Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án - Đề 1

Lời giải

Phương trình đường chuẩn của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 14x\) là \(x =  - \frac{p}{2} =  - \frac{7}{2}\). Chọn C.

Lời giải

Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 3;6} \right) =  - 3\left( {1; - 2} \right) =  - 3\overrightarrow {{n_1}} \).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({d_1}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({d_2}\) nên \({d_1}//{d_2}\). Chọn D.

Lời giải

Xét phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 4y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0\).

Phương trình này có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = \frac{3}{2};b = 1;c =  - \frac{1}{2}\).

Có \({a^2} + {b^2} - c = \frac{{15}}{4} > 0\) nên phương trình này là phương trình đường tròn. Chọn C.

Lời giải

\(\overrightarrow u  = \left( { - 4;5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Chọn D.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3} \right)\). Có \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\). Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4; - 2} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \[\Delta '\].

Ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3 \cdot 4 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{10}}{{10\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = 45^\circ \). Chọn A.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1; - 4} \right)\). Có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1; - 4} \right)\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\).

c) Có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 3 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

Suy ra \(d\left( {A,d} \right) > d\left( {B,d} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right)\). Có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(AB\).

Ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = \sqrt 5 \).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;b} \right)\)vào phương trình đường tròn ta được

\({2^2} + {b^2} - 2 \cdot 2 + 4b = 0\)\( \Leftrightarrow b = 0\) hoặc \(b =  - 4\).

Vì \(b < 0\) nên \(M\left( {2; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 10 = 0\;\left( {d'} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {IM} \) không cùng phương nên hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

c) Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} < R\).

Nên \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Thay tọa độ điểm \(O\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) thỏa mãn nên điểm \(O\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k =  \pm 1\end{array} \right.\].

Với \(k = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\); Với \(k =  - 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(\frac{a}{b} = 0,4\).

Trả lời: 0,4.

Lời giải

Gọi \[\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\] với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(CD\).

Khi đó đường thẳng \(CD\) đi qua điểm \(C\left( { - 3; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\] có phương trình là

\(a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0\).

Vì \(CD = 3AB\) nên \(CD = 3\sqrt {10} \). Khi đó \(d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}\).

Suy ra \(d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{3}b\) hoặc \(a =  - \frac{{31}}{{27}}b\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{3}b\).

Chọn \(b =  - 3\) thì \(a = 1\). Khi đó phương trình đường thẳng \(CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)\).

Ta có \(C{D^2} = 90\)\( \Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow d = 0\) hoặc \(d =  - 6\).

Suy ra \(D\left( {6;0} \right)\) (thỏa mãn) hay \(D\left( { - 12; - 6} \right)\) (loại).

Vậy \(D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC}  = \left( { - 3; - 1} \right)\)\( \Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)\).

TH2: \(a =  - \frac{{31}}{{27}}b\).

Chọn \(b =  - 27 \Rightarrow a = 31\). Khi đó \(CD:31x - 27y + 12 = 0\)\( \Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)\).

Suy ra \(C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90\)\( \Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}\) (loại).

Vậy \(B\left( { - 3;1} \right)\)\( \Rightarrow 3a - b =  - 10\).

Trả lời: −10.

Lời giải

Để đặt vị trí sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất khi \(M\) gần vị trí \(A\) nhất.

Mà \(M \in d\) suy ra \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Vì \(\Delta  \bot d\) nên \(\Delta :x + y + c = 0\).

Mà \(A\left( {4;4} \right) \in \Delta \) nên \(4 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 8\).

Suy ra \(\Delta :x + y - 8 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy máy thu đặt ở vị trí \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.

Khi đó \(S = a + b = \frac{{11}}{2} + \frac{5}{2} = 8\).

Trả lời: 8.