Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án
55 câu hỏi
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
Cho ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ
Biết rằng \(k\) là số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CB} \). Tìm \(k\).
\(\frac{3}{7}\).
\( - \frac{3}{7}\).
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{7}{3}\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).
\(40\).
\( - 40\).
\(0\).
\(20\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khi đó khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IB} \) là hai vectơ đối.
\(\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {GI} \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau.
Cho tam giác \(ABC\) có \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {KB} \).
\(\overrightarrow {KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Cho đoạn thẳng \(AB\). Lấy điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(AM = \frac{1}{4}AB\). Khi đó mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {MA} \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Tính \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ bằng nhau.
Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = \frac{1}{2}NB\) và trên cạnh \(AC\) lấy \(P\) sao cho \(AP = \frac{2}{3}AC\). Mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \).
Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2a, \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Độ dài của \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} \) bằng
\(2\sqrt 3 a\).
\(4a\).
\(\sqrt 3 a\).
\(2\sqrt 2 a\).
Có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác \(ABC\) cho trước.
\(6\).
\(12\).
\(3\).
\(9\).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 2a. Tính \(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right|\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}a\).
\(2\sqrt 2 a\).
\(2\sqrt 5 a\).
\(\sqrt 5 a\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Cặp vectơ nào sau đây là hai vectơ cùng hướng?
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {MA}+ \overrightarrow {MB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow 0 \).
Cho \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có giá song song.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \) có độ dài bằng
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(2MA = 5MB\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {MA} = \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{2}\overrightarrow {AB} \).
Hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng gọi là
Hai vectơ cùng phương.
Hai vectơ đối nhau.
Hai vectơ ngược hướng.
Hai vectơ bằng nhau
Cho \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow a \). Khi đó:
\(\overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = 5\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = 7\overrightarrow a \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Cho \(\Delta ABC\), gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
\(M\) là trực tâm \(\Delta ABC\).
\(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\(M\)là trung điểm của \(AB\).
Cho ba điểm \(A,B,C\) cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi và chỉ khi
Điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\).
Điểm \(A\) thuộc đoạn \(BC\).
Điểm \(C\) thuộc đoạn \(AB\).
Điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(BC\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 1,AD = 2\) và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \sqrt 3 \).
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ta được
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác \(ABC\) với \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CA\). Vectơ nào sau đây bằng vectơ \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)?
\(\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {MA} \).
\(\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {PN} \).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(P = 2{a^2}\).
\(P = - {a^2}\).
\(P = {a^2}\).
\(P = - 2{a^2}\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) khác \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a \).
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c \).
\({\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).
Cho \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow a \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = 6\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = 3\overrightarrow b \).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó:
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(30^\circ \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = 144\).
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(\widehat B = 60^\circ \). Khi đó:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = 30^\circ \).
\(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Lấy điểm \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\). Khi đó:
\(MN = BC\).
\(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] ngược hướng.
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) bằng 6.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) bằng 2.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) bằng \(\sqrt 3 \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 3,AC = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 9\).
Độ dài vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) bằng \(2\sqrt {13} \).
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a\).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Có 3 vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của \(\Delta ABC\).
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {MO} \).
Cho hình chữ nhật \(FCDE\) có tâm \(I,FC = 4,CD = 1\). Gọi \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(FE\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {FI} \) và \(\overrightarrow {ID} \) ngược hướng.
\(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {FD} \).
\(\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {HE} \).
\(\left| {\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} } \right| = \sqrt {17} \).
Cho hình vuông \(OBCD\) có cạnh bằng \(6a\). Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DO} = 2\overrightarrow {OC} \).
\(\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = 135^\circ \).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CO} = - 36{a^2}\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CD} = 24{a^2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}\).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = {a^2}\).
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một chất điểm \(M\). Biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 150 N, cường độ lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 100 N và góc tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(120^\circ \). Gọi \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) là lực tổng hợp tác động vào chất điểm \(M\). Tính cường độ của lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) (theo đơn vị N) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
132
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).
2
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm. Tính giá trị \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
10
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
5
Một người dùng lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đơn vị J) bằng bao nhiêu?
4500
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(70\)N và \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 60^\circ \). Cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(a\sqrt b \). Tính \(a + b\).
73
Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng 1 và \(\widehat A = 60^\circ \). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AO} \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
0,9
Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AM\) và \(K\) là điểm thuộc \(AC\) sao cho \(AK = \frac{1}{3}AC\). Khi đó \(\overrightarrow {BI} = m\overrightarrow {BK} \). Tìm \(m\).
0,75
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AB,AC\) và \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\). Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {AF} \). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) ta thu được kết quả dạng \(a \cdot \overrightarrow u + b \cdot \overrightarrow v \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + b\).
1
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 3. Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\). Tính\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
-18
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,AC = \sqrt 3 \).
a) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
b) Tính \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} \).
Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh \(AC\) sao cho \(NA = 2NC\), \(D\) là trung điểm của \(AN\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Một chất điểm \(A\) chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ. Biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng (như hình vẽ); lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Niutơn?
Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).
