Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án
54 câu hỏi
Giá trị của \(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ \) bằng bao nhiêu?
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\sqrt 3 \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(1\).
\(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \). Chọn B.
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\cos \alpha = - \cos \beta \).
\(\tan \alpha = - \tan \beta \).
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
\(\cot \alpha = - \cot \beta \). Chọn D.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos C = \frac{1}{2}\).
\(\sin B = \frac{1}{2}\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \)\( \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \).
Có \(\cos B = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\); \(\sin C = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Chọn A.
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Chọn C.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
cot180°−α=cotα
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Chọn A.
Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}\alpha+ {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\).
\(\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\). Chọn D.
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Giá trị của \(\cos \alpha \) là
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( \pm \frac{4}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\). Chọn B.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{2}{3};0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha \).
\(P = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
\(P = - \frac{7}{{15}}\).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Khi đó \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }} - 3 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo \(\widehat A\) bằng bao nhiêu?
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat A = 60^\circ \). Chọn C.
Tam giác\(ABC\) có \(AB = 2,AC = 1\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 1\).
\(BC = 2\).
\(BC = \sqrt 2 \).
\(BC = \sqrt 3 \).
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat A\)\( = {2^2} + {1^2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 3 \Rightarrow BC = \sqrt 3 \). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng 3, cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 3 + 3\sqrt 6 \).
\(BC = 3\sqrt 6 - 3\).
\(BC = 3\sqrt 7 \).
\(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).
Khi đó \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Suy ra \(MN//AC\)\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MNB} = 60^\circ \).
Vì \(AB = 9 \Rightarrow BM = 4,5\).
Xét \(\Delta BMN\) có \(B{M^2} = M{N^2} + B{N^2} - 2MN \cdot BN \cdot \cos \widehat {MNB}\)\( \Leftrightarrow 4,{5^2} = {3^2} + B{N^2} - 2 \cdot 3 \cdot BN \cdot \cos 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow B{N^2} - 3 \cdot BN - \frac{{45}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow BN = \frac{{3 + 3\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BN = 3 + 3\sqrt 6 \). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 3 \).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = 10\).
Ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}} \cdot \sin B = \frac{5}{{\sin 45^\circ }} \cdot \sin 60^\circ = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\). Tìm công thức sai.
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\).
\(b\sin B = 2R\).
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
\(\frac{b}{{\sin B}} = 2R\). Chọn C.
Cho \(\Delta ABC\) với các cạnh \(AB = c,AC = b,BC = a\). Gọi \(R,r,S\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác \(ABC\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
\(R = \frac{a}{{\sin A}}\).
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\({a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\cos C\).
\(2R = \frac{a}{{\sin A}}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\(R = 4\).
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 1\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng
\(12\).
\(3\).
\(6\).
\(24\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = 12:2 = 6\).
Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S = pr = 6 \cdot 1 = 6\). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 2,BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \).
\(5 - \sqrt 7 \).
\(5\sqrt 7 \).
\(5 + \sqrt {19} \).
Có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = {2^2} + {3^2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7\)\( \Rightarrow AC = \sqrt 7 \).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(2 + 3 + \sqrt 7 = 5 + \sqrt 7 \). Chọn A.
Cho tam giác\(ABC\) có \(a = 4,b = 6,c = 8\). Khi đó diện tích của tam giác là
\(9\sqrt {15} \).
\(3\sqrt {15} \).
\(105\).
\(\frac{2}{3}\sqrt {15} \).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{4 + 6 + 8}}{2} = 9\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {9 \cdot \left( {9 - 4} \right) \cdot \left( {9 - 6} \right) \cdot \left( {9 - 8} \right)} = 3\sqrt {15} \). Chọn B.
Một tam giác có ba cạnh \(52,56,60\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\(\frac{{65}}{8}\).
\(40\).
\(32,5\).
\(\frac{{65}}{4}\).
Nửa chu vi tam giác là \(p = \frac{{52 + 56 + 60}}{2} = 84\).
Diện tích tam giác là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 52} \right)\left( {84 - 56} \right)\left( {84 - 60} \right)} = 1344\).
Có \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{52 \cdot 56 \cdot 60}}{{4 \cdot 1344}} = 32,5\). Chọn C.
Biết \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\). Tính \(\cot \alpha \).
\(\cot \alpha = \frac{1}{4}\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{2}\).
\(\cot \alpha = \sqrt 2 \).
\(\cot \alpha = 2\).
Có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\). Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và diện tích bằng 6. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\)
\(3\).
\(24\).
\(12\).
\(1\).
Nửa chu vi tam giác là \(p = 12:2 = 6\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(r = \frac{S}{P} = \frac{6}{6} = 1\). Chọn D.
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha \), ta được
\(\sin \alpha \).
\( - \cos \alpha \).
\( - \sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
\(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cos \alpha \). Chọn D.
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = a,AC = b,AB = c\) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Diện tích của \(\Delta ABC\) bằng
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\). Chọn B.
Cho \(\Delta ABC\). Chọn phát biểu đúng.
\(\cos \left( {A + B} \right) = \sin C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \cos C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \sin C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {180^\circ - C} \right) = - \cos C\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B + \widehat C = 120^\circ ,a = BC = 10\sqrt 3 \). Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
\(10\pi \).
\(15\pi \).
\(20\pi \).
\(5\pi \).
Có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 60^\circ \).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 10\).
Do đó chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(2\pi R = 20\pi \). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Tính \(\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Có \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 120^\circ \)\( \Rightarrow \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 60^\circ \).
Suy ra \(\cos \left( {\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}} \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Chọn A.
Cho biết \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}\) bằng bao nhiêu?
\(P = \frac{{109}}{{25}}\).
\(P = \frac{{107}}{{25}}\).
\(P = \frac{{111}}{{25}}\).
\(P = \frac{{105}}{{25}}\).
Vì \({\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Khi đó \(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}\)\( = 3 \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + 5 \cdot \frac{{16}}{{25}} = \frac{{107}}{{25}}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8\;{\rm{cm}}\), \(AC = 18\;{\rm{cm}}\)và có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị \(\sin A\) bằng
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{8}{9}\).
Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{R} = \frac{{4{S_{\Delta ABC}}}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{4 \cdot 64}}{{8 \cdot 18}} = \frac{{16}}{9}\).
Mà \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{2R}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16}}{9} = \frac{8}{9}\). Chọn D.
Biết \(\tan \alpha = 6\). Tính giá trị của \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\).
\(\frac{{100}}{{37}}\).
\(\frac{{50}}{{37}}\).
\(\frac{{69}}{{37}}\).
\(\frac{{10}}{{37}}\).
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {6^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{37}}\).
\(\tan \alpha = 6 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 6 \Rightarrow \sin \alpha = 6\cos \alpha \).
Khi đó \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\)\( = 2{\cos ^2}\alpha + 30{\cos ^2}\alpha + 1 = 32{\cos ^2}\alpha + 1 = \frac{{32}}{{37}} + 1 = \frac{{69}}{{37}}\). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(AC = b = 7,AB = c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
Cạnh \(BC = a = 4\sqrt 2 \).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
a) \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \).
b) Có \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
c) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5.\frac{4}{5} = 14\).
d) Có \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(BC = a = 21,AC = b = 17,AB = c = 10\).
Nửa chu vi tam giác \(p = 24\).
Diện tích tam giác \(S = 84\).
Đường cao tương ứng với cạnh \(a\) là \({h_a} = 4\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = 3,5\).
a) Nửa chu vi tam giác \(p = \frac{{21 + 17 + 10}}{2} = 24\).
b) Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)\( = \sqrt {24\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 10} \right)} = 84\).
c) Có \(S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8\).
d) Có \(r = \frac{S}{p} = \frac{{84}}{{24}} = 3,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(b = 7,c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
\(S = 14\).
\(a = 3\sqrt 2 \).
\(R = 4 - \sqrt 2 \).
a) Có \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)\( \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
b) Có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).
c) Có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32\)\( \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).
d) Có \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 5 \cdot 4\sqrt 2 }}{{4 \cdot 14}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9, 12.
\(p = 14\).
\(S = 13\sqrt 5 \).
\(R = \frac{{7\sqrt 5 }}{{10}}\).
\(r = \sqrt 3 \).
a) \(p = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\).
b) \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5 \).
c) \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\).
d) \(r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 10,\widehat B = 45^\circ ,\widehat A = 75^\circ \). Khi đó:
\(c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(R \approx 5,77\) (\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(\widehat C = 60^\circ \).
\(b \approx 7,32\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{10 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,97\).
b) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2\sin 75^\circ }} \approx 5,18\).
c) \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
d) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 7,32\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Khi đó:
\({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
a) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) (vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha + \sqrt 5 }}{{2\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \sqrt 5 }}{{\frac{{4\sqrt 5 }}{5} + 1}} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }} = \frac{{28 - 7\sqrt 5 }}{{11}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8,AC = 5,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\sqrt 3 \).
\(BC = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\sqrt {43} \).
\(MC = \sqrt {61} \).
a) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = 10\sqrt 3 \).
b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 129\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {129} \).
c) Có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin 120^\circ }} = \sqrt {43} \).
d)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = 4\).
Xét \(\Delta AMC\), có \(M{C^2} = A{M^2} + A{C^2} - 2AM \cdot AC \cdot \cos A = {4^2} + {5^2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 61\)\( \Rightarrow MC = \sqrt {61} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \).
Giá trị \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0\).
Có \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Có \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Giá trị biểu thức \(\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{9}{5}\).
a) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) thì \(\sin \alpha > 0\).
Khi đó \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0\).
b) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\). Suy ra \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \).
d) \[\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2 \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}\].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho góc \(\alpha \)\(\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\left( {0 < m < 1} \right)\). Khi đó:
\(\cos \alpha > 0\).
\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {m^2}} \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = m\).
\({\tan ^2}\alpha \cdot {\sin ^2}\alpha - {\tan ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha = 1 - m\).
a) Với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) thì \(\cos \alpha < 0\).
b) Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {m^2}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {m^2}} \).
c) \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = m\).
d) \({\tan ^2}\alpha \cdot {\sin ^2}\alpha - {\tan ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha = \)\({\tan ^2}\alpha \cdot \left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)
\( = {\tan ^2}\alpha \cdot \left( { - {{\cos }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)\( = - {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)\( = - \sin \alpha = - m\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết \(BC = 8,CA = 6,\widehat C = 60^\circ \). Khi đó:
\(AB \approx 7,20\)(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Góc \(A\) là góc tù.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) xấp xỉ bằng 1,96 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(4\sqrt 3 \).
a) Ta có \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat C\)\( = {8^2} + {6^2} - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 52\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {52} \approx 7,21\).
b) Có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{52 + 36 - 64}}{{2 \cdot \sqrt {52} \cdot 6}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}} > 0\).
Suy ra \(A\) là góc nhọn.
c) Có \(p = \frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {432} = 12\sqrt 3 \).
Khi đó \(r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}}} \approx 1,96\).
d)
Ta có \(\frac{{{S_{ABG}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đặt \(AC = b,AB = c\).
Ta có \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36\) (1).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABM\), có \(B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc\)\( \Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ACN\), \(C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}\)\( = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18\).
Lại có \(B{G^2} + C{G^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36\)\( \Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81\)\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45\)\( \Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(bc = 48\sqrt 3 \).
Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).
Tính giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \).
\(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\[P = 2{\cos ^2}1^\circ + 2{\cos ^2}2^\circ + ... + 2{\cos ^2}89^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 45^\circ ,\widehat C = 15^\circ \) và \(BC = 10\sqrt 6 \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
Có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 15^\circ } \right) = 120^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta được
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sqrt 6 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 120^\circ }} = 20\).
Cho biết \(3\cos \alpha - \sin \alpha = 1,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của \(9\tan \alpha \).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha - \sin \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\{\left( {3\cos \alpha - 1} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\10{\cos ^2}\alpha - 6\cos \alpha = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0\\\cos \alpha = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\).
Vậy \(9\tan \alpha = 9 \cdot \frac{4}{5}:\frac{3}{5} = 12\).
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {CBA} = 80^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến gốc cây \(C\) là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 80^\circ } \right) = 40^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 61,3\)(m).
Một khu vườn hình tam giác \(ABC\) được bao quanh hàng rào. Chiều dài hàng rào \(AB = 13\;{\rm{m}}\), chiều dài hàng rào \(AC = 15\;{\rm{m}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Diện tích khu vườn là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Diện tích khu vườn là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \sin 60^\circ \approx 84,4\)(m2).
Cho \(\tan x = - 1\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\).
\(P = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\)\( = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 2}}{{1 + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)\( = \frac{{\tan x + 2}}{{1 + 2\tan x}} = \frac{{ - 1 + 2}}{{1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = - 1\).
Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Bình đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là \(45^\circ \). Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 105 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là \(35^\circ \). Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xét \(\Delta ACH\) có \(AH = \frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }}\).
Xét \(\Delta BCH\) có \(BH = \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }}\).
Có \(AH + BH = 105\) nên \(\frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }} = 105\)\( \Leftrightarrow CH = 105:\left( {\frac{1}{{\tan 45^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 43,2\)(m).
Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi theo đường vòng theo đường gấp khúc ACDB như hình vẽ. Biết rằng AC = 400 m, CD = 500 m, DB = 400 m và \(\widehat {ACD} = 138^\circ ,\widehat {CDB} = 122^\circ \). Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có
\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ \Rightarrow BC \approx 789\)(m).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:
\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ - 25,5^\circ = 112,5^\circ \).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\;{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(60^\circ \). Tính chiều cao ngọn núi so với mặt đất.
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \); \(\widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \); \(\widehat {ACB} = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), có
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{70\sin 120^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 70\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta AHC\) có \(CH = BC\sin 60^\circ = 70\sqrt 3 \cdot \sin 60^\circ = 105\).
Vậy ngọn núi cao 105 m.
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^\circ \).
Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Sau 2 giờ, tàu B đi được \(20 \cdot 2 = 40\) hải lí.
Sau 2 giờ, tàu C đi được \(15 \cdot 2 = 30\) hải lí.
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {40^2} + {30^2} - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ = 1300\).
Suy ra \(BC = 10\sqrt {13} \).
Vậy sau 2 giờ, 2 tàu cách nhau \(10\sqrt {13} \) hải lí.
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 8,AC = 5\) và \(\widehat A = 60^\circ \).
a) Tính cạnh \(BC\).
b) Tính độ dài đường cao \(AH\).
a) Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49\)\( \Rightarrow BC = 7\).
b) Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\)là \(S = \sqrt {10\left( {10 - 8} \right)\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)} = 10\sqrt 3 \).
Lại có \(S = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài \(BC = a,CA = b,AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng mình rằng \(\cot A = \frac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\).
Có \(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\).
Mà \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Suy ra \(\cot A = \frac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\).
Một ngôi tháp nghiêng về phía Tây một góc α so với phương ngang của mặt đất. Vào lúc 10 giờ sáng, khi góc nâng của tia sáng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(60^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất dài 37,5 m. Vào lúc 16 giờ chiếu, khi góc nâng của tia nắng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(45^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất là 51,9 m.
a) Tính chiều dài thân tháp nghiêng trên.
b) Tìm số đo góc α.
Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \); \(BC = 37,5 + 51,9 = 89,4\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{89,4 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 65,45\) (m).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABD\), ta có
\(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABC} = 65,{45^2} + 37,{5^2} - 2 \cdot 65,45 \cdot 37,5 \cdot \cos 60^\circ \).
Suy ra \(AD \approx 56,88\) m.
Vậy chiều cao thân tháp là 56,88 m.
b) Xét \(\Delta AHB\), có \[AH = AB \cdot \sin B = 65,45 \cdot \sin 60^\circ \approx 56,68\] (m).
Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AD}} = 0,9965 \Rightarrow \alpha \approx 85^\circ 11'\).
Cho \(0 < \alpha < 180^\circ \) với \(\tan \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\).
\(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\)\( = \frac{{3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^4}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} - 1}}\)\( = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\tan }^4}\alpha - 1}}\)
\( = \frac{{3 \cdot {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2}} \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {3^2}} \right)}^2}}}{{{3^4} - 1}} = \frac{{77}}{8}\).
