Đề kiểm tra Toán 10 Cánh diều Chương 4 có đáp án (Đề 1)
11 câu hỏi
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8,AC = 9\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng
\({S_{\Delta ABC}} = 36\sqrt 3 \).
\({S_{\Delta ABC}} = 36\).
\({S_{\Delta ABC}} = 18\sqrt 3 \).
\({S_{\Delta ABC}} = 18\).
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin 60^\circ = 18\sqrt 3 \). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\;{\rm{cm}},BC = 7\;{\rm{cm}},AC = 9\;{\rm{cm}}\). Tính \(\cos A\).
\(\cos A = \frac{1}{2}\).
\(\cos A = \frac{1}{3}\).
\(\cos A = - \frac{2}{3}\).
\(\cos A = \frac{2}{3}\).
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 9}} = \frac{2}{3}\). Chọn D.
Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được kí hiệu là
\(AB\).
\(\overrightarrow {AB} \).
\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\].
\(\overrightarrow {BA} \).
Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \). Chọn B.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Vectơ nào sau đây bằng với vectơ \(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\[\overrightarrow {BC} \].
\(\overrightarrow {CD} \).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 135^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 45^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 35^\circ \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \). Chọn A.
Cho \(\tan \alpha = 3,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khi đó:
\(\sin \alpha > 0\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{10}}\).
\(\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = - \frac{{12}}{5}\).
a) Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\).
b) Có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
c) Có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {3^2} = 10 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\) (vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)).
d) \(\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{5\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \)\(\frac{{5\tan \alpha - 3}}{{\tan \alpha + 2}} = \)\(\frac{{5 \cdot 3 - 3}}{{3 + 2}} = \frac{{12}}{5}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2\). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\). Biết rằng hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau.
\(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BE} \).
\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
\(AD = 2\sqrt 2 \).
a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \)\( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).
c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:
\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:
\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).
Do là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\) và \(\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)\). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt a }}{b}\), \(a,b \in \mathbb{Z},a\) là số nguyên tố. Tính \(a - 2b\).
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\[ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{5}\].
Vì \(\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)\) nên \(\cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {23} }}{5}\).
Suy ra \(a = 23;b = 5\). Do đó \(a - 2b = 23 - 2 \cdot 5 = 13\).
Trả lời: 13.
Một ô tô muốn đi từ địa điểm A đến địa điểm B, nhưng giữa A và B là một ngọn núi cao ô tô phải đi thành 2 đoạn từ A lên C (ô tô leo lên dốc núi) và từ C đến B (ô tô xuống núi). Các đoạn đường tạo thành tam giác \(ABC\) với \(AC = 15\;{\rm{km}},BC = 20\;{\rm{km,}}\widehat {ACB} = 120^\circ \). Nếu người ta đào một đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ A đến B thì ô tô chạy trên con đường mới này tiết kiệm được số tiền là bao nhiêu nghìn đồng? Biết trung bình cứ chạy 1 km, ô tô tiêu thụ hết 0,3 lít xăng. Giá thành xăng hiện nay là 25000 đồng một lít xăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = {15^2} + {20^2} - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 925 \Rightarrow BC = 5\sqrt {37} \) (km).
Số tiền xăng ô tô chạy thẳng trên đoạn đường \(AB\) là \(5\sqrt {37} \cdot 0,3 \cdot 25 \approx 228\) nghìn đồng.
Số tiền xăng ô tô chạy qua C là \(\left( {15 + 20} \right) \cdot 0,3 \cdot 25 = 262,5\)nghìn đồng.
Vậy số tiền xăng đã tiết kiệm được là \(262,5 - 228 \approx 35\)nghìn đồng.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng bằng 150 N và góc \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Khi đó cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu?
Vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\].
Dựng hình bình hành \(AMBN\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MN} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = 150\) (N) (vì tam giác \(AMN\) đều).
