Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án (Đề 1)
10 câu hỏi
Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được kí hiệu là
\(AB\).
\(\overrightarrow {AB} \).
\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\].
\(\overrightarrow {BA} \).
Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \). Chọn B.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Vectơ nào sau đây bằng với vectơ \(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\[\overrightarrow {BC} \].
\(\overrightarrow {CD} \).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
\(a\sqrt 2 \).
\(2a\).
\[a\].
\(a\sqrt 3 \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a\). Chọn C.
Cho 4 điểm bất kì \(A,B,C,O\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \).
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CA} \].
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \).
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CA} \]. Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2{a^2}\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 135^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 45^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 35^\circ \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = 3IC\). Gọi \(K\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(2AK = 3KB\).
\(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {BI} = - \frac{3}{{10}} \cdot AB \cdot BC.\cos \widehat {ABC}\).
\(\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
a) \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) ngược hướng.
b) \(2AK = 3KB\) và \(K\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) nên \(\overrightarrow {BK} = \frac{2}{5}\overrightarrow {BA} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \);
\(I\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = 3IC\) nên \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).
\[\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {BI} = \left| {\overrightarrow {BK} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BI} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BK} ,\overrightarrow {BI} } \right)\]\[ = \frac{2}{5}AB \cdot \frac{3}{4}BC \cdot \cos \widehat {ABC}\]\[ = \frac{3}{{10}}AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\].
c) \(\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AC} \).
d) \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2\). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\). Biết rằng hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau.
\(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BE} \).
\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
\(AD = 2\sqrt 2 \).
a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \)\( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).
c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:
\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:
\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc \(60^\circ \). Biết trọng lượng của con nhện là \(P = 0,1\;{\rm{N}}\). Độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí như hình vẽ là \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a\) là số nguyên tố, \(b\) là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b\).
Con nhện ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow T + \overrightarrow P + \overrightarrow F = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow T + \overrightarrow {T'} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow T = - \overrightarrow {T'} \).
Từ hình vẽ ta thấy \(F = P \cdot \tan 60^\circ = 0,1 \cdot \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (N).
Suy ra \(a = 3;b = 10\). Do đó \(T = a + b = 13\).
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng bằng 150 N và góc \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Khi đó cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu?
Vì \(K\) là trung điểm của \(MN\) nên \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(\overrightarrow {KD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vậy \(a = \frac{1}{4};b = \frac{1}{3}\). Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0,75\).
