Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là
một elip.
một parabol.
một hypebol.
một đường tròn.
Lời giải
Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là một parabol. Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x + y - 4 = 0\) và \({d_2}: - 3x - 3y + 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc.
Song song.
Lời giải
Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.
Lại có điểm \(A\left( {2;2} \right)\) thuộc vào \({d_1}\) nhưng không thuộc \({d_2}\) nên \({d_1}//{d_2}\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 4 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\).
Lời giải
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Lời giải
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Lời giải
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) là phương trình chính tắc của elip. Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Lời giải
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)là phương trình chính tắc của đường hypebol. Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \)
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0\).
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - x - 2y - 5 = 0\).
Lời giải
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\). Một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\) là
\(F\left( { - 1;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0; - 1} \right)\).
\(F\left( {3;0} \right)\).
Lời giải
\(F\left( { - 1;0} \right)\) là một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\). Chọn A
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;3} \right)\).
Lời giải
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) . Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x + 5y + 2024 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 5y = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\).
Lời giải
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
\(A\left( {1;4} \right)\).
\(C\left( {5;0} \right)\).
\(B\left( {0;4} \right)\).
\(D\left( { - 1;3} \right)\).
Lời giải
Thay tọa độ điểm \(C\left( {5;0} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta được \(\frac{{{5^2}}}{{25}} + \frac{{{0^2}}}{9} = 1\) (đúng).
Vậy \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(C\left( {5;0} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Lời giải
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\) là
\(I\left( { - 1; - 2} \right)\).
\(I\left( {1;2} \right)\).
\(I\left( {1; - 2} \right)\).
\(I\left( { - 1;2} \right)\).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là
\(x + y - 1 = 0\).
\(x - y = 0\).
\(x + y - 2 = 0\).
\( - x + y - 1 = 0\).
Lời giải
Đường thẳng \(d\) song song với \(d'\) có dạng \(x + y + c = 0,c \ne - 1\).
Vì \(d\) đi qua \(M\left( {1;1} \right)\) nên \(1 + 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 2\) (thỏa mãn).
Vậy \(d:x + y - 2 = 0\). Chọn C.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu?
\(\sqrt {10} \).
\(10\).
\(25\).
\(5\).
Lời giải
Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\). Chọn D.
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
\({y^2} = - 4x\)
\({y^2} = 4x\).
\({x^2} = 4y\).
\({x^2} = - 6y\).
Lời giải
\({y^2} = 4x\) là phương trình chính tắc của parabol. Chọn B.
Phương trình chính tắc của đường elip có tiêu cự bằng 6 và \(2a = 10\) là
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Lời giải
Elip có tiêu cự bằng 6 nên \(2c = 6 \Rightarrow c = 3\); \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Khi đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\).
Vậy phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {3;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :4x + 3y - 11 = 0\) là
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{{11}}{5}\).
\(\frac{{19}}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
Lời giải
Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 11} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\). Chọn A.
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là
\(2x + 3y + 4 = 0\).
\(2x + 3y - 3 = 0\).
\(x + 3y + 5 = 0\).
\(3x - 2y - 7 = 0\).
Lời giải
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\). Chọn A.
Cho parabol có phương trình \({y^2} = 6x\). Phương trình đường chuẩn của parabol là
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = - 3\).
\(x = 3\).
Lời giải
Phương trình đường chuẩn của parabol là \(x = - \frac{3}{2}\). Chọn B.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 - 4t\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\).
Lời giải
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right) = - 2\overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Chọn D.
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm\(M\left( {15;1} \right)\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = t\end{array} \right.\) là
\(\sqrt {10} \).
\(\frac{{16}}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
\(\sqrt 5 \).
Lời giải
Đường thẳng \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x - 3y - 2 = 0\).
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(M\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) chính là khoảng cách từ điểm \(M\) đến hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \) và bằng \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {15 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {10} \). Chọn A.
Cho hai điểm \(P\left( {6;1} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(MP + MQ\) nhỏ nhất.
\(M\left( {0; - 1} \right)\).
\(M\left( {3;5} \right)\).
\(M\left( {2;3} \right)\).
\(M\left( {1;1} \right)\).
Lời giải
Ta có \(P,Q\) nằm khác phía với đường thẳng \(\Delta \).
Khi đó \(MP + MQ \ge PQ\).
Vậy để \(MP + MQ\) nhỏ nhất thì \(P,M,Q\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(PQ\) và đường thẳng \(\Delta \).
Ta có \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 9; - 3} \right) = - 3\left( {3;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(PQ\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PQ\).
Đường thẳng \(PQ\) đi qua \(P\left( {6;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x - 6} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x - 3y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)\). Chọn A.
Phương trình đường chuẩn của parabol \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {12;4} \right)\) là
\(x + \frac{1}{3} = 0\).
\({y^2} = \frac{2}{3}x\).
\(x + \frac{2}{3} = 0\).
\({y^2} = \frac{4}{3}x\).
Lời giải
Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {12;4} \right)\) nên \({4^2} = 24p\)\( \Leftrightarrow p = \frac{2}{3}\).
Vậy đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(x = - \frac{1}{3}\) hay \(x + \frac{1}{3} = 0\). Chọn A.
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Lời giải
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \varphi = 90^\circ \). Chọn A.
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 4; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( {2; - 2} \right)\) là
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{37}}{4}\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = 37\).
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 37\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{37}}{4}\).
Lời giải
Ta có \(R = AM = \sqrt {{{\left( {2 + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {37} \).
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt {37} \) có phương trình là \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 37\). Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(x + y + 6 = 0\).
\(x + y - 6 = 0\).
\(x + 3y - 14 = 0\).
\(x - y + 2 = 0\).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(x - 2 + y - 4 = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0\). Chọn B.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\left( {3;0} \right)\) và \(B\left( {0; - 2} \right)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình là
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = - 1\).
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 0\).
Lời giải
Phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\). Chọn C.
Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\).
Lời giải
Ta có \[R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 \cdot 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\].
Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\). Chọn B.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 2.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
Lời giải
a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).
b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy đường thẳng \(\Delta \) không đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\).
Có \({\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = 49 \Rightarrow \tan \alpha = 7\).
d) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Cho \(M\) là một điểm bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\). Khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
Lời giải
a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\)vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy elip \(\left( E \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
b) Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
c) \(\left( E \right)\) có \(a = 13;b = 12\).
\(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26\).
d) \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {169 - 144} = 5\].
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(I\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳ\(\left( E \right)\)ng \(\Delta \) là \(3x + 4y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
Lời giải
a) Cho \(y = 0\) thì \(3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\).
Vậy đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) vào phương trình \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\) ta thấy thỏa mãn.
Vậy đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\).
c) Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên có dạng \(3x + 4y + c = 0,c \ne - 2\).
Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nên \(3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 7\) (thỏa mãn).
Vậy \(d:3x + 4y - 7 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\) không vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\) không là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( { - 3;1} \right),B\left( {1;2} \right)\) và \(C\left( {4; - 2} \right)\).
Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OA} \) bằng \(\sqrt {10} \).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(BC\) là \(4x - 3y - 15 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(AC\) là \(\frac{{\sqrt {13} }}{5}\).
Đường thẳng \(d'\) đối xứng với \(d:x - 2y + 1 = 0\) qua điểm \(A\) là \(x - 2y + 9 = 0\).
Lời giải
a) \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 3;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
b) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right)\).
Có \(\overrightarrow n = \left( {3;7} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AC} = \left( {7; - 3} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y + 2 = 0\).
Khi đó \(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {58} }}\).
d) Vì \(d'\) đối xứng với \(d\)qua \(A\) nên \(d'//d\) và \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\).
Ta có \(d'\): \(x - 2y + c = 0,c \ne 1\).
Vì \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 5 = 4\\c - 5 = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 9\\c = 1\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne 1\) nên \(c = 9\). Do đó \(d':x - 2y + 9 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 8 = 0\).
Phương trình chính tắc của Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(\frac{{{x^2}}}{{4,5}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên \(\Delta \) có bán kính là \(\sqrt 5 \).
Lời giải
a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).
b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).
d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {41} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \({d_1}:2x - y + 5 = 0;{d_2}:x + y - 3 = 0\) cắt nhau tại \(I\) và ba điểm \(M\left( { - 2;0} \right),E\left( { - 3;4} \right),F\left( {1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) có phương trình \(x - 2y + 2 = 0\).
Đường thẳng \(EF\) cắt \({d_2}\) tại \(K\). Khi đó \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).
Đường thẳng \(\Delta :ax + by + 2 = 0\) qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\). Khi đó \({a^2} - 5{b^2} = - 19\).
Lời giải
a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).
c) Có \(\overrightarrow {EF} = \left( {4; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}} = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF} = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}} = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).
Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).
Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).
Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).
d) Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).
Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}b\\a = - 2b\end{array} \right.\).
TH1: \(a = - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b = - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).
TH2: \(a = - 2b\). Chọn \(b = - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).
Vậy \({a^2} - 5{b^2} = - 19\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó:
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\).
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Lời giải
a) ) Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
b) Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 1\).
c) Giả sử \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l} - 10a - 6b + c = - 34\\ - 2a + 10b + c = - 26\\ - 4a - 4b + c = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 2\\c = 4\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x + 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
d) Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - 4} = 4\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( { - 1;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A,B\) là \(x + y - 3 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(3x + y - 5 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\).
Lời giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right)\) nên đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - 3 = 0\).
b) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 + 3 \cdot 1 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
c) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 3;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) là \(x + 3y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{8}{5}\).
Lời giải
a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \).
b) Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\).
Tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\left( {4;1} \right)\) và có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
c) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{5} > R\).
Do đó đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\).
d) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{5}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng 16.
Lời giải
a) \(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.
Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
c) Thay tọa độ điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.
Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
d) Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng \(2c = 2\sqrt {16 + 9} = 10\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Biết rằng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(2024a - b\).
Lời giải
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\t + 2 - 6t + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Vậy \(2024a - b = 2022\).
Trả lời: 2022.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
Lời giải
Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC} = \left( { - m;1 - n} \right)\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {MI} \).
Để \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).
\(P = a + 2b = 4\).
Trả lời: 4.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {4; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên trục \(Oy\) có tung độ lớn hơn 3 sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) bằng 1. Tính tung độ của điểm \(M\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\).
Có \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và có \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 13 = 0\).
Vì \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;b} \right)\).
Theo đề ta có \(d\left( {M,d} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3b - 13} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {3b - 13} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3b - 13 = 5\\3b - 13 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).
Vì \(b > 3\) nên \(b = 6\).
Trả lời: 6.
Cho phương trình của đường Elip: \({x^2} + 4{y^2} = 1\). Khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Ta có \({x^2} + 4{y^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{4}}} = 1\).
Khi đó \({a^2} = 1;{b^2} = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{4}} = \sqrt {\frac{3}{4}} \).
Suy ra \({F_1}{F_2} = 2c = \sqrt 3 \approx 1,73\).
Trả lời: 1,73.
Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\). Khi đó, người đó vung đĩa đến vị trí điểm \(M\left( {3;4} \right)\) thì buông đĩa. Biết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có dạng \(mx + y + n = 0\). Tính giá trị biểu thứ \(P = 2025m + n.\)
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\sqrt 2 \).
Tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).
Suy ra \(m = 1;n = - 7\). Do đó \(P = 2025m + n = 2018\).
Trả lời: 2018.
Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến điểm \(B\left( {1;50} \right)\) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm \(C\left( {38;50} \right)\). Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;48} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {37;48} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 48;37} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\).
Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ \).
Trả lời: 38.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ bằng 2. Tính \(M{F_1} + M{F_2}\).
Lời giải
Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\).
\(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 5 = 10\).
Trả lời: 10.
Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng \(r\).
Do điểm \(M\left( {r;50} \right)\) nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm \(M\) vào phương trình của hypebol ta có \(\frac{{{r^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}} = 1 \Rightarrow r = 18\sqrt {1 + \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}}} \approx 31\) m.
Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31 m.
Trả lời: 31.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;5} \right)\) và đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(d:2x - y - 8 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\left( {a;b} \right)\), biết rằng \(C\) có tung độ âm và diện tích tam giác \(ABC\) bằng 2. Tính \(a + 2b\).
Lời giải
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).
Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).
Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).
Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).
Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b = - 4\).
Trả lời: −4.
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính\(2M{F_1} + M{F_2}\).
Lời giải
Ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).
Suy ra \(3M{F_1} + 3M{F_2} = 24\) hay \(\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24\).
Vì \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(2M{F_1} + MF = 24 - 11 = 13\).
Trả lời: 13.
B. Tự luận
Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.
Lời giải
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a\\{F_1}{F_2} = 2c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 50\\2c = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\\c = 20\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = 15\).
Diện tích của \(\left( E \right)\) là \(S = \pi \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi \).
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 225\pi \).
Suy ra diện tích đường đi là \(375\pi - 225\pi = 150\pi \).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Lời giải
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).
\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), suy ra \(B = \left( {3; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và vuông góc với đường thẳng \(6x - y - 4 = 0\) có phương trình là
\(x + 6y + 9 = 0\).
Tọa độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(3x - 4y + 5 = 0\).
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol. Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\;{\rm{cm}}\) và chiều sâu \(h = 30\;{\rm{cm}}\)(\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Lời giải
Gắn hình parabol vào hệ trục như đề bài, dựa vào giả thiết bài toán ta có tọa độ điểm \(A\left( {30;20} \right)\).
Parabol đi qua điểm \(A\) nên ta có phương trình \({20^2} = 2p \cdot 30 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\).
Vậy ta có phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = \frac{{40x}}{3}\).
Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \({F_1}{F_2} = 50\;{\rm{m}}\) và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ \({F_1}\) đến mái vòm rồi phản chiếu về \({F_2}\) là 100 m. Lập phương trình đường elip đó.
Lời giải
Theo đề ta có \({F_1}{F_2} = 2c = 50 \Rightarrow c = 25\) và \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 100 \Rightarrow a = 50\).
Lại có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {50^2} - {25^2} = 1875\).
Vậy elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1875}} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 2;2} \right)\) và cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho diện tích tam giác \(\Delta OAB\) bằng 1. Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \).
Lời giải
Giả sử \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),a > 0,b > 0\)\( \Rightarrow \Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{b} = 1\) (1).
Mà \({S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{{ab}}{2} = 1 \Leftrightarrow ab = 2 \Rightarrow b = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\).
Thay \(\left( 2 \right)\) vào (1) ta được \(\frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{{\frac{2}{a}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{a} + a = 1 \Leftrightarrow {a^2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\).
Với \(a = 2 \Rightarrow b = 1\). Do đó \(\Delta :\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1\).
