Đề kiểm tra Tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Theo lý thuyết tính chất của tích phân nên đáp án C là sai.

Theo tính chất của tích phân, ta có:

 \[\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {2024x + 2025} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {2024x{\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {2025} {\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{2024{x^2}}}{2} + 2025x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( {\frac{{{{2024.1}^2}}}{2} + 2025.1} \right) - \left( {\frac{{{{2024.0}^2}}}{2} + 2025.0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3037\end{array}\]

Chọn đáp án C.

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|{\rm{d}}x + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|{\rm{d}}x} }  = \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right){\rm{d}}x} } \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^8}\\{_6}\end{array}} \right. = \frac{{152}}{3}\end{array}\]

Chọn đáp án A.

Theo tính chất của tích phân, ta có:

 \[\int\limits_0^6 {\frac{{2x + 6}}{{x + 2}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^6 {\left( {2 + \frac{2}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x}  = \left( {2x + 2\ln \left| {x + 2} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_0}\end{array}} \right. = 12 + 2\ln 8 - 2\ln 2 = 12 + 2\ln 4\]

Chọn đáp án D.

Theo tính chất của tích phân, ta có:

 \[\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x{\rm{d}}x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos x} {\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - 2\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\end{array}\]

Chọn đáp án D.

Theo tính chất của tích phân, ta có:

\(\int\limits_0^1 {{2^x}{\rm{.}}{{\rm{3}}^x}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{6^x}{\rm{d}}x}  = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{6^1}}}{{\ln 6}} - \frac{{{6^0}}}{{\ln 6}} = \frac{5}{{\ln 6}}\).

Khẳng định 1 sai vì \(\int\limits_c^d {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)là diện tích của hình thang cong với \[y = f\left( x \right)\] là hàm số “không âm” .

Khẳng định 2 sai. Vì \(\int\limits_d^d {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 0\).

Khẳng định 3 đúng (theo lý thuyết của tích phân).

Theo tính chất của tích phân, ta có:

 \[\int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = \left( {\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( {\frac{{{2^5}}}{5} + \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 2} \right) - 0 = \frac{{206}}{{15}}\]

Theo tính chất của tích phân, ta có:

 \[\int\limits_1^9 {\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^9 {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right){\rm{d}}x}  = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2\sqrt x } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^9}\\{_1}\end{array}} \right. = \left( {\frac{{93}}{2}} \right) - \left( {\frac{5}{2}} \right) = 44\]

Theo tính chất của tích phân, ta có:

\[\int\limits_1^2 {\frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^2} + \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x}  = \left( {\frac{{2{x^3}}}{3} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \left( {\frac{{16}}{3} + \ln 3} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \ln 2} \right) = \frac{{14}}{3} + \ln \frac{3}{2}\].

Theo tính chất của tích phân, ta có:

\[\int\limits_0^\pi  {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{xd}}x}  = \int\limits_0^\pi  {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^\pi  = \frac{\pi }{2}\]

Thời điểm vật dừng lại là \(v = 0 \Leftrightarrow 27 - 9\sqrt t  = 0 \Leftrightarrow t = 9\,\left( s \right)\)

Quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại là:

\(s\left( t \right) = \int_0^9 {\left( {27 - 9\sqrt t } \right)dt}  = \left. {\left( {27t - 6t\sqrt t } \right)} \right|_0^9 = 81\left( m \right)\).

a) Đúng: Vì hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)nên theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \(S = \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} + 2x} \right)} dx\)

b) Sai: Vì \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x\) không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)

c) Đúng:

\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + {x^2}\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), \(F\left( 3 \right) = \frac{{117}}{4};\;F\left( 1 \right) = \frac{5}{4}\) nên \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = \frac{{117}}{4} - \frac{5}{4}}  = 28\]. Suy ra \[10\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 280} \]

\(G\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), \(G\left( 3 \right) = \frac{{27}}{2};\;G\left( 1 \right) = \frac{5}{6}\) nên \[\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = \frac{{27}}{2} - \frac{5}{6}}  = \frac{{38}}{3}\]. Suy ra \[6\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 76} \]

Vậy \[I = 10\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + 6} \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = } 280 + 76 = 356\]

d) Đúng: Theo tính chất của tích phân

a) Sai: Vì Sai cận trên và cận dưới

b) Đúng:

c) Sai: Sai dấu

Sửa lại \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - 4{x^3}} \right)dx + \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + x + 1} \right)dx} } } \]

d) Sai:

Vì \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \frac{1}{3}} \] nên \[J = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( {2x} \right)dx = \frac{1}{2}} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right) = } \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( x \right) = } \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

a) Đúng vì từ bảng xét dấu ta thấy:  \[{x^2} - 9 \le 0,\,\forall x \in \left[ {0,3} \right]\] và \[{x^2} - 9 \ge 0,\,\forall x \in \left[ {3,9} \right]\]

b) Sai vì \[\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^3 {f(x)dx + \int\limits_3^9 {f(x)dx} } \].

c) Đúng vì theo bảng xét dấu ta có:

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx + \int\limits_3^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } } \int\limits_0^3 {\left[ { - \left( {{x^2} - 9} \right)} \right]dx + \int\limits_3^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} } \\ =  - \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx + \int\limits_3^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} } \end{array}\]

d) Sai.

Thế \[m = 1\] vào đẳng thức  \[\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^m {\left( {{x^2} - 9} \right)dx}  + \int\limits_m^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} \,\] ta được

\[\int\limits_0^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx}  + \int\limits_1^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} \,\,\,\left( 1 \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}VP(1) = 162\\VT(1) = 198\end{array} \right.\].

a) Sai

Ta có \[f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)\]

b) Sai

\[\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_3^4 {\frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx}  = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \frac{1}{4}\left. {\left( {\ln \left( {x - 2} \right) - \ln \left( {x + 2} \right)} \right)} \right|_3^4 = \left. {\frac{1}{4}\ln \frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right|_3^4 = \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\].

Ta có \[\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3} < 0,5\].

c) Đúng

Theo câu b ta có

\[\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \frac{1}{4}\left. {\left( {\ln \left( {x - 2} \right) - \ln \left( {x + 2} \right)} \right)} \right|_3^4 = \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\].

Do đó ta có  \[a = 5;\,\,b = 3\]. Vậy \[a.b = 15\].

d) Sai

Ta có  \[\int\limits_3^4 {\left[ {f\left( x \right) + \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right]dx = \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_3^4 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} dx} \].

 Với \[\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx = } \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\].

 \[\int\limits_3^4 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} dx = \left. { - \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right|_3^4 =  - 12 + 5 =  - 7\].

Vậy \[\int\limits_3^4 {\left[ {f\left( x \right) + \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right]dx = } \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3} - 7\].

\(\int\limits_0^5 {\left[ {4f\left( x \right) - 3{x^2}} \right]{\rm{d}}x}  = 4\int\limits_0^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^5 {3{x^2}{\rm{d}}x}  =  - 8 - \left. {{x^3}} \right|_0^5 =  - 8 - 125 =  - 133\).

Do : \(x \in \left[ {0;m} \right] \Rightarrow x - 2 \le x - m \le 0 \Rightarrow \left| {x - 2} \right| = 2 - x\)

Vậy : \(I = \int\limits_0^m {\left( {2 - x} \right)dx = \left( {2x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m\\0\end{array} = 2m - \frac{{{m^2}}}{2} = 2} \right.}  \Rightarrow m = 2\)

Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx}  = \int\limits_1^3 {dx}  + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.\)

Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x - 1}} - {e^{ - 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{x - 1}} - {e^{ - 4x}} + {e^{ - x}}} \right)dx}  = \left. {\left( {{e^{x - 1}} - \frac{{{e^{ - 4x}}}}{{ - 4}} + \frac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{4{e^4}}} - \frac{2}{e} + \frac{7}{4}\)

Do đó \(a = 4,\,b = 2\)\( \Rightarrow P = 4 + 2 = 6\).

Ta có \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{4\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 3\cos x}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x + 3\cos x + \cos x - 3\sin x}}{{\sin x + 3\cos x}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \frac{{{{\left( {\sin x + 3\cos x} \right)}^{\prime }}}}{{\sin x + 3\cos x}}} \right){\rm{d}}x} \]

\[ = \left. x \right|\mathop {}\limits_0^{\frac{\pi }{4}}  + \left. {\ln \left( {\sin x + 3\cos x} \right)} \right|\mathop {}\limits_0^{\frac{\pi }{4}}  = \frac{\pi }{4} + \ln \left( {2\sqrt 2 } \right) - \ln 3 = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} + \frac{3}{2}\ln 2 - \ln 3\].

Từ đây ta có \(a = \frac{1}{2},\,b = \frac{3}{2},\,c = 1\) nên \(P = \frac{3}{4}\).

Hàm số vận tốc có đồ thị là đường Parabol \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\), theo hình vẽ ta thấy đỉnh của Parabol là \(I\left( {15;60} \right)\), đồng thời đi qua gốc \(O\left( {0;0} \right)\), suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 15\\a{.15^2} + b.15 + c = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\30a + b = 0\\a{.15^2} + b.15 + 0 = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{{15}}\\b = 8\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow v\left( t \right) =  - \frac{4}{{15}}{t^2} + 8t\).

Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc \[t = 0\] và đạt vận tốc cao nhất lúc \[t = 15s\] nên quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất là:

\[\int\limits_0^{15} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{15} {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^2} + 8t} \right)dt}  = \left. {\left( { - \frac{4}{{45}}{t^3} + 4{t^2}} \right)} \right|_0^{15} = 600\,m\].

Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc vận tốc đạt cao nhất thì xe đi được quãng đường dài \[600\,m\].