Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án (Đề 1)
11 câu hỏi
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \). Chọn B.
Trong \(\Delta ABC\) có \(AB = c,AC = b,BC = a\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\({c^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos C\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos A\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos B\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\). Chọn D.
Cho tam giác có \(AB = 8,AC = 9\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng
\({S_{\Delta ABC}} = 36\sqrt 3 \).
\({S_{\Delta ABC}} = 36\).
\({S_{\Delta ABC}} = 18\sqrt 3 \).
\({S_{\Delta ABC}} = 18\).
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin 60^\circ = 18\sqrt 3 \). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\;{\rm{cm}},BC = 7\;{\rm{cm}},AC = 9\;{\rm{cm}}\). Tính \(\cos A\).
\(\cos A = \frac{1}{2}\).
\(\cos A = \frac{1}{3}\).
\(\cos A = - \frac{2}{3}\).
\(\cos A = \frac{2}{3}\).
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 9}} = \frac{2}{3}\). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) có \(BC = 10\) và \(\widehat A = 30^\circ \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)
\(R = 10\).
\(R = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).
\(R = 10\sqrt 3 \).
\(R = 5\).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2\sin 30^\circ }} = 10\). Chọn A.
Cho \(\alpha \) là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
Vì \(\alpha \) là góc tù \( \Rightarrow 90^\circ < \alpha < 180^\circ \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha < 0\\\sin \alpha > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha < 0\\\cot \alpha < 0\end{array} \right.\). Chọn B.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 14,AC = 13,BC = 15\). Khi đó:
\(\cos A = \frac{5}{{12}}\).
Tam giác \(ABC\) có diện tích là 39.
Tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 4.
Đường cao ứng với cạnh \(AB\) có độ dài là 12.
a) Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{{14}^2} + {{13}^2} - {{15}^2}}}{{2 \cdot 14 \cdot 13}} = \frac{5}{{13}}\).
b) Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{14 + 13 + 15}}{2} = 21\).
\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 15} \right)} = 84\).
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 15}}{{4 \cdot 84}} = \frac{{65}}{8}\).
d) Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \Rightarrow h = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2 \cdot 84}}{{14}} = 12\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\tan \alpha = 3,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khi đó:
\(\sin \alpha > 0\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{10}}\).
\(\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = - \frac{{12}}{5}\).
a) Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\).
b) Có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
c) Có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {3^2} = 10 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\) (vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)).
d) \(\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{5\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \)\(\frac{{5\tan \alpha - 3}}{{\tan \alpha + 2}} = \)\(\frac{{5 \cdot 3 - 3}}{{3 + 2}} = \frac{{12}}{5}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\) và \(\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)\). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt a }}{b}\), \(a,b \in \mathbb{Z},a\) là số nguyên tố. Tính \(a - 2b\).
Ta có sin2α + cos2α =1 \( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = \frac{{23}}{{25}}\)\[ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{5}\].
Vì \(\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)\) nên \(\cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {23} }}{5}\).
Suy ra \(a = 23;b = 5\). Do đó \(a - 2b = 23 - 2 \cdot 5 = 13\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 30^\circ ,\widehat B = 45^\circ \). Gọi \({h_a},{h_b}\) lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\). Tính \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}}\) (làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_a}BC = \frac{1}{2}{h_b}AC\)\( \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (1).
Lại có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}}\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = \sqrt 2 \approx 1,4\).
Một ô tô muốn đi từ địa điểm A đến địa điểm B, nhưng giữa A và B là một ngọn núi cao ô tô phải đi thành 2 đoạn từ A lên C (ô tô leo lên dốc núi) và từ C đến B (ô tô xuống núi). Các đoạn đường tạo thành tam giác \(ABC\) với \(AC = 15\;{\rm{km}},BC = 20\;{\rm{km,}}\widehat {ACB} = 120^\circ \). Nếu người ta đào một đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ A đến B thì ô tô chạy trên con đường mới này tiết kiệm được số tiền là bao nhiêu nghìn đồng? Biết trung bình cứ chạy 1 km, ô tô tiêu thụ hết 0,3 lít xăng. Giá thành xăng hiện nay là 25000 đồng một lít xăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = {15^2} + {20^2} - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 925 \Rightarrow BC = 5\sqrt {37} \) (km).
Số tiền xăng ô tô chạy thẳng trên đoạn đường \(AB\) là \(5\sqrt {37} \cdot 0,3 \cdot 25 \approx 228\) nghìn đồng.
Số tiền xăng ô tô chạy qua C là \(\left( {15 + 20} \right) \cdot 0,3 \cdot 25 = 262,5\)nghìn đồng.
Vậy số tiền xăng đã tiết kiệm được là \(262,5 - 228 \approx 35\)nghìn đồng.
