Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án ( Đề 1)

Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \). Chọn B.

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn C.

\(\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1 + 3;2 + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;0} \right)\). Chọn C.

\(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)\[ \Rightarrow M\left( {3;4} \right)\]. Chọn C.

\(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \). Chọn C.

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \). Chọn A.

a) \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;3} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26} \).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 1;y} \right)\).

Theo đề \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {0;5} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Ta có \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6,5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \)\( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).

c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).

Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a;3 - b} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {4 - a; - b} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {2 - a, - 5 - b} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 1 + a;18 + b} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a = 0\\18 + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 18\end{array} \right.\).

Khi đó \(27a - 2b = 63\).

Vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\].

Dựng hình bình hành \(AMBN\).

Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MN} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = 150\) (N) (vì tam giác \(AMN\) đều).

Vì một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí \(I\left( {x;y} \right)\) và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)\) nhận được cùng một thời điểm nên \(IO = IA = IB\).

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\ - 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\).