Đề kiểm tra Toán 10 Cánh diều Chương 4 có đáp án (Đề 2)
11 câu hỏi
Giá trị của \(\tan 36^\circ \) bằng
\(\cot 54^\circ \).
\(\cos 54^\circ \).
\(\sin 54^\circ \).
\(\tan 54^\circ \).
Có \(\tan 36^\circ = \tan \left( {90^\circ - 54^\circ } \right) = \cot 54^\circ \). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 30^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{5 \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,AC = 8\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
\(r = \sqrt 3 \).
\(r = 2\sqrt 3 \).
\(r = 1\).
\(r = 2\).
Có \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt 3 \).
Có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {5^2} + {8^2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 49 \Rightarrow BC = 7\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Suy ra \(r = \frac{S}{P} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \). Chọn A.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh 2. Tính \(\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(4\).
\(\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos 90^\circ = 0\). Chọn A.
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng hướng với mọi vectơ.
\(\overrightarrow {AA} = 0\).
Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với mọi vectơ.
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\).
\(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \). Chọn B.
Cho 3 điểm \(A,B,C\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = BC = 5\;{\rm{cm}}\), \(b = AC = 6\;{\rm{cm}}\), \(c = AB = 7\;{\rm{cm}}\). \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Khi đó:
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \cos C\).
\(\sin \left( {A + B} \right) = - \sin C\).
\(S = \frac{{abc}}{{2R}}\).
\(\sin B = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}}\).
a) \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {180^\circ - C} \right) = - \cos C\).
b) \(\sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {180^\circ - C} \right) = \sin C\).
c) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
d) Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9\).
Diện tích \(\Delta ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)} = 6\sqrt 6 \).
Lại có \(S = \frac{1}{2}ac\sin B \Rightarrow \sin B = \frac{{2S}}{{ac}} = \frac{{12\sqrt 6 }}{{5 \cdot 7}} = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\)(\(O\) là giao điểm của hai đường chéo), cạnh hình vuông bằng \(2a\), gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(OB\), \(M\)là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khi đó:
Độ dài \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \) bằng \(4a\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = 0\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {AI} \).
\(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BD} \).
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( = \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} } \right)\)\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} \)\( = 2\overrightarrow {BA} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = 4a\).
b) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0\).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AI} \).
d) \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {BD} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Nhà ông An có một khu vườn hình tam giác \(ABC\), biết rằng \(AB = 80\;{\rm{m}}\)và \(10 \cdot \sin A = 12 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin C\). Hỏi khu vườn nhà ông An có diện tích bằng bao nhiêu m2 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(10 \cdot \sin A = 12 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin C\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin A}}{6} = \frac{{\sin B}}{5} = \frac{{\sin C}}{{10}} = k\).
Suy ra \(\sin A = 6k;\sin B = 5k;\sin C = 10k\).
Lại có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{80}}{{2R}} = \frac{{40}}{R}\)\( \Rightarrow R = \frac{{40}}{{\sin C}} = \frac{4}{k}\).
Vì \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R \cdot \sin A = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 6k = 48\); \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow AC = 2R\sin B = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 5k = 40\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{48 + 40 + 80}}{2} = 84\).
Diện tích mảnh vườn là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 80} \right)\left( {84 - 48} \right)\left( {84 - 40} \right)} \approx 730\) m2.
Một người đi xe từ A sang B với vận tốc 60 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \), một người khác đi xe từ B sang A với vận tốc 100 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \). Biết \(\overrightarrow {{v_2}} = a\overrightarrow {{v_1}} \), khi đó giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần chục)?
Ta có \(\overrightarrow {{v_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}} = \frac{{100}}{{60}} = \frac{5}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {{v_2}} = - \frac{5}{3}\overrightarrow {{v_1}} \).
Vậy \(a = - \frac{5}{3} \approx - 1,7\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Tam giác \(ABC\) vuông tại A, có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{{2,5}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\).
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + 2,{5^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)
\[ = \frac{1}{4}\left( { - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos B + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos C} \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{5\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 60^\circ + 2,5 \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 30^\circ } \right) = \frac{{25}}{{24}} \approx 1,04\].
