Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án (Đề 2)
11 câu hỏi
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a;AB = c;AC = b\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Hệ thức nào sau đây là sai?
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\).
\(b\sin B = 2R\).
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
\(\frac{b}{{\sin B}} = 2R\). Chọn C.
Giá trị biểu thức \(\tan 60^\circ - \cot 150^\circ \) là
\(2\sqrt 3 \).
\( - 1\).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(1\).
\(\tan 60^\circ - \cot 150^\circ \)\( = \sqrt 3 - \left( { - \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \). Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(a = 10,c = 6,\widehat B = 60^\circ \). Độ dài cạnh \(b\) bằng
\(\sqrt {136} \).
\(\sqrt {12} \).
\(8\).
\(\sqrt {76} \).
Ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {10^2} + {6^2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 76\)\( \Rightarrow b = \sqrt {76} \). Chọn D.
Giá trị của \(\tan 36^\circ \) bằng
\(\cot 54^\circ \).
\(\cos 54^\circ \).
\(\sin 54^\circ \).
\(\tan 54^\circ \).
Có \(\tan 36^\circ = \tan \left( {90^\circ - 54^\circ } \right) = \cot 54^\circ \). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 30^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{5 \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,AC = 8\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
\(r = \sqrt 3 \).
\(r = 2\sqrt 3 \).
\(r = 1\).
\(r = 2\).
Có \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt 3 \).
Có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {5^2} + {8^2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 49 \Rightarrow BC = 7\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Suy ra \(r = \frac{S}{P} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(b = 7,c = 5,\widehat A = 120^\circ \). Gọi \(S\) là diện tích của tam giác \(ABC\).
\(a = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).
\(a = 7\).
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).
\(S = 35\sqrt 3 \).
a) \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).
b) \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 109\)\( \Rightarrow a = \sqrt {109} \).
c) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).
d) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \frac{{35\sqrt 3 }}{4}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = BC = 5\;{\rm{cm}}\), \(b = AC = 6\;{\rm{cm}}\), \(c = AB = 7\;{\rm{cm}}\). \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Khi đó:
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \cos C\).
\(\sin \left( {A + B} \right) = - \sin C\).
\(S = \frac{{abc}}{{2R}}\).
\(\sin B = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}}\).
a) \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {180^\circ - C} \right) = - \cos C\).
b) \(\sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {180^\circ - C} \right) = \sin C\).
c) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
d) Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9\).
Diện tích \(\Delta ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)} = 6\sqrt 6 \).
Lại có \(S = \frac{1}{2}ac\sin B \Rightarrow \sin B = \frac{{2S}}{{ac}} = \frac{{12\sqrt 6 }}{{5 \cdot 7}} = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\tan x = 3\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sin x + 4\cos x}}{{3\sin x + \cos x}}\).
\(P = \frac{{\sin x + 4\cos x}}{{3\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4}}{{3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1}}\)\( = \frac{{\tan x + 4}}{{3\tan x + 1}}\)\( = \frac{{3 + 4}}{{3 \cdot 3 + 1}} = \frac{7}{{10}} = 0,7\).
Nhà ông An có một khu vườn hình tam giác \(ABC\), biết rằng \(AB = 80\;{\rm{m}}\)và \(10 \cdot \sin A = 12 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin C\). Hỏi khu vườn nhà ông An có diện tích bằng bao nhiêu m2 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(10 \cdot \sin A = 12 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin C\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin A}}{6} = \frac{{\sin B}}{5} = \frac{{\sin C}}{{10}} = k\).
Suy ra \(\sin A = 6k;\sin B = 5k;\sin C = 10k\).
Lại có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{80}}{{2R}} = \frac{{40}}{R}\)\( \Rightarrow R = \frac{{40}}{{\sin C}} = \frac{4}{k}\).
Vì \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R \cdot \sin A = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 6k = 48\); \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow AC = 2R\sin B = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 5k = 40\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{48 + 40 + 80}}{2} = 84\).
Diện tích mảnh vườn là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 80} \right)\left( {84 - 48} \right)\left( {84 - 40} \right)} \approx 730\) m2
Một tàu vận tải xuất phát từ cảng Đà Nẵng đi đến cảng Quy Nhơn, cách nhau 180 hải lý. Do ảnh hưởng của dòng hải lưu, thuyền trưởng cho tàu đi theo hướng lệch \(20^\circ \) so với hướng thẳng đến Quy Nhơn. Tàu chạy với tốc độ trung bình 24 hải lý/giờ trong 4 giờ. Sau đó đổi hướng để đi thẳng đến Quy Nhơn. Hỏi thuyền trưởng phải quay đầu bao nhiêu độ để hướng tàu đi thẳng đến Quy Nhơn? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Theo đề ta có \(AB = 180\) hải lí, \(\widehat {BAC} = 20^\circ \).
Quãng đường tàu đi được trong 4 giờ đầu là \(AC = 24 \cdot 4 = 96\) (hải lý).
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(\Delta ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {180^2} + {96^2} - 2 \cdot 180 \cdot 96 \cdot \cos 20^\circ \)\( \Rightarrow BC \approx 95,6\).
Khi đó \(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{96}^2} + 95,{6^2} - {{180}^2}}}{{2 \cdot 96 \cdot 95,5}} \approx - 0,766 \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 140^\circ \).
Suy ra \[\widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} \approx 40^\circ \].
