Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 7 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm \(M\left( { - 3; - 2} \right),N\left( {4; - 3} \right)\). Độ dài đoạn \(MN\) bằng
\(\sqrt {26} \).
\(8\).
\(5\sqrt 2 \).
\(\sqrt 6 \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 3} \right),B\left( { - 2;4} \right),C\left( {3; - 6} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) là
\(D\left( {4; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 13} \right)\).
\(D\left( { - 6;13} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {3;1} \right),B\left( {0;4} \right),C\left( {9;1} \right)\). Góc \(\widehat {BAC}\) bằng
\(60^\circ \).
\(135^\circ \).
\(120^\circ \).
\(45^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 5} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
\( - 13\).
\(\left( {2; - 15} \right)\).
\(17\).
\(\sqrt {65} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(E\left( { - 3;4} \right),F\left( { - 5;6} \right)\). Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) có tọa độ là
\(M\left( { - 1;1} \right)\).
\(M\left( { - 2;2} \right)\).
\(M\left( {4; - 5} \right)\).
\(M\left( { - 4;5} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left( { - 3; - 5} \right)\).
\(\left( { - 3;5} \right)\).
\(\left( {5; - 3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2; - 5} \right),C\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(M\left( {5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(M\left( {5; - 4} \right)\).
Cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của \(y\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 3;y} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \)?
\(3\).
\( - 6\).
\(6\).
\( - \frac{3}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 3;6} \right),B\left( {9; - 10} \right)\) và \(G\left( {\frac{1}{3};0} \right)\) là trọng tâm. Tọa độ \(C\) là
\(C\left( {5; - 4} \right)\).
\(C\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(C\left( {5;4} \right)\).
\(C\left( { - 5;4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {1;2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành?
\({M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {2;1} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1;2} \right)\).
Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 4} \right),\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) là
\(\left( {2; - 10} \right)\).
\(\left( {2; - 6} \right)\).
\(\left( {2;6} \right)\).
\(\left( {0; - 8} \right)\).
Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là
một elip.
một parabol.
một hypebol.
một đường tròn.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x + y - 4 = 0\) và \({d_2}: - 3x - 3y + 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc.
Song song.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 4 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\). Một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\) là
\(F\left( { - 1;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0; - 1} \right)\).
\(F\left( {3;0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x + 5y + 2024 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 5y = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là
\(x + y - 1 = 0\).
\(x - y = 0\).
\(x + y - 2 = 0\).
\( - x + y - 1 = 0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
\({y^2} = - 4x\).
\({y^2} = 4x\).
\({x^2} = 4y\).
\({x^2} = - 6y\).
Phương trình chính tắc của đường elip có tiêu cự bằng 6 và \(2a = 10\) là
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {3;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là
\(2x + 3y + 4 = 0\).
\(2x + 3y - 3 = 0\).
\(x + 3y + 5 = 0\).
\(3x - 2y - 7 = 0\).
Cho parabol có phương trình \({y^2} = 6x\). Phương trình đường chuẩn của parabol là
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = - 3\).
\(x = 3\).
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 - 4t\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\).
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm\(M\left( {15;1} \right)\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = t\end{array} \right.\) là
\(\sqrt {10} \)
\(\frac{{16}}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
\(\sqrt 5 \).
Cho hai điểm \(P\left( {6;1} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(MP + MQ\) nhỏ nhất.
\(M\left( {0; - 1} \right)\).
\(M\left( {3;5} \right)\).
\(M\left( {2;3} \right)\).
\(M\left( {1;1} \right)\).
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(x + y + 6 = 0\).
\(x + y - 6 = 0\).
\(x + 3y - 14 = 0\).
\(x - y + 2 = 0\).
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 3} \right)\).
Tọa độ của \(\overrightarrow {BC} \) là \(\left( {0; - 4} \right)\).
Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left( {\frac{3}{2};1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 9\).
Gọi \(D\left( {a;b} \right)\) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b = 2,5\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {3; - 2} \right),B\left( { - 1;3} \right)\) và \(C\left( {8;2} \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \( - 41\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh \(BC\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) có hoành độ âm.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \).
\(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;4} \right),C\left( { - 5;0} \right)\).
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì điểm \(D\) có tọa độ là \(D\left( { - 3;5} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)\).
Giả sử \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\). Khi đó \(2a - b = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) biết \(A\left( { - 3;4} \right),B\left( { - 3;1} \right),C\left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;5} \right)\).
Hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) là \(H\left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\cos \widehat {BAC} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) là \(\left( { - 7;0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 2.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Cho \(M\) là một điểm bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\). Khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 8 = 0\).
Phương trình chính tắc của Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(\frac{{{x^2}}}{{4,5}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
.b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên \(\Delta \) có bán kính là \(\sqrt 5 \).
Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó:
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\).
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) là \(x + 3y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{8}{5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng 16.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1;5} \right),C\left( { - 3; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AC\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\).
4
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).
-6
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1;2} \right)\). Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) sao cho \(AM = \sqrt {80} \). Tính \(x + y\).
-8
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Biết rằng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(2024a - b\).
2022
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
4
Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\). Khi đó, người đó vung đĩa đến vị trí điểm \(M\left( {3;4} \right)\) thì buông đĩa. Biết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có dạng \(mx + y + n = 0\). Tính giá trị biểu thứ \(P = 2025m + n.\)
2018
Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến điểm \(B\left( {1;50} \right)\) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm \(C\left( {38;50} \right)\). Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
38
Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
31
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;5} \right)\) và đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(d:2x - y - 8 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\left( {a;b} \right)\), biết rằng \(C\) có tung độ âm và diện tích tam giác \(ABC\) bằng 2. Tính \(a + 2b\).
-4
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính\(2M{F_1} + M{F_2}\).
13
B. Tự luận
Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol. Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\;{\rm{cm}}\) và chiều sâu \(h = 30\;{\rm{cm}}\)(\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \({F_1}{F_2} = 50\;{\rm{m}}\) và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ \({F_1}\) đến mái vòm rồi phản chiếu về \({F_2}\) là 100 m. Lập phương trình đường elip đó.
Cho tam giác\(ABC\) có \(A\left( { - 3;2} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\).
a) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và độ dài đoạn thẳng \(AB\).
b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
c) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho \(AM + MC\) ngắn nhất.