Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Lời giải
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\). Chọn B.
Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là
\({F_1} = \left( {0; - \sqrt 5 } \right);{F_2}\left( {0;\sqrt 5 } \right)\).
\({F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).
\({F_1} = \left( {0; - \sqrt {13} } \right);{F_2}\left( {0;\sqrt {13} } \right)\).
\({F_1} = \left( { - \sqrt 5 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\).
Lời giải
\({F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\) là hai tiêu điểm của hypebol. Chọn B.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3; - 6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4; - 2} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\).
Lời giải
Có \(\overrightarrow u = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) cũng nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1} \right)\)làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3; - 6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1} \right)\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\). Chọn C.
Hai đường thẳng \({d_1}:4x + 3y - 18 = 0;{d_2}:3x + 5y - 19 = 0\) cắt nhau tại điểm có tọa độ là
\(\left( { - 3; - 2} \right)\).
\(\left( {3;2} \right)\).
\(\left( { - 3;2} \right)\).
\(\left( {3; - 2} \right)\).
Lời giải
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 18 = 0\\3x + 5y - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 18\\3x + 5y = 19\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {3;2} \right)\). Chọn B.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3; - 4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\) bằng
\(\frac{{12}}{5}\).
\(\frac{{12}}{5}\).
\(\frac{8}{5}\).
\(\frac{{24}}{5}\).
Lời giải
Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}\). Chọn D.
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( C \right)\).
\(2x + y - 1 = 0\).
\(x + 2y - 2 = 0\).
\(x - 2y + 2 = 0\).
\(2x - y + 1 = 0\).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \).
Tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( C \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(x - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\). Chọn C.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 6 = 0;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) có phương trình là \( - x + y - \frac{5}{2} = 0\).
Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\) bằng 6.
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Lời giải
a) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\) nên \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - \frac{5}{2} = 0\).
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\\t = - 4\end{array} \right.\)
Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).
c) \(d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}\).
d) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\;\left( H \right)\).
Điểm \(M\left( {\sqrt {20} ;4} \right) \in \left( H \right)\).
Tiêu cự của hypebol bằng 6.
Các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}\left( { - 6;0} \right);{F_2}\left( {6;0} \right)\).
Cho điểm \(A\left( {8;b} \right) \in \left( H \right),b < 0\). Khi đó \(A{F_1} = 5\).
Lời giải
a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình hypebol ta được \[\frac{{{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2}}}{{20}} - \frac{{{4^2}}}{{16}} = 1\;\] (vô lí).
Suy ra \(M\left( {\sqrt {20} ;4} \right) \notin \left( H \right)\).
b) Tiêu cự hypebol \(2c = 2\sqrt {20 + 16} = 12\).
c) Các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}\left( { - 6;0} \right);{F_2}\left( {6;0} \right)\).
d) Thay \(x = 8;y = b\) vào phương trình \(\left( H \right)\) thì \(\frac{{64}}{{20}} - \frac{{{b^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow b = \frac{{4\sqrt {55} }}{5}\) hoặc \(b = - \frac{{4\sqrt {55} }}{5}\).
Mà \(b < 0\) nên \(A\left( {8;\frac{{ - 4\sqrt {55} }}{5}} \right)\).
Vậy \(A{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 6 - 8} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt {55} }}{5}} \right)}^2}} = \frac{{34\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hai con tàu \(A\) và \(B\) cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo km), sau khi xuất phát \(t\) giờ (\(t \ge 0\)), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 30t\\y = - 2 + 35t\end{array} \right.\), vị trí của tàu \(B\) có tọa độ là \(N\left( {1 - 40t;5 - 30t} \right)\). Nếu tàu \(B\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(A\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Vị trí ban đầu của tàu \(B\) tại điểm \({M_0}\) ứng với \(t = 0\). Khi đó \({M_0}\left( {1;5} \right)\).
Tàu \(A\) di chuyển theo đường thẳng \(\Delta :7x + 6y - 9 = 0\).
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {7 \cdot 1 + 6 \cdot 5 - 9} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {6^2}} }} = \frac{{28\sqrt {85} }}{{85}} \approx 3,04\).
Trả lời: 3,04.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) đi qua hai điểm \(P\left( {0;8} \right),Q\left( {6; - \frac{{32}}{5}} \right)\). Hoành độ giao điểm của elip \(\left( E \right)\) với tia \(Ox\) là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).
Vì elip \(\left( E \right)\) đi qua hai điểm \(P\left( {0;8} \right),Q\left( {6; - \frac{{32}}{5}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{64}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{36}}{{{a^2}}} + \frac{{1024}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 64\\{a^2} = 100\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).
Cho \(y = 0\) thì \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{0}{{64}} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 10\).
Vậy hoành độ giao điểm của \(\left( E \right)\) với tia \(Ox\) là \(10\).
Trả lời: 10.
Một công viên hình elip có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 6\;\left( {\rm{m}} \right)\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng \(10\;\left( {\rm{m}} \right)\). Bên trong người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ để trồng hoa. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa (đơn vị m2)?
Lời giải
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\).
Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).
Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).
Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).
Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).
Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.
Trả lời: 40.
