Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu đó.
\(I\left( { - 1;3;0} \right)\); \(R = 3\).
\(I\left( {1; - 3;0} \right)\); \(R = 9\).
\(I\left( {1; - 3;0} \right)\); \(R = 3\).
\(I\left( { - 1;3;0} \right)\); \(R = 9\).
Từ phương trình đã cho, ta thấy tọa độ tâm là \(I\left( {1; - 3;0} \right)\) và bán kính là \(R = 3\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), tìm tọa độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2z + 4 = 0\).
\(I\left( {2;0; - 1} \right)\), \(R = 3\).
\(I\left( {4;0; - 2} \right)\), \(R = 3\).
\(I\left( { - 2;0;1} \right)\), \(R = 1\).
\(I\left( {2;0; - 1} \right)\), \(R = 1\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;0; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 4} = 1\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu tâm \(I\left( {3;\, - 1;\,0} \right)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 5\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 5\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 25\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 25\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;\, - 1;\,0} \right)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 25\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là gốc tọa độ và bán kính \(R = 5\) là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 25\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\).
Gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) là tâm của mặt cầu.
Vậy phương trình mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính \(R = 5\) là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\) và \(\left( S \right)\) đi qua \(A\left( {2; - 2;1} \right)\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 3\sqrt 2 \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 18\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 18\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 3\sqrt 2 \).
Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \).
Vậy phương trình mặt cầu \(I\left( {1;2;0} \right)\) và có bán kính \(R = 3\sqrt 2 \) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 18\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {1;0; - 1} \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 6 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z - 6 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 6 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 6 = 0\).
Ta có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
Vậy phương trình mặt cầu \(I\left( {1;2;3} \right)\) và có bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 6 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {3;0; - 1} \right)\), \(B\left( {5;0; - 3} \right).\)Viết phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB.\)
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 18 = 0\).
\(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 8\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 12 = 0\).
\(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\).
Gọi \[I\]là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\\{z_I} = \frac{{( - 1) + ( - 3)}}{2} = - 2\end{array} \right.\]. Vậy \[I\left( {4;0; - 2} \right)\].
\(AB = \sqrt {{{(5 - 3)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2}} = 2\sqrt 2 .\)
\(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 = \sqrt 2 .\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {(\sqrt 2 )^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 18 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\), \(B\left( {5; - 2;4} \right).\)Viết phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB.\)
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x + 3y - 5z + 15 = 0\).
\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = 19\).
\(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{19}}{4}\).
\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{19}}{4}\).
Gọi \[I\]là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\\{y_I} = \frac{{ - 1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{3}{2}\\{z_I} = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]. Vậy \[I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\].
\(AB = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2} + {{(4 - 1)}^2}} = \sqrt {19} .\)
\(R = \frac{1}{2}AB = \frac{{\sqrt {19} }}{2}.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)là: \({\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = {(\frac{{\sqrt {19} }}{2})^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x + 3y - 5z + 16 = 0\).
Mặt cầu có tâm \(I(1; - 2;3)\)và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là
\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 12 = 0\).
\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\).
\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\).
Phương trình mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right):x = 0\].
\(R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 1.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 13 = 0\).
Trong không gian \[\left( {Oxyz} \right)\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 4y - 2z - 7 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( S \right)\) lần lượt là
\(I\left( { - 2;\,2;\, - 1} \right),\,R = 4\).
\(I\left( { - 2;\,2;\, - 1} \right),\,R = 8\).
\(I\left( {2;\, - 2;\,1} \right),\,R = 4\).
\(I\left( {2;\, - 2;\,1} \right),\,R = 8\).
Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 4y - 2z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {4^2}\).
Vậy \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) và bán kính \(\,R = 4\).
Trong không gian \[\left( {Oxyz} \right)\], một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí \(I\left( {1;\,0;\, - 1} \right)\). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng \(\sqrt 2 \). Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị?
\(A\left( {1;\,0;\,1} \right)\).
\(B\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).
\(C\left( { - 2;\,0;\,1} \right)\).
\(D\left( {1;\, - 2;\, - 1} \right)\).
Ta có: \[\overrightarrow {IB} = \left( {0;\,1;\,0} \right) \Rightarrow IB = 1 \Rightarrow IB < R\] nên điểm \(B\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\) nằm bên trong mặt cầu trên, suy ra điểm \[B\] thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
Trong không gian \[\left( {Oxyz} \right)\] (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(A\left( {2;\,3;\,5} \right)\). Biết rằng vùng phủ sáng (theo thiết kế) của ngọn hải đăng có ranh giới là một mặt cầu bán kính 3\[km\]. Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9000\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3000^2}\).
Ta có \[R = 3km = 3000m\].
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3000^2}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với tọa độ các điểm \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 4} \right)\), \(B\left( {3\,;\, - 2\,;\,0} \right)\) và mặt cầu \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
Điểm \(M\left( {0\,;\,1\,;\, - 5} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có cùng bán kính với mặt cầu \(\left( S \right)\).
a) Đúng.
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\), suy ra \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).\(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 + 2} \right)}^2}} = 3\)
Vậy \(I\left( {2\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
b) Sai.
Ta có bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là .
Suy ra phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
c) Sai.
Ta có \({\left( {0 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 5 + 2} \right)^2} = 14 > {3^2}\).
Vậy điểm \(M\left( {0\,;\,1\,;\, - 5} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Đúng.
Phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tương ứng với \(a = 1\), \(b = - 2\), \(c = 3\), \(d = 5\), do đó \(\left( {S'} \right)\) là phương trình của mặt cầu có tâm \(I'\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\) và bán kính \(R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 5} = 3\).
Vậy mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có cùng bán kính với mặt cầu \(\left( S \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right)\), \(B\left( {2; - 6; - 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất.
Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).
Điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) là : \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].
Tổng \(a + b + c\) bằng 1.
a) Đúng.
\(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).
b) Sai.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \[A{I^2} = {\left( {0 + 1} \right)^2}\, + {\left( {2 - 2} \right)^2}\, + {\left( {0 - 1} \right)^2}\, = \,2 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
c) Đúng.
Vì mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) nên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] có bán kính
\[R\, = \,AB\, = \,\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {72} \].
Do đó, phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\]: \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].
d) Đúng.
Vì \[B{I^2} = {\left( {2 + 1} \right)^2}\, + {\left( { - 6 - 2} \right)^2}\, + {\left( { - 2 - 1} \right)^2}\, = \,82 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có hai điểm \(A\), \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(K\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(K\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \)\( = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right).\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)
\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} \)\( = M{K^2} - K{A^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là \(MK\) nhỏ nhất.
Đánh giá: \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK\)\( \ge IK - R\).
Suy ra \(MK\) nhỏ nhất bằng \(IK - R\), xảy ra khi \(I\), \(M\), \(K\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa hai điểm \(I\), \(K\). Như vậy \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(IK\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; - 4; - 2} \right)\), \(IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).
Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ - 4 = 4\left( {b - 2} \right)\\ - 2 = 4\left( {c - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b + c = 1\).
Hình 1 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí \(I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,2} \right)\) trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) và được thiết kế với đường kính phủ sóng là \(10000\)\(m\).
Bán kính vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại là 5\(km\).
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới miền bên trong và bên ngoài vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\).
Điểm \[A\left( {1\,;\,2\,;\,6} \right)\] nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.
Nhà bạn Mai và bạn Nam có vị trí tọa độ lần lượt là \(M\left( {1\,;\,2\,;\,7} \right)\) và \(N\left( {5\,;\,5;5} \right)\). Nếu cả hai bạn Mai và Nam dùng điện thoại tại nhà thì đều có thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng điện thoại này.
a) Đúng.
Đường kính \(10000\)\(m\)\[ = \]\(10\)\(km\).
Bán kính phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại là \[R = \frac{{10}}{2} = 5\] \(km\).
b) Đúng.
Mặt cầu mô tả ranh giới miền bên trong và bên ngoài vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại có:
+ Tâm \(I\left( {1\,;\,\,2\,\,;\,\,2} \right)\).
+ Bán kính \[R = 5\] \(km\).
Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\).
c) Đúng.
+ Ta có: \(A{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {6 - 2} \right)^2} = 16\)\[ < 25 = {R^2}\].
+ Vậy điểm \[A\left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)\] nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.
d) Sai.
+ Ta có: \(M{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {7 - 2} \right)^2} = 25 = R\).
Vậy điểm \[M\] nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại nên bạn Mai có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
+ Ta có: \(N{I^2} = {\left( {5 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 34 > 25 = {R^2}\).
Vậy điểm \[N\] không nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại nên nên bạn Nam không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right),\,B\left( {3\,;\,2\,;\, - 3} \right)\]
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\] thuộc \[Ox\] và đi qua hai điểm \[A,\,B\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Phương trình mặt cầu tâm \(A\), bán kính \(R = 2\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\), đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 30\).
Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{4}\).
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có bán kính bằng 4.
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có \({R^2} = A{B^2} = {\left( {3 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - 2} \right)^2} = 30\).
Vậy phương trình mặt cầu tâm \(A\), đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 30\).
c) Sai.
Tâm của mặt cầu là trung điểm \(M\) của \(AB\), \(M\left( {2;\,\frac{3}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)\).
\({R^2} = M{A^2} = {\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
d) Sai.
Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].
Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]
\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;3} \right)\) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2;1;1} \right)\)
\(R = IA = \sqrt 6 \)
Phương trình của \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\)hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 1 = 0\)
Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = {1^2} + {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 6\)
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( { - 1;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;1; - 2} \right)\) có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Tính \(a + b + c + {R^2}\).
Đoạn thẳng \(AB\)có trung điểm \(I\left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\)và bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Phương trình của \(\left( S \right)\) là: \({x^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(a + b + c + {R^2} = 0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\)
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;0;24} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(3x + 4y - z - 8 = 0\) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Hỏi \(d = ?\)
Ta có: \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.0 - 24 - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt {26} \)
Ta có \(a = 2;b = 0;c = 24\) và \(d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = 554\)
Trong không gian \(Oxyz\), biết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua 4 điểm \(A,B,C,D\), biết rằng: \(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;8} \right)\), \(C\left( {0; - 9;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;0} \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Tính \(4 \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì \(A,B,C,D\) thuộc \(\left( S \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\9 + 6a + d = 0\\64 - 16c + d = 0\\81 + 18b + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{9}{2}\\c = 4\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(4 \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) = 154\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \(A\left( {3;\,2;\,0} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\), phương trình của \(\left( S \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Tính \({a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{R^2}\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \(1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\), khi đó \(H = d \cap \left( P \right)\)
Suy ra \(H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 + t;\, - 3 + 2t;\, - 2 + 2t} \right)\), mặt khác \(H \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow - 1 + t - 6 + 4t - 4 + 4t - 7 = 0\) \( \Rightarrow t = 2\). Vậy \(H\left( {1;\,1;\,2} \right)\).
Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(d\) nên \(R = d\left( {A,d} \right) = AH = 3\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Suy ra \(a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 0,\,\,{R^2} = 9\)
Vậy \({a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{R^2} = 53.\)
Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{z}{1}\]. Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {2;3; - 1} \right)\] và cắt đường thẳng \[\Delta \] tại hai điểm \[A\], \[B\] với \[AB = 16\]. Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính \({R^2}\).
Theo giả thiết, ta suy ra \[\Delta \] đi qua \[M\left( { - 1;1;0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\].
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(\Delta \).
Vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( { - 1 + t;1 - 4t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {t - 3\;;\; - 2 - 4t\;;\;t + 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {IH} \bot \overrightarrow u \) suy ra \(\overrightarrow {IH} \cdot \overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 1\left( {t - 3} \right) - 4\left( { - 2 - 4t} \right) + 1\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 18t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\).
Suy ra \(H\left( { - \frac{4}{3};\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = IH = 2\sqrt 3 \].
Suy ra \[{R^2} = A{I^2} + I{H^2} = {8^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 76\]. Vậy \({R^2} = 76\).
