Đề kiểm tra Toán 10 Cánh diều Chương 7 có đáp án - Đề 01

Lời giải

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( { - 1 + 3;2 + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;0} \right)\). Chọn C.

Lời giải

\(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \)\[ \Rightarrow M\left( {3;4} \right)\]. Chọn C.

Lời giải

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 4} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \). Chọn C.

Lời giải

Phương trình đường chuẩn của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 14x\) là \(x =  - \frac{p}{2} =  - \frac{7}{2}\). Chọn C.

Lời giải

Xét phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 4y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0\).

Phương trình này có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = \frac{3}{2};b = 1;c =  - \frac{1}{2}\).

Có \({a^2} + {b^2} - c = \frac{{15}}{4} > 0\) nên phương trình này là phương trình đường tròn. Chọn C.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3} \right)\). Có \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là\(d\)

\(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\). Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1; - 4} \right)\). Có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1; - 4} \right)\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\).

c) Có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 3 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

Suy ra \(d\left( {A,d} \right) > d\left( {B,d} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right)\). Có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(AB\).

Ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;3} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}}  = \sqrt {26} \).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {x - 1;y} \right)\).

Theo đề \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;5} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {0;5} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Ta có \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6,5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k =  \pm 1\end{array} \right.\].

Với \(k = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\); Với \(k =  - 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(\frac{a}{b} = 0,4\).

Trả lời: 0,4.

Lời giải

Gọi \[\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\] với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(CD\).

Khi đó đường thẳng \(CD\) đi qua điểm \(C\left( { - 3; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\] có phương trình là

\(a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0\).

Vì \(CD = 3AB\) nên \(CD = 3\sqrt {10} \). Khi đó \(d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}\).

Suy ra \(d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{3}b\) hoặc \(a =  - \frac{{31}}{{27}}b\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{3}b\).

Chọn \(b =  - 3\) thì \(a = 1\). Khi đó phương trình đường thẳng \(CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)\).

Ta có \(C{D^2} = 90\)\( \Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow d = 0\) hoặc \(d =  - 6\).

Suy ra \(D\left( {6;0} \right)\) (thỏa mãn) hay \(D\left( { - 12; - 6} \right)\) (loại).

Vậy \(D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC}  = \left( { - 3; - 1} \right)\)\( \Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)\).

TH2: \(a =  - \frac{{31}}{{27}}b\).

Chọn \(b =  - 27 \Rightarrow a = 31\). Khi đó \(CD:31x - 27y + 12 = 0\)\( \Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)\).

Suy ra \(C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90\)\( \Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}\) (loại).

Vậy \(B\left( { - 3;1} \right)\)\( \Rightarrow 3a - b =  - 10\).

Trả lời: −10.

Lời giải

Vì một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí \(I\left( {x;y} \right)\) và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)\) nhận được cùng một thời điểm nên \(IO = IA = IB\).

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\ - 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\).

Trả lời: 2.