Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án

Lời giải

Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là một parabol. Chọn B.

Lời giải

Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 3; - 3} \right) =  - 3\left( {1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lại có điểm \(A\left( {2;2} \right)\) thuộc vào \({d_1}\) nhưng không thuộc \({d_2}\) nên \({d_1}//{d_2}\). Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\). Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Chọn B.

Lời giải

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) là phương trình chính tắc của elip. Chọn C.

Lời giải

\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)là phương trình chính tắc của đường hypebol. Chọn A.

Lời giải

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\). Chọn A.

Lời giải

Lời giải

\(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) . Chọn B.

Lời giải

Thay tọa độ điểm  \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\). Chọn D.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(C\left( {5;0} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta được \(\frac{{{5^2}}}{{25}} + \frac{{{0^2}}}{9} = 1\) (đúng).

Vậy \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(C\left( {5;0} \right)\). Chọn B.

Lời giải

Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\). Chọn A.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\). Chọn A.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) song song với \(d'\) có dạng \(x + y + c = 0,c \ne  - 1\).

Vì \(d\) đi qua \(M\left( {1;1} \right)\) nên \(1 + 1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(d:x + y - 2 = 0\). Chọn C.

Lời giải

Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\). Chọn D.

Lời giải

\({y^2} = 4x\) là phương trình chính tắc của parabol. Chọn B.

Lời giải

Elip có tiêu cự bằng 6 nên \(2c = 6 \Rightarrow c = 3\); \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

Khi đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Chọn A.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.\). Chọn B.

Lời giải

Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 11} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\). Chọn A.

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\). Chọn A.

Lời giải

Phương trình đường chuẩn của parabol là \(x =  - \frac{3}{2}\). Chọn B.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2;8} \right) =  - 2\overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2;8} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x - 3y - 2 = 0\).

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(M\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) chính là khoảng cách từ điểm \(M\) đến hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \) và bằng \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {15 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {10} \). Chọn A.

Lời giải

Ta có \(P,Q\) nằm khác phía với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó \(MP + MQ \ge PQ\).

Vậy để \(MP + MQ\) nhỏ nhất thì \(P,M,Q\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(PQ\) và đường thẳng \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 9; - 3} \right) =  - 3\left( {3;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(PQ\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PQ\).

Đường thẳng \(PQ\) đi qua \(P\left( {6;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 6} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x - 3y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)\). Chọn A.

Lời giải

Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {12;4} \right)\) nên \({4^2} = 24p\)\( \Leftrightarrow p = \frac{2}{3}\).

Vậy đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(x =  - \frac{1}{3}\) hay \(x + \frac{1}{3} = 0\). Chọn A.

Lời giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Khi đó \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \varphi  = 90^\circ \). Chọn A.

Lời giải

Ta có \(R = AM = \sqrt {{{\left( {2 + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {37} \).

Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt {37} \) có phương trình là \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 37\). Chọn C.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(x - 2 + y - 4 = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0\). Chọn B.

Lời giải

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\). Chọn C.

Lời giải

Ta có \[R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 \cdot 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\].

Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\). Chọn B.

Lời giải

a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \(\Delta \) không đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\).

Có \({\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = 49 \Rightarrow \tan \alpha  = 7\).

d) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\)vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy elip \(\left( E \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).

b) Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).

c) \(\left( E \right)\) có \(a = 13;b = 12\).

\(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26\).

d) \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {169 - 144}  = 5\].

Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

a) Cho \(y = 0\) thì \(3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\).

Vậy đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) vào phương trình \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\) ta thấy thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\).

c) Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên có dạng \(3x + 4y + c = 0,c \ne  - 2\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nên \(3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(d:3x + 4y - 7 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)\) không vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)\) không là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

a) \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 3;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \).

b) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {7; - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow n  = \left( {3;7} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AC}  = \left( {7; - 3} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y + 2 = 0\).

Khi đó \(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {58} }}\).

d) Vì \(d'\) đối xứng với \(d\)qua \(A\) nên \(d'//d\) và \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\).

Ta có \(d'\): \(x - 2y + c = 0,c \ne 1\).

Vì \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 5 = 4\\c - 5 =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 9\\c = 1\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne 1\) nên \(c = 9\). Do đó \(d':x - 2y + 9 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).

b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).

c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {41} \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.

Lời giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).

Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).

Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).

d) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).

Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}b\\a =  - 2b\end{array} \right.\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b =  - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).

TH2: \(a =  - 2b\). Chọn \(b =  - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).

Vậy \({a^2} - 5{b^2} =  - 19\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

a) ) Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

b) Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 1\).

c) Giả sử \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} - 10a - 6b + c =  - 34\\ - 2a + 10b + c =  - 26\\ - 4a - 4b + c =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b =  - 2\\c = 4\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x + 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

d) Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - 4}  = 4\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3} \right)\).

Có \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3} \right)\) nên đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - 3 = 0\).

b) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 + 3 \cdot 1 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

c) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 3;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \).

b) Có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1;3} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\left( {4;1} \right)\) và có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).

c) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{5} > R\).

Do đó đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\).

d) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{5}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) \(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.

Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).

c) Thay tọa độ điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.

Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).

d) Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng \(2c = 2\sqrt {16 + 9}  = 10\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 + 3t\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 + 3t\\t + 2 - 6t + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)

Suy ra \(a = 1;b = 2\). Vậy \(2024a - b = 2022\).

Trả lời: 2022.

Lời giải

Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC}  = \left( { - m;1 - n} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {MI}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).

\(P = a + 2b = 4\).

Trả lời: 4.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 13 = 0\).

Vì \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;b} \right)\).

Theo đề ta có \(d\left( {M,d} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3b - 13} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {3b - 13} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3b - 13 = 5\\3b - 13 =  - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Vì \(b > 3\) nên \(b = 6\).

Trả lời: 6.

Lời giải

Ta có \({x^2} + 4{y^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{4}}} = 1\).

Khi đó \({a^2} = 1;{b^2} = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{4}}  = \sqrt {\frac{3}{4}} \).

Suy ra \({F_1}{F_2} = 2c = \sqrt 3  \approx 1,73\).

Trả lời: 1,73.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\sqrt 2 \).

Tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

Suy ra \(m = 1;n =  - 7\). Do đó \(P = 2025m + n = 2018\).

Trả lời: 2018.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;48} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {37;48} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 48;37} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\).

Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).

Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ \).

Trả lời: 38.

Lời giải

Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\).

\(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 5 = 10\).

Trả lời: 10.

Lời giải

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng \(r\).

Do điểm \(M\left( {r;50} \right)\) nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm \(M\) vào phương trình của hypebol ta có \(\frac{{{r^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}} = 1 \Rightarrow r = 18\sqrt {1 + \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}}}  \approx 31\) m.

Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31 m.

Trả lời: 31.

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).

Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).

Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).

Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).

Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b =  - 4\).

Trả lời: −4.

Lời giải

Ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).

Suy ra \(3M{F_1} + 3M{F_2} = 24\) hay \(\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24\).

Vì \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(2M{F_1} + MF = 24 - 11 = 13\).

Trả lời: 13.

Lời giải

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a\\{F_1}{F_2} = 2c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 50\\2c = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\\c = 20\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 15\).

Diện tích của \(\left( E \right)\) là \(S = \pi  \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi \).

Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 225\pi \).

Suy ra diện tích đường đi là \(375\pi  - 225\pi  = 150\pi \).

Lời giải

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).

\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), suy ra \(B = \left( {3; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và vuông góc với đường thẳng \(6x - y - 4 = 0\) có phương trình là

\(x + 6y + 9 = 0\).

Tọa độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3x - 4y + 5 = 0\).

Lời giải

Gắn hình parabol vào hệ trục như đề bài, dựa vào giả thiết bài toán ta có tọa độ điểm \(A\left( {30;20} \right)\).

Parabol đi qua điểm \(A\) nên ta có phương trình \({20^2} = 2p \cdot 30 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\).

Vậy ta có phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = \frac{{40x}}{3}\).

Lời giải

Theo đề ta có \({F_1}{F_2} = 2c = 50 \Rightarrow c = 25\) và \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 100 \Rightarrow a = 50\).

Lại có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {50^2} - {25^2} = 1875\).

Vậy elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1875}} = 1\).

Lời giải

Giả sử \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),a > 0,b > 0\)\( \Rightarrow \Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{b} = 1\) (1).

Mà \({S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{{ab}}{2} = 1 \Leftrightarrow ab = 2 \Rightarrow b = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào (1) ta được \(\frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{{\frac{2}{a}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{a} + a = 1 \Leftrightarrow {a^2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\).

Với \(a = 2 \Rightarrow b = 1\). Do đó \(\Delta :\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1\).