Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là
một elip.
một parabol.
một hypebol.
một đường tròn.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x + y - 4 = 0\) và \({d_2}: - 3x - 3y + 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc.
Song song.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 4 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \)
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - x - 2y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\). Một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\) là
\(F\left( { - 1;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0; - 1} \right)\).
\(F\left( {3;0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x + 5y + 2024 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 5y = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
\(A\left( {1;4} \right)\).
\(C\left( {5;0} \right)\).
\(B\left( {0;4} \right)\).
\(D\left( { - 1;3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\) là
\(I\left( { - 1; - 2} \right)\).
\(I\left( {1;2} \right)\).
\(I\left( {1; - 2} \right)\).
\(I\left( { - 1;2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là
\(x + y - 1 = 0\).
\(x - y = 0\).
\(x + y - 2 = 0\).
\( - x + y - 1 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu?
\(\sqrt {10} \).
\(10\).
\(25\).
\(5\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
\({y^2} = - 4x\)
\({y^2} = 4x\).
\({x^2} = 4y\).
\({x^2} = - 6y\).
Phương trình chính tắc của đường elip có tiêu cự bằng 6 và \(2a = 10\) là
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {3;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :4x + 3y - 11 = 0\) là
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{{11}}{5}\).
\(\frac{{19}}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là
\(2x + 3y + 4 = 0\).
\(2x + 3y - 3 = 0\).
\(x + 3y + 5 = 0\).
\(3x - 2y - 7 = 0\).
Cho parabol có phương trình \({y^2} = 6x\). Phương trình đường chuẩn của parabol là
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = - 3\).
\(x = 3\).
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 - 4t\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\).
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm\(M\left( {15;1} \right)\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = t\end{array} \right.\) là
\(\sqrt {10} \).
\(\frac{{16}}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
\(\sqrt 5 \).
Cho hai điểm \(P\left( {6;1} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(MP + MQ\) nhỏ nhất.
\(M\left( {0; - 1} \right)\).
\(M\left( {3;5} \right)\).
\(M\left( {2;3} \right)\).
\(M\left( {1;1} \right)\).
Phương trình đường chuẩn của parabol \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {12;4} \right)\) là
\(x + \frac{1}{3} = 0\).
\({y^2} = \frac{2}{3}x\).
\(x + \frac{2}{3} = 0\).
\({y^2} = \frac{4}{3}x\).
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 4; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( {2; - 2} \right)\) là
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{37}}{4}\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = 37\).
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 37\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{37}}{4}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(x + y + 6 = 0\).
\(x + y - 6 = 0\).
\(x + 3y - 14 = 0\).
\(x - y + 2 = 0\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\left( {3;0} \right)\) và \(B\left( {0; - 2} \right)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình là
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = - 1\).
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\).
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 2.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Cho \(M\) là một điểm bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\). Khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(I\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳ\(\left( E \right)\)ng \(\Delta \) là \(3x + 4y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( { - 3;1} \right),B\left( {1;2} \right)\) và \(C\left( {4; - 2} \right)\).
Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OA} \) bằng \(\sqrt {10} \).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(BC\) là \(4x - 3y - 15 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(AC\) là \(\frac{{\sqrt {13} }}{5}\).
Đường thẳng \(d'\) đối xứng với \(d:x - 2y + 1 = 0\) qua điểm \(A\) là \(x - 2y + 9 = 0\).
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 8 = 0\).
Phương trình chính tắc của Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(\frac{{{x^2}}}{{4,5}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên \(\Delta \) có bán kính là \(\sqrt 5 \).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \({d_1}:2x - y + 5 = 0;{d_2}:x + y - 3 = 0\) cắt nhau tại \(I\) và ba điểm \(M\left( { - 2;0} \right),E\left( { - 3;4} \right),F\left( {1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) có phương trình \(x - 2y + 2 = 0\).
Đường thẳng \(EF\) cắt \({d_2}\) tại \(K\). Khi đó \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).
Đường thẳng \(\Delta :ax + by + 2 = 0\) qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\). Khi đó \({a^2} - 5{b^2} = - 19\).
Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó:
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\).
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( { - 1;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A,B\) là \(x + y - 3 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(3x + y - 5 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) là \(x + 3y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{8}{5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng 16.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Biết rằng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(2024a - b\).
2022
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
4
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {4; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên trục \(Oy\) có tung độ lớn hơn 3 sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) bằng 1. Tính tung độ của điểm \(M\).
6
Cho phương trình của đường Elip: \({x^2} + 4{y^2} = 1\). Khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
1,73
Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\). Khi đó, người đó vung đĩa đến vị trí điểm \(M\left( {3;4} \right)\) thì buông đĩa. Biết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có dạng \(mx + y + n = 0\). Tính giá trị biểu thứ \(P = 2025m + n.\)
2018
Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến điểm \(B\left( {1;50} \right)\) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm \(C\left( {38;50} \right)\). Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
38
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ bằng 2. Tính \(M{F_1} + M{F_2}\).
10
Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
31
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;5} \right)\) và đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(d:2x - y - 8 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\left( {a;b} \right)\), biết rằng \(C\) có tung độ âm và diện tích tam giác \(ABC\) bằng 2. Tính \(a + 2b\).
-4
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính\(2M{F_1} + M{F_2}\).
13
B. Tự luận
Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol. Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\;{\rm{cm}}\) và chiều sâu \(h = 30\;{\rm{cm}}\)(\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \({F_1}{F_2} = 50\;{\rm{m}}\) và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ \({F_1}\) đến mái vòm rồi phản chiếu về \({F_2}\) là 100 m. Lập phương trình đường elip đó.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 2;2} \right)\) và cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho diện tích tam giác \(\Delta OAB\) bằng 1. Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \).