Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án ( Đề 2)
11 câu hỏi
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) là
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - 2;3} \right)\).
\(S = \left[ { - 2;3} \right]\).
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Dựa vào bảng xét dấu, ta có \(f\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\). Chọn D.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 7x + 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x - 9} \) là
\(\left\{ { - 2;5} \right\}\).
\(\emptyset \).
\(\left[ {5; + \infty } \right)\).
\(\left\{ 5 \right\}\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(2{x^2} + 7x + 1 = 3{x^2} + 4x - 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = - 2;x = 5\) vào bất phương trình \(2{x^2} + 7x + 1 \ge 0\), ta thấy \(x = 5\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\). Chọn D.
Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
\(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\).
\(f\left( x \right) = - {x^2} + x - 1\).
\(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 3\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 3\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = - 3 < 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn D.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 7x + 10} = x - 4\) thuộc tập nào dưới đây?
\(\left( {4;5} \right]\).
\(\left( {5;6} \right)\).
\(\left[ {5;6} \right]\).
\(\left[ {5;6} \right)\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^2} - 7x + 10 = {\left( {x - 4} \right)^2}\)\( \Rightarrow x - 6 = 0\)\( \Rightarrow x = 6\).
Thay \(x = 6\) vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 \ge 0\) là
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
\(S = \left[ { - 5;1} \right]\).
\(S = \left[ { - 1;5} \right]\).
\(S = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
Ta có \( - {x^2} + 4x + 5 \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 1 \le x \le 5\).
Vậy \(S = \left[ { - 1;5} \right]\). Chọn C.
Cho hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 4;0} \right)\).
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right]\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2; + \infty } \right)\).
Dựa vào đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\). Chọn A.
Cho \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8\). Khi đó:
\(f\left( x \right)\) là một tam thức bậc hai.
\(f\left( 2 \right) = 1\).
\(f\left( x \right)\) có vô số nghiệm.
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
a) \(f\left( x \right)\) là một tam thức bậc hai.
b) \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 6 \cdot 2 + 8 = 0\).
c) Tam thứ bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8\) có \(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 > 0\).
Do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
d) \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 2\\x > 4\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), \(\left( P \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Cả ba số \(a,b,c\) đều dương.
\(f\left( x \right) \ge m,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m \le - 4\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
a) Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).
Bề lõm của đồ thị hàm số hướng lên trên nên \(a > 0\).
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a > 0\) nên \(b < 0\).
Suy ra \(a > 0,b < 0,c < 0\).
b) Ta có \(f\left( x \right) \ge m\)\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow m \le - 4\).
c) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 3\end{array} \right.\).
d) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có \(a{x^2} + bx + c = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết \(x\) sản phẩm \(\left( {0 < x < 2000} \right)\), tổng số doanh nghiệp thu được là \(F\left( x \right) = - {x^2} + 1988x\) (nghìn đồng) và chi phí doanh nghiệp bỏ ra là \(T\left( x \right) = x + 10\) (nghìn đồng) trên mỗi sản phẩm. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để doanh nghiệp không bị lỗ là \(\left[ {a;b} \right]\). Tính \(S = a + b\).
Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là \(f\left( x \right) = F\left( x \right) - xT\left( x \right) = - {x^2} + 1988x - x\left( {x + 10} \right) = - 2{x^2} + 1978x\).
Doanh nghiệp không bị lỗ khi \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 1978x \ge 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 989\).
Vậy để doanh nghiệp không bị lỗ thì \(x \in \left[ {0;989} \right]\).
Suy ra \(a = 0;b = 989\). Do đó \(a + b = 989\).
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = 5x - 6\). Tổng các nghiệm của phương trình bằng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}*\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính tổng \(a + b\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(2{x^2} + 3x - 4 = {\left( {5x - 6} \right)^2}\)\( \Rightarrow 23{x^2} - 63x + 40 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{40}}{{23}}\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 1;x = \frac{{40}}{{23}}\) vào phương trình ta thấy \(x = \frac{{40}}{{23}}\) thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{40}}{{23}}\).
Tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{40}}{{23}}\). Suy ra \(a + b = 63\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5\) với \(m\) là tham số. Tổng các giá trị nguyên của \(m\) để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 1 \le m \le 4\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Tổng các giá trị của \(m\) là 9.
