Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án
55 câu hỏi
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn D.
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \). Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ
Biết rằng \(k\) là số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CB} \). Tìm \(k\).
\(\frac{3}{7}\).
\( - \frac{3}{7}\).
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{7}{3}\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) ngược hướng.
Lại có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{7}\overrightarrow {CB} \). Vậy \(k = - \frac{3}{7}\). Chọn B.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).
\(40\).
\( - 40\).
\(0\).
\(20\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 8 \cdot 5 \cdot \cos 0^\circ = 40\). Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khi đó khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IB} \) là hai vectơ đối.
\(\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {GI} \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau là khẳng định sai. Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {KB} \).
\(\overrightarrow {KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {IK} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng và \(IK = \frac{1}{2}AC\) nên \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Chọn D.
Cho đoạn thẳng \(AB\). Lấy điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(AM = \frac{1}{4}AB\). Khi đó mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {MA} \).
Có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng hướng.
Vì \(AM = \frac{1}{4}AB\) nên \(AM = \frac{1}{3}MB\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \). Chọn C.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Tính \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \). Chọn B.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ bằng nhau.
Vì \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)) nên \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = \frac{1}{2}NB\) và trên cạnh \(AC\) lấy \(P\) sao cho \(AP = \frac{2}{3}AC\). Mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Chọn B.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2a, \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Độ dài của \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} \) bằng
\(2\sqrt 3 a\).
\(4a\).
\(\sqrt 3 a\).
\(2\sqrt 2 a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BM} + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BM} } \right) + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)
\( = 4{a^2} + 4 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + 4{a^2}\)\( = 12{a^2}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right| = 2a\sqrt 3 \). Chọn A.
Có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác \(ABC\) cho trước.
\(6\).
\(12\).
\(3\).
\(9\).
Có 6 vectơ là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} \). Chọn A.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 2a. Tính \(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right|\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}a\).
\(2\sqrt 2 a\).
\(2\sqrt 5 a\).
\(\sqrt 5 a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)^2} = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + {\overrightarrow {DB} ^2}\)\( = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right) + {\overrightarrow {DB} ^2}\)
\( = 4{a^2} + 2 \cdot 2a \cdot 2\sqrt 2 a \cdot \cos 45^\circ + 8{a^2}\)\( = 20{a^2}\)\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = 2\sqrt 5 a\). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Cặp vectơ nào sau đây là hai vectơ cùng hướng?
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {MA}+ \overrightarrow {MB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \). Chọn B.
Cho \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có giá song song.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\). Chọn C.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \) có độ dài bằng
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Khi đó \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \)\( = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = 4\). Chọn B.
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(2MA = 5MB\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {MA} = \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{2}\overrightarrow {AB} \).
Vì \(M\)thuộc đoạn thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.
Lại có \(2MA = 5MB\) nên \(MA = \frac{5}{7}AB\). Do đó \(\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB} \). Chọn B.
Hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng gọi là
Hai vectơ cùng phương.
Hai vectơ đối nhau.
Hai vectơ ngược hướng.
Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng gọi là hai vectơ bằng nhau. Chọn D.
Cho \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow a \). Khi đó:
\(\overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = 5\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow {MN} = 7\overrightarrow a \).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a \). Chọn A.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). Chọn B.
Cho \(\Delta ABC\), gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
\(M\) là trực tâm \(\Delta ABC\).
\(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\(M\)là trung điểm của \(AB\).
\(M\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) thì \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi và chỉ khi
Điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\).
Điểm \(A\) thuộc đoạn \(BC\).
Điểm \(C\) thuộc đoạn \(AB\).
Điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(BC\).
Cectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi và chỉ khi điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\). Chọn A.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 1,AD = 2\) và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \sqrt 3 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \)\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = {1^2} + 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\). Chọn B.
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ta được
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) với \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CA\). Vectơ nào sau đây bằng vectơ \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)?
\(\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {MA} \).
\(\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {PN} \).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MA = \frac{1}{2}AB\).
Có \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \). Chọn B.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(P = 2{a^2}\).
\(P = - {a^2}\).
\(P = {a^2}\).
\(P = - 2{a^2}\).
\(P = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\). Chọn C.
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) khác \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a \).
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c \).
\({\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c \) là khẳng định sai. Chọn A.
Cho \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow a \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = 6\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow a \)\( = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + \overrightarrow a \)\( = 3\overrightarrow b \). Chọn D.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó:
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(30^\circ \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = 144\).
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \).
b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
c) \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
d) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 12 \cdot 12\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = 144\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(\widehat B = 60^\circ \). Khi đó:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = 30^\circ \).
\(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\).
a) \(ABCD\) là hình thoi, \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều. Suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).
Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \).
b) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \widehat {ADC} = 60^\circ \).
c) \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).
d) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
Do \(\Delta ABC\) đều cạnh 2 nên \(BO = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {BO} \cdot \overrightarrow {BA} = - \left| {\overrightarrow {BO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {BA} } \right) = - \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = - 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Lấy điểm \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\). Khi đó:
\(MN = BC\).
\(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] ngược hướng.
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
a) \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(MN//BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).
b) \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
c) \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng.
d) Vì \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) nên \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
a) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) là hai vectơ ngược hướng.
Suy ra điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
b) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
d) \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \)\( = 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) bằng 6.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) bằng 2.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) bằng \(\sqrt 3 \).
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
b) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = 0\).
c) \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \). Suy ra \[\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\].
d) \({\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + {2^2} = 12\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 3,AC = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 9\).
Độ dài vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) bằng \(2\sqrt {13} \).
a) \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\); \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\)
Khi đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9\).
d) Ta có \({\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2}\)\( = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}\)\( = 4 \cdot {3^2} + {4^2} = 52\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a\).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Có 3 vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của \(\Delta ABC\).
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {MO} \).
a) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a\).
b) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không bằng nhau vì chúng không cùng hướng.
c) Có 6 vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của \(\Delta ABC\) là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} \).
d) Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chữ nhật \(FCDE\) có tâm \(I,FC = 4,CD = 1\). Gọi \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(FE\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {FI} \) và \(\overrightarrow {ID} \) ngược hướng.
\(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {FD} \).
\(\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {HE} \).
\(\left| {\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} } \right| = \sqrt {17} \).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {FI} \) và \(\overrightarrow {ID} \) cùng hướng.
b) Theo quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DF} \).
c) Vì \(FCDE\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {CF} \).
Khi đó \(\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {FG} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {FG} - \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {HE} \).
d) Có \(FCDE\) là hình chữ nhật, \(G,H\) là trung điểm của \(CD,EF\), \(I\) là tâm của hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm của \(HG\).
Có \(\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {FG} + \overrightarrow {FH} = 2\overrightarrow {FI} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {FI} } \right| = FD = \sqrt {F{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17} \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình vuông \(OBCD\) có cạnh bằng \(6a\). Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DO} = 2\overrightarrow {OC} \).
\(\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = 135^\circ \).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CO} = - 36{a^2}\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CD} = 24{a^2}\).
a) Do \(OBCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {DO} \).
Do đó \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow 0 \).
b) \(\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = \widehat {BGD} = 180^\circ - 2\widehat {BDG}\) (do \(\Delta BGD\) cân tại \(G\)).
Lại có \(\widehat {BDG} = 45^\circ - \widehat {NDC}\).
Xét \(\Delta DCN\) vuông tại \(C\), có \(\tan \widehat {NDC} = \frac{{NC}}{{CD}} = \frac{{3a}}{{6a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {NDC} \approx 26,5^\circ \).
Do đó \(\widehat {BDG} = 45^\circ - 26,5^\circ = 18,5^\circ \).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = \widehat {BGD} = 180^\circ - 2 \cdot 18,5^\circ = 143^\circ \).
c) \(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CO} = - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} = - \left| {\overrightarrow {OB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right)\)\( = - 6a \cdot 6a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - 36{a^2}\).
d) \(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\)\( = 6a \cdot 6a \cdot \cos 180^\circ = - 36{a^2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}\).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = {a^2}\).
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - {a^2}\).
b) \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \frac{a}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].
c) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Vì \(O,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,AB\) nên \(OM = \frac{1}{2}AD\) và \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AD} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {OM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
Khi đó \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} \)
\[ = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ \]\[ = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].
d) Theo quy tắc hình bình hành có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} \)\( = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một chất điểm \(M\). Biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 150 N, cường độ lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 100 N và góc tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(120^\circ \). Gọi \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) là lực tổng hợp tác động vào chất điểm \(M\). Tính cường độ của lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) (theo đơn vị N) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {150^2} + 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ + {100^2}\)\( = 17500\).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {17500} \approx 132\) (N).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).
Có \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng và \(MB = 4MC\) nên \(\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MC} \). Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(m = \frac{1}{5};n = \frac{4}{5}\). Vậy \(6m + n = 2\).
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm. Tính giá trị \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} \)\( = \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \)\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} \)\( = - 2\overrightarrow {GC} \).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10\).
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} \)\( = k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).
Để \(AM \bot PN\) thì \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(2a + b = 5\).
Một người dùng lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đơn vị J) bằng bao nhiêu?
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) được tính bằng công thức
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 4500\) (J).
Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn bằng 4500 J.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(70\)N và \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 60^\circ \). Cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(a\sqrt b \). Tính \(a + b\).
Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {70^2} + 2 \cdot 70 \cdot 70 \cdot \cos 60^\circ + {70^2} = 14700\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {14700} = 70\sqrt 3 \).
Do đó \(a = 70;b = 3\). Vậy \(a + b = 73\).
Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng 1 và \(\widehat A = 60^\circ \). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AO} \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = AD\) mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\Delta ABD\) đều cạnh 1.
Suy ra \(AO = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,9\).
Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AM\) và \(K\) là điểm thuộc \(AC\) sao cho \(AK = \frac{1}{3}AC\). Khi đó \(\overrightarrow {BI} = m\overrightarrow {BK} \). Tìm \(m\).
Vì \(I\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BM} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KM} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KM} \]\[ = \overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {KB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KC} } \right)\]\[ = \overrightarrow {BK} - \frac{1}{4}\overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {KC} \]
\[ = \frac{3}{4}\overrightarrow {BK} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = 0,75\overrightarrow {BK} \].
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AB,AC\) và \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\). Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {AF} \). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) ta thu được kết quả dạng \(a \cdot \overrightarrow u + b \cdot \overrightarrow v \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + b\).
Có \(E,F\) là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(EF//BC\) mà \(EF\) cắt \(AD\) tại \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AD\).
Khi đó \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \cdot 2\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2} \cdot 2\overrightarrow {AF} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AF} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow u + \frac{1}{2}\overrightarrow v \).
Suy ra \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2}\).
Vậy \(S = a + b = 1\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 3. Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\). Tính\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
Ta có \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} \)\( = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} \)\( = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \)\( = \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \)\[ = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {CD} } \right)\]
\[ = 6 \cdot 3 \cdot \cos 180^\circ = - 18\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
a) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {\overrightarrow {AB} ^2} = 3 - {2^2} = - 1\).
b) Có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
Có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MP} \). Suy ra \(M,N,P\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,AC = \sqrt 3 \).
a) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
b) Tính \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} \).
a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCD} = \cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).
Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh \(AC\) sao cho \(NA = 2NC\), \(D\) là trung điểm của \(AN\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
a) Ta có \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng nhau và \(AC = 3DA\) nên \(\overrightarrow {AC} = - 3\overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Một chất điểm \(A\) chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ. Biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng (như hình vẽ); lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Niutơn?
Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\).
Vật ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AC} \).
Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} = \frac{{12}}{{\cos 30^\circ }} = 8\sqrt 3 \).
Vậy \(\left| {{F_3}} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \) (N).
Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).
Hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Suy ra cạnh hình vuông bằng \(a\), \(AO = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AO} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos 45^\circ \)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\) (1).
Vì \(O,M\) là trung điểm của \(BD,BC\) nên \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).
Suy ra \(OM = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\).
Ta có \(2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{{a^2}}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).
