AH = BK = \frac{{AB - HK}}{2} = \frac{{AB - CD}}{2} = \frac{{50 - 30}}{2} = 10\) (cm).

Ta có \(CK = \sqrt {B{C^2} - B{K^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{10}^2}}  = 5\sqrt {21} \) (cm).

Suy ra diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot CK}}{2} = \frac{{\left( {50 + 30} \right) \cdot 5\sqrt {21} }}{2} = 200\sqrt {21} \) (cm²).

Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) và các cạnh \(SA,SB,SC,SD\).

Suy ra hình phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến chung của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với các mặt của hình chóp là hình thang \(MNPQ\) với \(MN//PQ\).

Vì \(\left( \alpha  \right)//\left( {ABCD} \right)\) nên theo định lí Thales, ta có \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{5} \Rightarrow k = \frac{2}{5}\).

Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) là

\({S_{MNPQ}} = {k^2} \cdot {S_{ABCD}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \cdot 200\sqrt {21}  = 32\sqrt {21}  \approx 147\) (cm²).

Trả lời: 147.