Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 4 có đáp án
55 câu hỏi
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos C = \frac{1}{2}\).
\(\sin B = \frac{1}{2}\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \)\( \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \).
Có \(\cos B = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\); \(\sin C = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Chọn A.
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Chọn C.
Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\).
\(\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\). Chọn D.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{2}{3};0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha \).
\(P = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
\(P = - \frac{7}{{15}}\).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Khi đó \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }} - 3 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo \(\widehat A\) bằng bao nhiêu?
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat A = 60^\circ \). Chọn C.
Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng 3, cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 3 + 3\sqrt 6 \).
\(BC = 3\sqrt 6 - 3\).
\(BC = 3\sqrt 7 \).
\(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).
Khi đó \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Suy ra \(MN//AC\)\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MNB} = 60^\circ \).
Vì \(AB = 9 \Rightarrow BM = 4,5\).
Xét \(\Delta BMN\) có \(B{M^2} = M{N^2} + B{N^2} - 2MN \cdot BN \cdot \cos \widehat {MNB}\)\( \Leftrightarrow 4,{5^2} = {3^2} + B{N^2} - 2 \cdot 3 \cdot BN \cdot \cos 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow B{N^2} - 3 \cdot BN - \frac{{45}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow BN = \frac{{3 + 3\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BN = 3 + 3\sqrt 6 \). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 3 \).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = 10\).
Ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}} \cdot \sin B = \frac{5}{{\sin 45^\circ }} \cdot \sin 60^\circ = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\(R = 4\).
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 1\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng
\(12\).
\(3\).
\(6\).
\(24\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = 12:2 = 6\).
Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S = pr = 6 \cdot 1 = 6\). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 4a\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(S = 8{a^2}\).
\(S = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\(S = {a^2}\sqrt 3 \).
\(S = 4{a^2}\).
Ta có \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a \cdot \sin 120^\circ = 2{a^2}\sqrt 3 \). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 2,BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \).
\(5 - \sqrt 7 \).
\(5\sqrt 7 \).
\(5 + \sqrt {19} \).
Có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = {2^2} + {3^2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7\)\( \Rightarrow AC = \sqrt 7 \).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(2 + 3 + \sqrt 7 = 5 + \sqrt 7 \). Chọn A.
Một tam giác có ba cạnh \(52,56,60\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\(\frac{{65}}{8}\).
\(40\).
\(32,5\).
\(\frac{{65}}{4}\).
Nửa chu vi tam giác là \(p = \frac{{52 + 56 + 60}}{2} = 84\).
Diện tích tam giác là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 52} \right)\left( {84 - 56} \right)\left( {84 - 60} \right)} = 1344\).
Có \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{52 \cdot 56 \cdot 60}}{{4 \cdot 1344}} = 32,5\). Chọn C.
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha \), ta được
\(\sin \alpha \).
\( - \cos \alpha \).
\( - \sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
\(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cos \alpha \). Chọn D.
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = a,AC = b,AB = c\) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Diện tích của \(\Delta ABC\) bằng
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B + \widehat C = 120^\circ ,a = BC = 10\sqrt 3 \). Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
\(10\pi \).
\(15\pi \).
\(20\pi \).
\(5\pi \).
Có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 60^\circ \).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 10\).
Do đó chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(2\pi R = 20\pi \). Chọn C.
Biết \(\tan \alpha = 6\). Tính giá trị của \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\).
\(\frac{{100}}{{37}}\).
\(\frac{{50}}{{37}}\).
\(\frac{{69}}{{37}}\).
\(\frac{{10}}{{37}}\).
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {6^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{37}}\).
\(\tan \alpha = 6 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 6 \Rightarrow \sin \alpha = 6\cos \alpha \).
Khi đó \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\)\( = 2{\cos ^2}\alpha + 30{\cos ^2}\alpha + 1 = 32{\cos ^2}\alpha + 1 = \frac{{32}}{{37}} + 1 = \frac{{69}}{{37}}\). Chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn D.
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \). Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ
Biết rằng \(k\) là số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CB} \). Tìm \(k\).
\(\frac{3}{7}\).
\( - \frac{3}{7}\).
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{7}{3}\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) ngược hướng.
Lại có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{7}\overrightarrow {CB} \). Vậy \(k = - \frac{3}{7}\). Chọn B.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).
\(40\).
\( - 40\).
\(0\).
\(20\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 8 \cdot 5 \cdot \cos 0^\circ = 40\). Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khi đó khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IB} \) là hai vectơ đối.
\(\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {GI} \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau là khẳng định sai. Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {KB} \).
\(\overrightarrow {KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {IK} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng và \(IK = \frac{1}{2}AC\) nên \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Chọn D.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ bằng nhau.
Vì \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)) nên \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.Chọn A.
Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = \frac{1}{2}NB\) và trên cạnh \(AC\) lấy \(P\) sao cho \(AP = \frac{2}{3}AC\). Mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Chọn B.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2a, \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Độ dài của \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} \) bằng
\(2\sqrt 3 a\).
\(4a\).
\(\sqrt 3 a\).
\(2\sqrt 2 a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BM} + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BM} } \right) + 4{\overrightarrow {BM} ^2}\)
\( = 4{a^2} + 4 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + 4{a^2}\)\( = 12{a^2}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right| = 2a\sqrt 3 \). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \). Chọn B.
Cho \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có giá song song.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\). Chọn C.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \) có độ dài bằng
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Khi đó \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \)\( = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = 4\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Cặp vectơ nào sau đây là hai vectơ cùng hướng?
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(AC = b = 7,AB = c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
Cạnh \(BC = a = 4\sqrt 2 \).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
a) \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \).
b) Có \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
c) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5.\frac{4}{5} = 14\).
d) Có \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(BC = a = 21,AC = b = 17,AB = c = 10\).
Nửa chu vi tam giác \(p = 24\).
Diện tích tam giác \(S = 84\).
Đường cao tương ứng với cạnh \(a\) là \({h_a} = 4\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = 3,5\).
a) Nửa chu vi tam giác \(p = \frac{{21 + 17 + 10}}{2} = 24\).
b) Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)\( = \sqrt {24\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 10} \right)} = 84\).
c) Có \(S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8\).
d) Có \(r = \frac{S}{p} = \frac{{84}}{{24}} = 3,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 10,\widehat B = 45^\circ ,\widehat A = 75^\circ \). Khi đó:
\(c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(R \approx 5,77\) (\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(\widehat C = 60^\circ \).
\(b \approx 7,32\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{10 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,97\).
b) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2\sin 75^\circ }} \approx 5,18\).
c) \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
d) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 7,32\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Khi đó:
\({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
a) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) (vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha + \sqrt 5 }}{{2\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \sqrt 5 }}{{\frac{{4\sqrt 5 }}{5} + 1}} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }} = \frac{{28 - 7\sqrt 5 }}{{11}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) biết \(BC = 8,CA = 6,\widehat C = 60^\circ \). Khi đó:
\(AB \approx 7,20\)(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Góc \(A\) là góc tù.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) xấp xỉ bằng 1,96 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(4\sqrt 3 \).
a) Ta có \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat C\)\( = {8^2} + {6^2} - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 52\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {52} \approx 7,21\).
b) Có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{52 + 36 - 64}}{{2 \cdot \sqrt {52} \cdot 6}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}} > 0\).
Suy ra \(A\) là góc nhọn.
c) Có \(p = \frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {432} = 12\sqrt 3 \).
Khi đó \(r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}}} \approx 1,96\).
d)
Ta có \(\frac{{{S_{ABG}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó:
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(30^\circ \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = 144\).
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \).
b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
c) \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
d) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 12 \cdot 12\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = 144\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(\widehat B = 60^\circ \). Khi đó:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = 30^\circ \).
\(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\).
a) \(ABCD\) là hình thoi, \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều. Suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).
Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \).
b) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \widehat {ADC} = 60^\circ \).
c) \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).
d) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
Do \(\Delta ABC\) đều cạnh 2 nên \(BO = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {BO} \cdot \overrightarrow {BA} = - \left| {\overrightarrow {BO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {BA} } \right) = - \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = - 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Lấy điểm \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\). Khi đó:
\(MN = BC\).
\(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] ngược hướng.
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
a) \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(MN//BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).
b) \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
c) \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng.
d) Vì \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) nên \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
a) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) là hai vectơ ngược hướng.
Suy ra điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
b) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
d) \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \)\( = 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) bằng 6.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) bằng 2.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) bằng \(\sqrt 3 \).
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
b) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = 0\).
c) \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \). Suy ra \[\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\].
d) \({\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + {2^2} = 12\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đặt \(AC = b,AB = c\).
Ta có \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36\) (1).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABM\), có \(B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc\)\( \Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ACN\), \(C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}\)\( = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18\).
Lại có \(B{G^2} + C{G^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36\)\( \Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81\)\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45\)\( \Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(bc = 48\sqrt 3 \).
Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).
Tính giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \).
\(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\[P = 2{\cos ^2}1^\circ + 2{\cos ^2}2^\circ + ... + 2{\cos ^2}89^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].
Cho biết \(3\cos \alpha - \sin \alpha = 1,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của \(9\tan \alpha \).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha - \sin \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\{\left( {3\cos \alpha - 1} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\10{\cos ^2}\alpha - 6\cos \alpha = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0\\\cos \alpha = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\).
Vậy \(9\tan \alpha = 9 \cdot \frac{4}{5}:\frac{3}{5} = 12\).
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {CBA} = 80^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến gốc cây \(C\) là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 80^\circ } \right) = 40^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 61,3\)(m).
Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi theo đường vòng theo đường gấp khúc ACDB như hình vẽ. Biết rằng AC = 400 m, CD = 500 m, DB = 400 m và \(\widehat {ACD} = 138^\circ ,\widehat {CDB} = 122^\circ \). Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có
\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ \Rightarrow BC \approx 789\)(m).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:
\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ - 25,5^\circ = 112,5^\circ \).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một chất điểm \(M\). Biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 150 N, cường độ lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 100 N và góc tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(120^\circ \). Gọi \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) là lực tổng hợp tác động vào chất điểm \(M\). Tính cường độ của lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) (theo đơn vị N) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {150^2} + 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ + {100^2}\)\( = 17500\).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {17500} \approx 132\) (N).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).
Có \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng và \(MB = 4MC\) nên \(\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MC} \). Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(m = \frac{1}{5};n = \frac{4}{5}\). Vậy \(6m + n = 2\).
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm. Tính giá trị \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} \)\( = \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \)\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} \)\( = - 2\overrightarrow {GC} \).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10\).
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} \)\( = k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).
Để \(AM \bot PN\) thì \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(2a + b = 5\).
Một người dùng lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đơn vị J) bằng bao nhiêu?
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) được tính bằng công thức
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 4500\) (J).
Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn bằng 4500 J.
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^\circ \).
Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Sau 2 giờ, tàu B đi được \(20 \cdot 2 = 40\) hải lí.
Sau 2 giờ, tàu C đi được \(15 \cdot 2 = 30\) hải lí.
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {40^2} + {30^2} - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ = 1300\).
Suy ra \(BC = 10\sqrt {13} \).
Vậy sau 2 giờ, 2 tàu cách nhau \(10\sqrt {13} \) hải lí.
Một ngôi tháp nghiêng về phía Tây một góc α so với phương ngang của mặt đất. Vào lúc 10 giờ sáng, khi góc nâng của tia sáng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(60^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất dài 37,5 m. Vào lúc 16 giờ chiếu, khi góc nâng của tia nắng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(45^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất là 51,9 m.
a) Tính chiều dài thân tháp nghiêng trên.
b) Tìm số đo góc α.
Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \); \(BC = 37,5 + 51,9 = 89,4\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{89,4 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 65,45\) (m).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABD\), ta có
\(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABC} = 65,{45^2} + 37,{5^2} - 2 \cdot 65,45 \cdot 37,5 \cdot \cos 60^\circ \).
Suy ra \(AD \approx 56,88\) m.
Vậy chiều cao thân tháp là 56,88 m.
b) Xét \(\Delta AHB\), có \[AH = AB \cdot \sin B = 65,45 \cdot \sin 60^\circ \approx 56,68\] (m).
Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AD}} = 0,9965 \Rightarrow \alpha \approx 85^\circ 11'\).
Cho \(0 < \alpha < 180^\circ \) với \(\tan \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\).
\(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\)\( = \frac{{3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^4}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} - 1}}\)\( = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\tan }^4}\alpha - 1}}\)
\( = \frac{{3 \cdot {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2}} \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {3^2}} \right)}^2}}}{{{3^4} - 1}} = \frac{{77}}{8}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
a) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {\overrightarrow {AB} ^2} = 3 - {2^2} = - 1\).
b) Có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
Có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MP} \). Suy ra \(M,N,P\) thẳng hàng.
Một chất điểm \(A\) chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ. Biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng (như hình vẽ); lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Niutơn?
Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\).
Vật ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AC} \).
Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} = \frac{{12}}{{\cos 30^\circ }} = 8\sqrt 3 \).
Vậy \(\left| {{F_3}} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \) (N).
