Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 4 có đáp án
55 câu hỏi
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos C = \frac{1}{2}\).
\(\sin B = \frac{1}{2}\).
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\).
\(\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{2}{3};0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha \).
\(P = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
\(P = - \frac{7}{{15}}\).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo \(\widehat A\) bằng bao nhiêu?
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng 3, cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 3 + 3\sqrt 6 \).
\(BC = 3\sqrt 6 - 3\).
\(BC = 3\sqrt 7 \).
\(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}\).
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 3 \).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = 10\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\(R = 4\).
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng
\(12\).
\(3\).
\(6\).
\(24\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 4a\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(S = 8{a^2}\).
\(S = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\(S = {a^2}\sqrt 3 \).
\(S = 4{a^2}\).
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 2,BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \).
\(5 - \sqrt 7 \).
\(5\sqrt 7 \).
\(5 + \sqrt {19} \).
Một tam giác có ba cạnh \(52,56,60\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\(\frac{{65}}{8}\).
\(40\).
\(32,5\).
\(\frac{{65}}{4}\).
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha \), ta được
\(\sin \alpha \).
\( - \cos \alpha \).
\( - \sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = a,AC = b,AB = c\) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Diện tích của \(\Delta ABC\) bằng
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}ac\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B + \widehat C = 120^\circ ,a = BC = 10\sqrt 3 \). Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
\(10\pi \).
\(15\pi \).
\(20\pi \).
\(5\pi \).
Biết \(\tan \alpha = 6\). Tính giá trị của \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\).
\(\frac{{100}}{{37}}\).
\(\frac{{50}}{{37}}\).
\(\frac{{69}}{{37}}\).
\(\frac{{10}}{{37}}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
Cho ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ
Biết rằng \(k\) là số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {CB} \). Tìm \(k\).
\(\frac{3}{7}\).
\( - \frac{3}{7}\).
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{7}{3}\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).
\(40\).
\( - 40\).
\(0\).
\(20\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khi đó khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IB} \) là hai vectơ đối.
\(\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {GI} \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IG} \) là hai vectơ bằng nhau.
Cho tam giác \(ABC\) có \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {KB} \).
\(\overrightarrow {KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ bằng nhau.
Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = \frac{1}{2}NB\) và trên cạnh \(AC\) lấy \(P\) sao cho \(AP = \frac{2}{3}AC\). Mối liên hệ nào sau đây là đúng.
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP} \).
Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2a, \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Độ dài của \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} \) bằng
\(2\sqrt 3 a\).
\(4a\).
\(\sqrt 3 a\).
\(2\sqrt 2 a\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Cho \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = - 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có giá song song.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \) có độ dài bằng
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Cặp vectơ nào sau đây là hai vectơ cùng hướng?
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \).
Cho tam giác \(ABC\), biết \(AC = b = 7,AB = c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
Cạnh \(BC = a = 4\sqrt 2 \).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\), biết \(BC = a = 21,AC = b = 17,AB = c = 10\).
Nửa chu vi tam giác \(p = 24\).
Diện tích tam giác \(S = 84\).
Đường cao tương ứng với cạnh \(a\) là \({h_a} = 4\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = 3,5\).
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 10,\widehat B = 45^\circ ,\widehat A = 75^\circ \). Khi đó:
\(c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(R \approx 5,77\) (\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(\widehat C = 60^\circ \).
\(b \approx 7,32\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Khi đó:
\({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(BC = 8,CA = 6,\widehat C = 60^\circ \). Khi đó:
\(AB \approx 7,20\)(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Góc \(A\) là góc tù.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) xấp xỉ bằng 1,96 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(4\sqrt 3 \).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó:
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(30^\circ \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = 144\).
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(\widehat B = 60^\circ \). Khi đó:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = 30^\circ \).
\(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\).
\(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Lấy điểm \(P\) đối xứng với điểm\(M\) qua \(N\). Khi đó:
\(MN = BC\).
\(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] ngược hướng.
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 2.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \) bằng 6.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) bằng 2.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) bằng \(\sqrt 3 \).
Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
20,8
Tính giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \).
90
Cho biết \(3\cos \alpha - \sin \alpha = 1,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của \(9\tan \alpha \).
12
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {CBA} = 80^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến gốc cây \(C\) là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).
61,3
Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi theo đường vòng theo đường gấp khúc ACDB như hình vẽ. Biết rằng AC = 400 m, CD = 500 m, DB = 400 m và \(\widehat {ACD} = 138^\circ ,\widehat {CDB} = 122^\circ \). Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
1012
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một chất điểm \(M\). Biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 150 N, cường độ lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 100 N và góc tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(120^\circ \). Gọi \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) là lực tổng hợp tác động vào chất điểm \(M\). Tính cường độ của lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) (theo đơn vị N) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
132
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).
2
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm. Tính giá trị \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
10
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
5
Một người dùng lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đơn vị J) bằng bao nhiêu?
4500
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^\circ \).
Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Một ngôi tháp nghiêng về phía Tây một góc α so với phương ngang của mặt đất. Vào lúc 10 giờ sáng, khi góc nâng của tia sáng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(60^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất dài 37,5 m. Vào lúc 16 giờ chiếu, khi góc nâng của tia nắng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(45^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất là 51,9 m.
a) Tính chiều dài thân tháp nghiêng trên.
b) Tìm số đo góc α.
Cho \(0 < \alpha < 180^\circ \) với \(\tan \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
Một chất điểm \(A\) chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ. Biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng (như hình vẽ); lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Niutơn?
