Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án (Đề 2)
11 câu hỏi
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh 2. Tính \(\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(4\).
\(\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos 90^\circ = 0\). Chọn A.
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng hướng với mọi vectơ.
\(\overrightarrow {AA} = 0\).
Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với mọi vectơ.
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\).
\(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \). Chọn B.
Cho 3 điểm \(A,B,C\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \). Chọn A.
Cho \(\overrightarrow a = - 5\overrightarrow b \left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 5\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) ngược hướng.
\(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) cùng phương.
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a = - 5\overrightarrow b \Rightarrow \)\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\left| {\overrightarrow b } \right|\). Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng như hình vẽ sau. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng và \(AB = 3AC\) nên \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \). Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(I\) là trung điểm \(BC\). Chọn đẳng thức đúng.
\(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \).
\(\overrightarrow {IG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \). Chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\)(\(O\) là giao điểm của hai đường chéo), cạnh hình vuông bằng \(2a\), gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(OB\), \(M\)là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khi đó:
Độ dài \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \) bằng \(4a\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = 0\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {AI} \).
\(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BD} \).
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( = \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} } \right)\)\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} \)\( = 2\overrightarrow {BA} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = 4a\).
b) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0\).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AI} \).
d) \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {BD} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\).
\(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \).
\({S_{\Delta BEF}} = \frac{{{a^2}}}{8}\).
\(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
a)\(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(BC = 2EF\) và \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {EF} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {EF} \).
b) \({S_{\Delta BEF}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{1}{8}{a^2}\).
c) \({\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + 4{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{4}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}\).
Suy ra \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).
d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
Khi đó \[\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)
\( = - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = - {a^2}\).
Có \(\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{{5{a^2}}}{4}}} = - \frac{4}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(O\). Cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là \(34\;{\rm{N}}\) và \(134\;{\rm{N}}\), góc \(\widehat {AOB} = 120^\circ \). Tính cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \).
Khi đó \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {34^2} + 2 \cdot 34 \cdot 134 \cdot \cos 120^\circ + {134^2} = 14556\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {14556} \approx 121\) (N).
Một người đi xe từ A sang B với vận tốc 60 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \), một người khác đi xe từ B sang A với vận tốc 100 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \). Biết \(\overrightarrow {{v_2}} = a\overrightarrow {{v_1}} \), khi đó giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần chục)?
Ta có \(\overrightarrow {{v_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}} = \frac{{100}}{{60}} = \frac{5}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {{v_2}} = - \frac{5}{3}\overrightarrow {{v_1}} \).
Vậy \(a = - \frac{5}{3} \approx - 1,7\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Tam giác \(ABC\) vuông tại A, có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{{2,5}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\).
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + 2,{5^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)
\[ = \frac{1}{4}\left( { - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos B + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos C} \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{5\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 60^\circ + 2,5 \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 30^\circ } \right) = \frac{{25}}{{24}} \approx 1,04\].
