Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án
55 câu hỏi
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn D.
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \). Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ
Biết rằng \(k\) là số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CB} \). Tìm \(k\).
\(\frac{3}{7}\).
\( - \frac{3}{7}\).
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{7}{3}\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) ngược hướng.
Lại có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{7}\overrightarrow {CB} \). Vậy \(k = - \frac{3}{7}\). Chọn B.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).
\(40\).
\( - 40\).
\(0\).
\(20\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 8 \cdot 5 \cdot \cos 0^\circ = 40\). Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khi đó khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IB} \) là hai vectơ đối.
\(\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {GI} \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau là khẳng định sai. Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {KB} \).
\(\overrightarrow {KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {IK} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng và \(IK = \frac{1}{2}AC\) nên \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Chọn D.
Cho đoạn thẳng \(AB\). Lấy điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(AM = \frac{1}{4}AB\). Khi đó mối liên hệ nào sau đây là đúng
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {MA} \).
Có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng hướng.
Vì \(AM = \frac{1}{4}AB\) nên \(AM = \frac{1}{3}MB\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \). Chọn C.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Tính \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \). Chọn B.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ bằng nhau.
Vì \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)) nên \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = \frac{1}{2}NB\) và trên cạnh \(AC\) lấy \(P\) sao cho \(AP = \frac{2}{3}AC\). Mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Chọn B.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2a, \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Độ dài của \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} \) bằng
\(2\sqrt 3 a\).
\(4a\).
\(\sqrt 3 a\).
\(2\sqrt 2 a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BM} + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BM} } \right) + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)
\( = 4{a^2} + 4 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + 4{a^2}\)\( = 12{a^2}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right| = 2a\sqrt 3 \). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 3; - 2} \right),N\left( {4; - 3} \right)\). Độ dài đoạn \(MN\) bằng
\(\sqrt {26} \).
\(8\).
\(5\sqrt 2 \).
\(\sqrt 6 \).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {7; - 1} \right)\). Khi đó \(MN = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 3} \right),B\left( { - 2;4} \right),C\left( {3; - 6} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) là
\(D\left( {4; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 13} \right)\).
\(D\left( { - 6;13} \right)\).
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;7} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - 6 - y} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\ - 6 - y = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 13} \right)\). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {3;1} \right),B\left( {0;4} \right),C\left( {9;1} \right)\). Góc \(\widehat {BAC}\) bằng
\(60^\circ \).
\(135^\circ \).
\(120^\circ \).
\(45^\circ \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;0} \right)\)
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 3} \right) \cdot 6 + 3 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{18\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 135^\circ \). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 5} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
\( - 13\).
\(\left( {2; - 15} \right)\).
\(17\).
\(\sqrt {65} \).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot \left( { - 5} \right) = - 13\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(E\left( { - 3;4} \right),F\left( { - 5;6} \right)\). Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) có tọa độ là
\(M\left( { - 1;1} \right)\).
\(M\left( { - 2;2} \right)\).
\(M\left( {4; - 5} \right)\).
\(M\left( { - 4;5} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 - 5}}{2} = - 4\\y = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 4;5} \right)\). Chọn D.
Có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác \(ABC\) cho trước.
\(6\).
\(12\).
\(3\).
\(9\).
Có 6 vectơ là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} \). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left( { - 3; - 5} \right)\).
\(\left( { - 3;5} \right)\).
\(\left( {5; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\). Chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 2a. Tính \(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right|\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}a\).
\(2\sqrt 2 a\).
\(2\sqrt 5 a\).
\(\sqrt 5 a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)^2} = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + {\overrightarrow {DB} ^2}\)\( = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right) + {\overrightarrow {DB} ^2}\)
\( = 4{a^2} + 2 \cdot 2a \cdot 2\sqrt 2 a \cdot \cos 45^\circ + 8{a^2}\)\( = 20{a^2}\)\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = 2\sqrt 5 a\). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2; - 5} \right),C\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(M\left( {5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(M\left( {5; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 6} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 1} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5; - 4} \right)\). Chọn C.
Cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của \(y\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 3;y} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \)?
\(3\).
\( - 6\).
\(6\).
\( - \frac{3}{2}\).
Để \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)\( \Leftrightarrow 1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{3}{2}\). Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 3;6} \right),B\left( {9; - 10} \right)\) và \(G\left( {\frac{1}{3};0} \right)\) là trọng tâm. Tọa độ \(C\) là
\(C\left( {5; - 4} \right)\).
\(C\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(C\left( {5;4} \right)\).
\(C\left( { - 5;4} \right)\).
Tọa độ điểm \(C\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3 \cdot \frac{1}{3} - \left( { - 3} \right) - 9 = - 5\\{y_C} = 3 \cdot 0 - 6 - \left( { - 10} \right) = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 5;4} \right)\). Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Cặp vectơ nào sau đây là hai vectơ cùng hướng?
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \). Chọn B.
Cho \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có giá song song.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\). Chọn C.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \) có độ dài bằng
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Khi đó \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \)\( = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = 4\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {1;2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành?
\({M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {2;1} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1;2} \right)\).
Điểm \({M_1}\left( {1; - 2} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \(M\left( {1;2} \right)\) qua trục hoành. Chọn B.
Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 4} \right),\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) là
\(\left( {2; - 10} \right)\).
\(\left( {2; - 6} \right)\).
\(\left( {2;6} \right)\).
\(\left( {0; - 8} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \)\( = \left( {2 \cdot 1 - 0;2 \cdot \left( { - 4} \right) - 2} \right) = \left( {2; - 10} \right)\). Chọn A.
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(2MA = 5MB\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {MA} = \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{2}\overrightarrow {AB} \).
Vì \(M\)thuộc đoạn thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.
Lại có \(2MA = 5MB\) nên \(MA = \frac{5}{7}AB\). Do đó \(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB} \). Chọn B.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó:
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(30^\circ \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = 144\).
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \).
b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
c) \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
d) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 12 \cdot 12\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = 144\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) bằng 6.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) bằng 2.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) bằng \(\sqrt 3 \).
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
b) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = 0\).
c) \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \). Suy ra \[\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\].
d) \({\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + {2^2} = 12\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 3} \right)\).
Tọa độ của \(\overrightarrow {BC} \) là \(\left( {0; - 4} \right)\).
Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left( {\frac{3}{2};1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 9\).
Gọi \(D\left( {a;b} \right)\) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b = 2,5\).
a) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)\).
b) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.\).
c) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 9\).
d)
Theo tính chất tia phân giác, \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5}\).
Mà \(\overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {DB} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a = - \frac{3}{5}\left( {3 - a} \right)\\1 - b = - \frac{3}{5}\left( { - 3 - b} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b = 2,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 3,AC = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 9\).
Độ dài vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) bằng \(2\sqrt {13} \).
a) \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\); \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\)
Khi đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9\).
d) Ta có \({\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2}\)\( = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}\)\( = 4 \cdot {3^2} + {4^2} = 52\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) biết \(A\left( { - 3;4} \right),B\left( { - 3;1} \right),C\left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;5} \right)\).
Hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) là \(H\left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\cos \widehat {BAC} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) là \(\left( { - 7;0} \right)\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3} \right)\).
b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x + 3;y - 1} \right)\).
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) nên \(AH \bot BC\) và \(B,H,C\) thẳng hàng.
Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0\\x + 3 = 4k\\y - 1 = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{39}}{{17}}\\y = \frac{{20}}{{17}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( { - \frac{{39}}{{17}};\frac{{20}}{{17}}} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)\)
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{0 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{6\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
d) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3 - x;4 - y} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \left( { - 7 - x; - y} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 7 - x = 0\\ - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( { - 7;0} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một chất điểm \(M\). Biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 150 N, cường độ lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 100 N và góc tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(120^\circ \). Gọi \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) là lực tổng hợp tác động vào chất điểm \(M\). Tính cường độ của lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) (theo đơn vị N) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {150^2} + 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ + {100^2}\)\( = 17500\).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {17500} \approx 132\) (N).
Tại một xã miền núi, có ba ngôi làng \(A,B,C\). Nhằm tạo điều kiện cho những trẻ em ở cả ba ngôi làng đều được đi học, nên người ta dự định xây một trường học \(X\) ở một vị trí thuận lợi và cách đều ba ngôi làng \(\left( {XA = XB = XC} \right)\). Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\), người ta xác định được tọa độ của ba ngôi làng lần lượt tương ứng với ba điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {8;4} \right),C\left( {7;7} \right)\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 kilômét). Giả sử vị trí trường học cần xây dựng là điểm \(X\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b\).
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {8 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} = {\left( {7 - a} \right)^2} + {\left( {7 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16a + 8b = 80\\14a + 14b = 98\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.\).
Khi đó \(a + b = 7\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).
Có \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng và \(MB = 4MC\) nên \(\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MC} \). Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(m = \frac{1}{5};n = \frac{4}{5}\). Vậy \(6m + n = 2\).
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm. Tính giá trị \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} \)\( = \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \)\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} \)\( = - 2\overrightarrow {GC} \).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10\).
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} \)\( = k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).
Để \(AM \bot PN\) thì \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(2a + b = 5\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1;5} \right),C\left( { - 3; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AC\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\).
Tọa độ trung điểm \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {0; - 4} \right)\). Vậy \(BM = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).
Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = 6\overrightarrow {MI} \).
Do \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.
Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).
Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T = - 6\).
Một người dùng lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đơn vị J) bằng bao nhiêu?
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) được tính bằng công thức
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 4500\) (J).
Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn bằng 4500 J.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1;2} \right)\). Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) sao cho \(AM = \sqrt {80} \). Tính \(x + y\).
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).
Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x = - 7;y = - 1\). Vậy \(x + y = - 8\).
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(70\)N và \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 60^\circ \). Cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(a\sqrt b \). Tính \(a + b\).
Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {70^2} + 2 \cdot 70 \cdot 70 \cdot \cos 60^\circ + {70^2} = 14700\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {14700} = 70\sqrt 3 \).
Do đó \(a = 70;b = 3\). Vậy \(a + b = 73\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
a) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {\overrightarrow {AB} ^2} = 3 - {2^2} = - 1\).
b) Có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
Có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MP} \). Suy ra \(M,N,P\) thẳng hàng.
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(\widehat B = 60^\circ \). Khi đó:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = 30^\circ \).
\(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\).
\(ABCD\) là hình thoi, \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều. Suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).
Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,AC = \sqrt 3 \).
a) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
b) Tính \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} \).
a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCD} = \cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Lấy điểm \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\). Khi đó:
\(MN = BC\).
\(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] ngược hướng.
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
a) \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(MN//BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).
b) \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
c) \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng.
d) Vì \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) nên \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác\(ABC\) có \(A\left( { - 3;2} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\).
a) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và độ dài đoạn thẳng \(AB\).
b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
c) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho \(AM + MC\) ngắn nhất.
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;2} \right),\overrightarrow {AB} = \sqrt {25 + 4} = \sqrt {29} \).
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 3 + 2 + 1}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2 + 4 - 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\).
c) Ta có \(A\) và \(C\) khác phía so với trục hoành nên \(AM + MC\) ngắn nhất khi \(A,M,C\) thẳng hàng.
Gọi \(M\left( {x;0} \right)\) thuộc trục hoành , ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 4} \right)\) cùng phương nên \(\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \Leftrightarrow x = - 1\). Vậy \(M\left( { - 1;0} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
a) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) là hai vectơ ngược hướng.
Suy ra điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
b) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
d) \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \)\( = 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh \(AC\) sao cho \(NA = 2NC\), \(D\) là trung điểm của \(AN\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
a) Ta có \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng nhau và \(AC = 3DA\) nên \(\overrightarrow {AC} = - 3\overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {3; - 2} \right),B\left( { - 1;3} \right)\) và \(C\left( {8;2} \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \( - 41\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh \(BC\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) có hoành độ âm.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 4} \right) \cdot 5 + 5 \cdot 4 = 0\). Do đó \(AB \bot AC\). Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).
b) Có \(\overrightarrow {BA} = \left( {4; - 5} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {9; - 1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 4 \cdot 9 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 41\).
c) Có \(AB = AC = \sqrt {41} \) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).
Suy ra chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh \(BC\).
d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + 8}}{2} = \frac{7}{2}\\y = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Điểm \(H\) có hoành độ dương.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một chất điểm \(A\) chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ. Biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng (như hình vẽ); lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Niutơn?
Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\).
Vật ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AC} \).
Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} = \frac{{12}}{{\cos 30^\circ }} = 8\sqrt 3 \).
Vậy \(\left| {{F_3}} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \) (N).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \).
\(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;4} \right),C\left( { - 5;0} \right)\).
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì điểm \(D\) có tọa độ là \(D\left( { - 3;5} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)\).
Giả sử \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\). Khi đó \(2a - b = 1\).
a) \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j \)\( \Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \Rightarrow B\left( {3;4} \right)\); \(\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \Rightarrow C\left( { - 5;0} \right)\).
b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 8; - 4} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y + 1 = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 7; - 3} \right)\).
c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)\).
d) \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(MA\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \cdot 3 - 1\\b = 2 \cdot 4 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 9\end{array} \right.\).
Khi đó \(2a - b = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
