Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án
50 câu hỏi
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
\(\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn A.
Bảng xét dấu dưới đây là của tam thức bậc hai nào?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4x - 5\).
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm \(x = - 1\); \(x = 5\) và \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \left( { - 1;5} \right)\).
Do đó đây là bảng xét dấu của tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\). Chọn A.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 2x - 4\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^2} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai. Chọn D.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 1} = \sqrt {x + 3} \) là
\(4\).
\(6\).
\(5\).
\(1\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(2{x^2} + 3x - 1 = x + 3\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 1;x = - 2\) vào bất phương trình \(x + 3 \ge 0\) ta thấy \(x = 1;x = - 2\) đều thỏa mãn.
Vậy \(x = 1;x = - 2\) là nghiệm của phương trình.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 5. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 > 0\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
\({x^2} - 4x + 4 > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Chọn A.
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình?
\(\left[ {8; + \infty } \right)\).
\(\left[ {6; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\({x^2} - 8x + 7 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.\).
Suy ra tập \(\left[ {6; + \infty } \right)\) có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. Chọn B.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\)có hai nghiệm phân biệt.
\(m < 4\).
\(m < 1\).
\(m > 1\).
\(m > 4\).
Để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot m > 0 \Leftrightarrow m < 1\). Chọn B.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x < 2\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x > 3\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x < 3\).
Dựa vào bảng xét dấu, ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\). Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \(2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x\) là
\(3\).
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \in \emptyset \).
Vậy phương trình vô nghiệm. Chọn C.
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn \({x^2} - x - 12 \le 0\) là
\(3\).
\(1\).
\(4\).
\(2\).
\({x^2} - x - 12 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 3 \le x \le 4\).
Vì \(x\) là số thực dương lớn nhất nên \(x = 4\). Chọn D.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 8x - 8\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Ta có \(a = - 2 < 0\) và \(\Delta ' = {4^2} - \left( { - 2} \right)\left( { - 8} \right) = 0\).
Do đó \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).Chọn C.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 2x - 4\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai. Chọn A.
Cho các tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4;g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4;h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = - 23 < 0\end{array} \right.\). Vậy \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\Delta = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 7 < 0\end{array} \right.\). Vậy \(g\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\\Delta = {0^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 4 > 0\end{array} \right.\). Vậy tam thức \(h\left( x \right)\) đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Vậy có 1 tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).
Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\) và \({x_2} = 3\) và có \(a = 1 > 0\).
Bảng xét dấu tam thức bậc hai
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\). Chọn B.
Số giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\)nhận giá trị âm là
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Để \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\)nhận giá trị âm thì \(2{x^2} - 7x - 9 < 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{9}{2}\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Có 5 giá trị nguyên của \(x\). Chọn C.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) là
\(S = \left[ { - 2;3} \right]\).
\(S = \left( { - 2;3} \right)\).
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;3} \right]\).
Vậy tập nghiệm là \(S = \left[ { - 2;3} \right]\). Chọn A.
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 4x - 4 \ge 0\) là
\(S = \mathbb{R}\).
\(S = \emptyset \).
\(S = \left\{ 2 \right\}\).
\(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\( - {x^2} + 4x - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\). Chọn C.
Cho đồ thị của hàm số bậc hai \(f\left( x \right)\) như hình vẽ
Nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) là
\(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\(x \in \left( {0;2} \right)\).
\(x \in \mathbb{R}\).
\(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\). Chọn A.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(b\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\).
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn trái dấu với hệ số \(a\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\). Chọn C.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \( - {x^2} - 9x + 10 \ge 0\) là
\(10\).
\(13\).
\(11\).
\(12\).
Ta có \( - {x^2} - 9x + 10 \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 10 \le x \le 1\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 10; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có 12 nghiệm nguyên. Chọn D.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) là
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(4 - 3{x^2} = {\left( {2x - 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow 7{x^2} - 4x - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{3}{7}\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 1\); \(x = - \frac{3}{7}\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn.
Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn B.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(4x + \frac{3}{x} - 1 > 0\).
\(2{x^2} + \sqrt x > 0\).
\(2{x^2} - \frac{1}{x} > 0\).
\( - \frac{2}{3}{x^2} - 3 < 0\).
\( - \frac{2}{3}{x^2} - 3 < 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn. Chọn D.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 4 > 4x\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Ta có \({x^2} + 4 > 4x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Chọn A.
Giải bất phương trình \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
\(x \le 1\).
\(1 \le x \le 4\).
\(x \ge 4\).
Ta có \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 4\end{array} \right.\).
Vậy \(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\). Chọn A.
Biết phương trình \(\sqrt {3{x^2} + x + 6} = \sqrt {2{x^2} - 4x} \) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Giá trị \(A = {x_2} - {x_1}\) bằng
\(A = 5\).
\(A = 12\).
\(A = 0\).
\(A = 1\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(3{x^2} + x + 6 = 2{x^2} - 4x\)\( \Rightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình đã cho ta thấy \(x = - 2;x = - 3\) đều thỏa mãn.
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A = \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = 1\). Chọn D.
Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol trong hình vẽ sau:
Trục đối xứng của parabol là trục tung.
Parabol có bề lõm quay lên.
\(f\left( 0 \right) < 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - 3;1} \right)\).
a) Trục đối xứng của parabol là \(x = - 1\).
b) Parabol có bề lõm quay lên.
c) \(f\left( 0 \right) < 0\).
d) \(f\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow - 3 < x < 1\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - 3;1} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - 1; - 9} \right)\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có đúng 7 nghiệm nguyên.
\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;4} \right)\).
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) Tọa độ đỉnh của parabol là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1\\y = {1^2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {1; - 9} \right)\).
c) Có \(f\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên của \(x\).
d) \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 4\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;4} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có \(\Delta > 0\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hệ số \(a > 0\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\)có 3 nghiệm nguyên.
Dựa vào đồ thị hàm số
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có \(\Delta > 0\).
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).
c) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hệ số \(a < 0\).
d) \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 3\) mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 2\).
Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\)có 1 nghiệm nguyên.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 3x - 4} \).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45\) có hai nghiệm phân biệt.
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2;4} \right]\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có 1 nghiệm duy nhất.
a) Điều kiện \({x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
b) \(\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 2025\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Vì \(f\left( x \right) \ge 0\) nên để \(f\left( x \right) \le 0\) thì \(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\).
d) Theo câu c, có 2 nghiệm để \(f\left( x \right) \le 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) là một tam thức bậc hai.
\(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\).
Có 2 giá trị nguyên của \(x\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) là \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) là một tam thức bậc hai.
b) Thay \(x = 3\) vào bất phương trình ta được \({3^2} - 3 \cdot 3 + 2 \ge 0\) (đúng).
Vậy \(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\).
c) \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 2\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị nguyên nào của \(x\) để \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\).
d) Điều kiện \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) là \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{2}{{{x^2} + 2x - 3}}\).
Điều kiện xác định của hàm số là \(x \ne 1\).
\(f\left( 2 \right) = - \frac{2}{5}\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
a) Điều kiện \({x^2} + 2x - 3 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 3\end{array} \right.\).
b) \(f\left( 2 \right) = - \frac{2}{{{2^2} + 2 \cdot 2 - 3}} = \frac{{ - 2}}{5}\).
c) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3\\x > 1\end{array} \right.\).
d) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 11x - 24\).
Tam thức bậc hai đã cho có \(\Delta = - 71\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\).
Có 6 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm.
a) Có \(\Delta = {11^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 24} \right) = 25\).
b) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 > 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {3;8} \right)\).
c) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 8\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\).
d) Có \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 \ge 0 \Leftrightarrow 3 \le x \le 8\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\).
Vậy có 6 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho bất phương trình \({x^2} - 2x - 8 \le 0\) có tập nghiệm là \(S\).
\(x = 3\) không là nghiệm của bất phương trình.
Có 5 giá trị nguyên của \(x\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8\) nhận giá trị âm.
\(S = \left[ {a;b} \right]\) trong đó \(a + b = 2\).
Đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) là tập con của tập nghiệm \(S\).
a) Thay \(x = 3\) vào bất phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy \(x = 3\) là nghiệm của bất phương trình.
b) \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8\) nhận giá trị âm khi \({x^2} - 2x - 8 < 0\)\( \Leftrightarrow - 2 < x < 4\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 5 giá trị nguyên của \(x\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8\) nhận giá trị âm.
c) \({x^2} - 2x - 8 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Vậy \(S = \left[ { - 2;4} \right]\). Do đó \(a + b = 2\).
d) \(\left[ { - 3;2} \right]\not \subset \left[ { - 2;4} \right]\) nên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) không là tập con của tập nghiệm \(S\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < - 3\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
Phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = x + 1\) vô nghiệm.
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng xét dấu
b)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) < - 3\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 1\).
Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) < - 3\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - 1;1} \right)\).
c) Gọi \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( { - 2;0} \right);\left( {2;0} \right);\left( {0; - 4} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(f\left( x \right) = {x^2} - 4\).
Khi đó \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \).
Bình phương hai vế của phương trình ta được \({x^2} - 4 = {x^2} - 2x + 4\)\( \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\).
Thay \(x = 4\) vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 4\).
d) \(\sqrt {f\left( x \right)} = x + 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} = x + 1\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được \({x^2} - 4 = {\left( {x + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow 2x = - 5 \Rightarrow x = - \frac{5}{2}\).
Thay \(x = - \frac{5}{2}\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) (\(m\) là tham số). Khi đó:
Khi \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi \(m > 3\) thì \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm trái dấu.
Khi \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) thì tam thức có hai nghiệm phân biệt.
Khi \(m \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
a) Khi \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
b) \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm trái dấu khi \( - \left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 3\).
c) Có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {m - 3} \right) = {m^2} - m - 2\).
Để tam thức có hai nghiệm thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) thì tam thức có hai nghiệm phân biệt.
d) \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Biết phương trình \(\sqrt {2x - 1} = 2 - x\) có \(m\) nghiệm. Tính \(m + 2025\).
\(\sqrt {2x - 1} = 2 - x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\2x - 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2x - 1 = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm. Do đó \(m + 2025 = 2026\).
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 4 > 0\) là \(S = \left( {a;b} \right)\). Tính \(M = 3a + 2b\).
\( - {x^2} + 5x - 4 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;4} \right)\).
Suy ra \(a = 1;b = 4\). Do đó \(M = 3a + 2b = 11\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5\), với \(m\) là tham số. Tổng các giá trị nguyên của \(m\) để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là 9.
Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí A đến B rồi kéo lên vị trí C là Ngọn Hải Đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí A đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là 1 km. Tiền công kéo dây điện bắt từ A đến B là 2 triệu đồng/ km và từ B đến C là 3 triệu đồng/km (như hình vẽ). Hỏi tổng chiều dài (km) dây điện đã kéo từ A đến C là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?
Gọi \(x\) (km, \(0 < x < 5\)) là chiều dài từ A đến B.
Suy ra chiều dài từ B đến chân Ngọn Hải Đăng là \(5 - x\) (km).
Khi đó chiều dài từ B đến C là \(\sqrt {{1^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {26 - 10x + {x^2}} \) (km).
Theo đề ta có \(2x + 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13 - 2x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 2x \ge 0\\9\left( {26 - 10x + {x^2}} \right) = {\left( {13 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\5{x^2} - 38x + 65 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(0 < x < 5\), ta có \(x = \frac{{13}}{5}\).
Tổng chiều dài dây điện kéo từ A đến C là \(\frac{{13}}{5} + \sqrt {26 - 10 \cdot \frac{{13}}{5} + {{\left( {\frac{{13}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{26}}{5} = 5,2\) km.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;30} \right]\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm?
Để bất phương trình vô nghiệm thì \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {m^2} - 28m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\0 < m < 28\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \left[ {0;30} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;27} \right\}\).
Vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.
Một cửa hàng kinh doanh xăng dầu. Kế toán của cửa hàng đã tính toán lợi nhuận khi bán xăng A95 hàng ngày theo công thức sau \(y = - 86{x^2} + 86000x - 18146000\), trong đó \(x\) là số lít xăng A95 được bán ra, \(y\) là lợi nhuận theo đơn vị đồng. Hỏi cửa hàng bán tối thiểu bao nhiêu lít xăng thì sẽ có lợi nhuận.
Để cửa hàng bán có lợi nhuận thì \( - 86{x^2} + 86000x - 18146000 > 0\)\( \Leftrightarrow 302,5 < x < 697,5\).
Vậy cửa hàng bán tối thiểu 303 lít xăng sẽ có lợi nhuận.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = x - 1\) bằng bao nhiêu?
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(2{x^2} - 5x - 9 = {\left( {x - 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = - 2;x = 5\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x - 3} \) và đường thẳng \(y = 3 - x\).
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = 3 - x\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(2x - 3 = {\left( {3 - x} \right)^2}\)\( \Rightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 2;x = 6\) vào phương trình ta thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Với \(x = 2\) thì \(y = 1\). Vậy giao điểm của hai đồ thị là \(\left( {2;1} \right)\).
Do đó có 1 giao điểm.
Một doanh nghiệp dự định sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 20{x^2} + 2200x - 19980\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{20}}{x} + 100\) (nghìn đồng). Nếu muốn lợi nhuận đạt trên 20 triệu đồng thì doanh nghiệm đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm.
Chi phí sản xuất cho \(x\) sản phẩm là \(C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {\frac{{20}}{x} + 100} \right) = 20 + 100x\).
Khi đó lợi nhật là \(L\left( x \right) = - 20{x^2} + 2200x - 19980 - 20 - 100x = - 20{x^2} + 2100x - 20000\).
Để lợi nhuận đạt trên 20 triệu đồng thì \(L\left( x \right) > 20000\)\( \Leftrightarrow - 20{x^2} + 2100x - 20000 > 20000\)
\( \Leftrightarrow - 20{x^2} + 2100x - 40000 > 0\)\( \Leftrightarrow 25 < x < 80\).
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 26 sản phẩm.
Bạn Hà dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước \(6\;{\rm{cm}} \times 11\;{\rm{cm}}\), độ rộng viền xung quanh là \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (tham khảo hình vẽ). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 38 cm2. Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu cm?
Chiều dài khung ảnh hình chữ nhật là \(11 + 2x\) (cm).
Chiều rộng khung ảnh hình chữ nhật là \(6 + 2x\) (cm).
Diện tích khung ảnh là \(\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right)\) (cm2).
Diện tích phần trong của khung ảnh là \(6 \cdot 11 = 66\) (cm2).
Diện tích viền của khung ảnh là \(\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right) - 66\).
Để diện tích viền không vượt quá 38 cm2 thì
\(\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right) - 66 \le 38\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 34x - 38 \le 0\)\( \Leftrightarrow - \frac{{19}}{2} \le x \le 1\).
Vì \(x > 0\) nên \( \Leftrightarrow 0 < x \le 1\).
Vậy độ rộng của viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.
Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận \(y\) (đồng) theo công thức sau \(y = - 200{x^2} + 92000x - 8400000\), trong đó \(x\) là số sản phẩm được bán ra. Xác định số sản phẩm mà doanh nghiệp nên sản xuất để có lãi.
Để doanh nghiệp có lãi thì \( - 200{x^2} + 92000x - 8400000 > 0\)\( \Leftrightarrow 125,5 < x < 334,4\).
Vậy để có lãi thì doanh nghiệp nên sản xuất từ 125 đến 334 sản phẩm.
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi là 48 cm. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 2 cm như hình vẽ.
Tìm chiều dài của tấm sắt sao cho diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm2.
Nửa chu vi tấm sắt là \(48:2 = 24\) (cm).
Gọi chiều dài của tấm sắt là \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chiều rộng của tấm sắt là \(24 - x\) (cm).
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 24 - x\\x < 24\end{array} \right. \Leftrightarrow 12 < x < 24\) (1).
Diện tích phần còn lại của tấm sắt là \(x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4\) (cm2).
Để diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm2 thì \(x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4 \ge 92\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 24x - 108 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 6 \le x \le 18\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(12 < x \le 18\).
Vậy tấm sắt có chiều dài thuộc nửa khoảng \(\left( {12;18} \right]\).
Bác Nam dự định xây dựng một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 10 m, trên khu vườn đó bác Nam muốn chia thành hai phần: phần đất trồng rau dạng hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của khu vườn, phần còn lại bác Nam làm hồ nuôi cá. Biết chi phí thi công phần đất trồng rau và hồ nuôi cá lần lượt là 60000 đồng/m2 và 135000 đồng/m2. Hỏi chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là bao nhiêu mét để tổng chi phí thi công không quá 5400000 đồng/m2.
Gọi chiều rộng của khu vườn là \(x\left( {\rm{m}} \right),\left( {0 < x < 10} \right)\).
Diện tích phần trồng rau là \({x^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chi phí thi công phần trồng rau là \(60{x^2}\) (nghìn đồng).
Diện tích phần làm hồ nuôi cá là \(x\left( {10 - x} \right)\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chi phí thi công phần hồ nuôi cá là \(135x\left( {10 - x} \right)\) (nghìn đồng).
Vì tổng chi phí không vượt quá 5400000 đồng/m2 nên ta có:
\(60{x^2} + 135x\left( {10 - x} \right) \le 5400\)\( \Leftrightarrow - 75{x^2} + 1350x - 5400 \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 12\end{array} \right.\).
Vì \(0 < x < 10\) nên \(0 < x \le 6\).
Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất là 6 m.
Giải các bất phương trình sau
a) \(\sqrt { - 4x + 4} = \sqrt { - {x^2} + 1} \).
b) \(\sqrt { - 2{x^2} + x + 7} + 3 = x\).
a) Bình phương hai vế của phương trình ta được
\( - 4x + 4 = - {x^2} + 1\)\( \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 1;x = 3\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
b) \(\sqrt { - 2{x^2} + x + 7} + 3 = x\)\( \Leftrightarrow \sqrt { - 2{x^2} + x + 7} = x - 3\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\( - 2{x^2} + x + 7 = {\left( {x - 3} \right)^2}\)\( \Rightarrow - 3{x^2} + 7x - 2 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = 2\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 2\); \(x = \frac{1}{3}\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) như hình vẽ, độ dài cạnh \(AB\) gấp ba lần độ dài cạnh \(AD\), độ dài cạnh \(AD\) kém độ dài cạnh \(AC\) một đơn vị. Tính độ dài cạnh \(AD\) để độ dài cạnh \(AB\) gấp bốn lần độ dài cạnh \(CD\).
Gọi \(AD = x \Rightarrow AB = 3x;AC = x + 1\), điều kiện \(x > 0\).
Ta có \(CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} = \sqrt {2x + 1} \).
Theo giả thiết, ta có \(AB = 4CD \Rightarrow 3x = 4\sqrt {2x + 1} \)\( \Rightarrow 9{x^2} = 16\left( {2x + 1} \right)\)\( \Rightarrow 9{x^2} - 32x - 16 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - \frac{4}{9}\end{array} \right.\).
Thay lần lượt hai giá trị này của \(x\) vào phương trình và kết hợp điều kiện, ta thấy \(x = 4\) thỏa mãn.
Vậy độ dài cạnh \(AD\) là 4.
