Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 24. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
[Mức độ 1] Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng
\(3\).
\(8\).
\(31\).
\(15\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 8\), đầu mút phải của nhóm 5 là \({a_6} = 23\).
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(R = {a_6} - {a_1} = 23 - 8 = 15\).chọn D
Biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng (đơn vị: kilogam) của 40 học sinh một lớp 12 ở
một trường trung học phổ thông được cho dưới bảng sau.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là
\(24\).
\(4\).
\(12\).
\(6\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 36\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 60\).
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(R = {a_7} - {a_1} = 60 - 36 = 24\)(kg).chọn A
Biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về tiền điện (đơn vị: nghìn đồng) của 58 hộ gia đình ở một
tổ dân phố được cho dưới bảng sau.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là
\(21\).
\(50\).
\(300\).
\(299\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 200\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 500\).
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\(R = {a_7} - {a_1} = 500 - 200 = 300\)(nghìn đồng).
Biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một
số học sinh được cho dưới bảng sau.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là
\(11\).
\(15\).
\(3\).
\(12\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 0\), đầu mút phải của nhóm 5 là \({a_6} = 15\).
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(R = {a_6} - {a_1} = 15 - 0 = 15\)(phút).
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm \[2024\] của một số hộ gia đình ở thành phố Nha
Trang được ghi lại ở bảng sau:
Tứ phân vị \({Q_1}\) bằng
\[\frac{{675}}{{62}}\].
\[\frac{{9775}}{{31}}\].
\[\frac{{16715}}{{62}}\].
\[\frac{{16175}}{{62}}\].
Số hộ gia đình được khảo sát (cỡ mẫu) là \[n = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150\].
Ta có, \(\frac{n}{4} = \frac{{150}}{4} = \frac{{75}}{2}\) suy ra \(24 < \frac{{75}}{2} < 24 + 62\) nên nhóm thứ hai \[\left[ {250;300} \right)\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{75}}{2}\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}\left( {300 - 250} \right) = \frac{{16175}}{{62}}\].chọn D
Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày
trong quý III năm 2024 của một nhà hàng. Cột thứ nhất biểu diễn số ngày có từ 1 đến dưới 6 lượt đặt bàn; cột thứ hai biểu diễn số ngày có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn; …
Tứ phân vị \({Q_1}\) bằng
\[13\].
\[15\].
\[18,5\].
\[16\].
Từ biểu đồ đã cho, ta có có bảng thống kê sau
Cỡ mẫu \[n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92\].
Ta có, \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.92}}{4} = 69\) suy ra \(14 + 30 < 69 \le 14 + 30 + 25\) nên nhóm thứ ba là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(69\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_3} = 11 + \frac{{\frac{{3.92}}{4} - \left( {14 + 30} \right)}}{{25}}\left( {16 - 11} \right) = 16\].
Kết quả đo chiều cao của \[100\] cây keo ba năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng sau
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng
\[0,886\].
\[0,115\].
\[0,826\].
\[0,286\].
Cỡ mẫu \[n = 5 + 12 + 25 + 44 + 14 = 100\].
Ta có, \(\frac{n}{4} = \frac{{100}}{4} = 25\) suy ra \(5 + 12 < 25 < 5 + 12 + 25\) nên nhóm thứ ba \[\left[ {8,8;9,0} \right)\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(25\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - \left( {5 + 12} \right)}}{{25}}\left( {9,0 - 8,8} \right) = 8,864\]
Ta lại có, \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.100}}{4} = 75\) suy ra \(5 + 12 + 25 < 75 < 5 + 12 + 25 + 44\) nên nhóm thứ tư \[\left[ {9,0;9,2} \right)\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(75\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {5 + 12 + 25} \right)}}{{44}}\left( {9,2 - 9,0} \right) = 9,15\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9,15 - 8,864 = 0,286\].
Bảng số liệu ghép nhóm tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng \[7\] từ năm \[2005\]
đến \[2024\] tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng
\(375\).
\(175\).
\(225\).
\(200\).
Cỡ mẫu \[n = 3 + 5 + 3 + 6 + 3 = 20\].
Ta có, \(\frac{n}{4} = \frac{{20}}{4} = 5\) suy ra \(3 < 5 < 3 + 5\) nên nhóm thứ hai \[\left[ {225,300} \right)\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(5\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_1} = 225 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{5}\left( {300 - 225} \right) = 255\]
Ta lại có, \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.20}}{4} = 15\) suy ra \(3 + 5 + 3 < 15 < 3 + 5 + 3 + 6\) nên nhóm thứ tư \[\left[ {375;450} \right)\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(15\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_3} = 375 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - \left( {3 + 5 + 3} \right)}}{6}\left( {450 - 375} \right) = 425\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 425 - 255 = 200\].
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở
bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | \(2\) | \(7\) | \(7\) | \(3\) | \(1\) |
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\(\left[ {7;9} \right)\)
\(\left[ {9;11} \right)\).
\(\left[ {11;13} \right)\).
\(\left[ {13;15} \right)\).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Giá trị đại diện | \(6\) | \(8\) | \(10\) | \(12\) | \(14\) |
Số ngày | \(2\) | \(7\) | \(7\) | \(3\) | \(1\) |
Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: \(\overline x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\).chọn c
Khảo sát cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam), ta có bảng tần số ghép nhóm:
Cân nặng (kg) | [15;20) | [20;25) | [25;30) | [30;35) | [35;40) | [40;45) | [45;50) | [50;55) |
Số học sinh | 1 | 0 | 0 | 1 | 10 | 17 | 0 | 1 |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
\(20\).
\(32\).
\(37\).
\(40\).
Cân nặng (kg) | [15;20) | [20;25) | [25;30) | [30;35) | [35;40) | [40;45) | [45;50) | [50;55) |
Giá trị đại diện | \(17,5\) | \(22,5\) | \(27,5\) | \(32,5\) | \(37,5\) | \(42,5\) | \(47,5\) | \(52,5\) |
Số học sinh | 1 | 0 | 0 | 1 | 10 | 17 | 0 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu:
\(\overline x = \frac{{17,5.1 + 22,5.0 + 27,5.0 + 32,5.1 + 37,5.10 + 42,5.17 + 47,5.0 + 52,5.1}}{{30}} = 40\).
Tìm hiểu thời gian chạy cự li \(1000\,{\rm{m}}\) ( đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:
Thời gian chạy trung bình cự li \(1000\,{\rm{m}}\) (giây) của các bạn học sinh là
\(130,35\).
\(131,03\).
\(130,4\).
\(132,5\).
Thời gian chạy trung bình của các bạn học sinh là:
\(\overline x = \frac{{126.3 + 128.7 + 130.15 + 132.10 + 134.5}}{{40}} = 130,35\).chọn A
Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở bảng sau:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào sau đây?
\(\left[ {25;35} \right)\).
\(\left[ {35;40} \right)\).
\(\left[ {40;45} \right)\).
\(\left[ {45;55} \right)\).
Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:
\(\overline x = \frac{{27,5.25 + 32,5.38 + 37,5.62 + 42,5.42 + 47,5.37 + 52,5.29}}{{233}} \simeq 39,97\).
Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của \(40\)học sinh lớp \(11A\) trong
một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam).
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {30;40} \right)\) | 2 | 2 |
\(\left[ {40;50} \right)\) | 10 | 12 |
\(\left[ {50;60} \right)\) | 16 | 28 |
\(\left[ {60;70} \right)\) | 8 | 36 |
\(\left[ {70;80} \right)\) | 2 | 38 |
\(\left[ {80;90} \right)\) | 2 | 40 |
| \(n = 40\) |
|
Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 60\).
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = 14,5\).
c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\bar x = 56\).
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({s^2} = 128\).
a) Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 30\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 90\) nên \(R = {a_7} - {a_1} = 60\).
Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(2 < 10 < 12\). Suy ra nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\). Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) có \(s = 40\); \(h = 10\); \({n_2} = 10\) và nhóm \(1\) là nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right).10 = 48\) (\(kg\)).
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(28 < 30 < 36\). Suy ra nhóm \(4\)là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\). Xét nhóm \(4\)là nhóm \(\left[ {60\,;\,70} \right)\) có \(t = 60\); \(l = 10\); \({n_4} = 8\) và nhóm \(3\) là nhóm \(\left[ {50\,;\,60} \right)\)có \(c{f_3} = 28\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\)(\(kg\)).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 14,5\).
Vậy mệnh đề đúng.
c) Ta có
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
\(\left[ {30;40} \right)\) | 35 | 2 |
\(\left[ {40;50} \right)\) | 45 | 10 |
\(\left[ {50;60} \right)\) | 55 | 16 |
\(\left[ {60;70} \right)\) | 65 | 8 |
\(\left[ {70;80} \right)\) | 75 | 2 |
\(\left[ {80;90} \right)\) | 85 | 2 |
|
| \(n = 40\) |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\bar x = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\).
Vậy mệnh đề đúng.
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({s^2} = \frac{{2{{\left( {35 - \bar x} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - \bar x} \right)}^2} + 16{{\left( {55 - \bar x} \right)}^2} + 8{{\left( {65 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {75 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {85 - \bar x} \right)}^2}}}{{40}} = 129\).
Vậy mệnh đề sai.
sau cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 học sinh (đơn vị: cm)
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {140;145} \right)\) | 2 | 2 |
\(\left[ {145;150} \right)\) | 3 | 5 |
\(\left[ {150;155} \right)\) | 5 | 10 |
\(\left[ {155;160} \right)\) | 15 | 25 |
\(\left[ {160;165} \right)\) | 10 | 35 |
\(\left[ {165;170} \right)\) | 5 | 40 |
| \(n = 40\) |
|
Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 30\).
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = 7\).
c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\bar x = 159\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s \approx 6,42\).
a) Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 140\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 170\) nên \(R = {a_7} - {a_1} = 30\).
Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(5 < 10 \le 10\). Suy ra nhóm \(3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\). Xét nhóm \(3\) là nhóm \(\left[ {150\,;\,155} \right)\) có \(s = 150\); \(h = 5\); \({n_3} = 5\) và nhóm \(2\) là nhóm \(\left[ {145\,;\,150} \right)\) có \(c{f_2} = 5\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\({Q_1} = 150 + \left( {\frac{{10 - 5}}{5}} \right).5 = 155\) (\(cm\)).
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(25 < 30 < 35\). Suy ra nhóm \(5\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\). Xét nhóm \(5\) là nhóm \(\left[ {160;165} \right)\) có \(t = 160\); \(l = 5\); \({n_5} = 10\) và nhóm \(4\) là nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) có \(c{f_4} = 25\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\({Q_3} = 160 + \left( {\frac{{30 - 25}}{{10}}} \right).5 = 162,5\)(\(cm\)).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 7,5\).
Vậy mệnh đề sai.
c) Ta có
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
\(\left[ {140;145} \right)\) | \(142,5\) | 2 |
\(\left[ {145;150} \right)\) | \(147,5\) | 3 |
\(\left[ {150;155} \right)\) | \(152,5\) | 5 |
\(\left[ {155;160} \right)\) | \(157,5\) | 15 |
\(\left[ {160;165} \right)\) | \(162,5\) | 10 |
\(\left[ {165;170} \right)\) | \(167,5\) | 5 |
|
| \(n = 40\) |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\bar x = \frac{{142,5.2 + 147,5.3 + 152,5.5 + 157,5.15 + 162,5.10 + 167,5.5}}{{40}} = 157,875\).
Vậy mệnh đề sai.
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{2{{\left( {142,5 - \bar x} \right)}^2} + 3{{\left( {147,5 - \bar x} \right)}^2} + 5{{\left( {152,5 - \bar x} \right)}^2} + 15{{\left( {157,5 - \bar x} \right)}^2} + 10{{\left( {162,5 - \bar x} \right)}^2} + 5{{\left( {167,5 - \bar x} \right)}^2}}}{{40}}\\\,\,\,\,\,\, \approx 40,48\end{array}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 6,36\).
Vậy mệnh đề sai.
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong
một tháng ở bảng sau:
Lượng nước tiêu thụ \(\left( {{m^3}} \right)\) | \([3;6)\) | \([6;9)\) | \([9;12)\) | \([12;15)\) | \([15;18)\) |
Số hộ gia đình | 24 | 57 | 42 | 29 | 8 |
a) Lượng nước tiêu thụ trung bình trong tháng của một hộ gia đình trong khu vực nói trên xấp xỉ bằng \[9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 15\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
c) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến \(25\% \) các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ \(11\,\,\;\left( {{m^3}} \right)\) nước trở lên.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng \(3\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
a) Cỡ mẫu \(n = 160\).
Lượng nước tiêu thụ \(\left( {{m^3}} \right)\) | \([3;6)\) | \([6;9)\) | \([9;12)\) | \([12;15)\) | \([15;18)\) |
Giá trị đại diện | 4,5 | 7,5 | 10,5 | 13,5 | 16,5 |
Số hộ gia đình | 24 | 57 | 42 | 29 | 8 |
\[\bar x = \frac{1}{{160}}(24 \cdot 4,5 + 57 \cdot 7,5 + 42 \cdot 10,5 + 29 \cdot 13,5 + 8 \cdot 16,5) \approx 9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]
Vậy lượng nước tiêu thụ trung bình trong tháng của một hộ gia đình trong khu vực nói trên xấp xỉ bằng \[9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 18 - 3 = 15\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
c) \(25\% \) các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn \({Q_3}\), với \({Q_3}\) là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
Nhóm \([9;12)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ \( \ge \frac{{3.160}}{4} = 120,\)suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{160.3}}{4} - (24 + 57)}}{{42}} \cdot (12 - 9) \approx 11,79\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ \(11,79\;{m^3}\) nước trở lên.
d) Ta có \[{s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + {n_3}{{\left( {{x_3} - \overline x } \right)}^2} + {n_4}{{\left( {{x_4} - \overline x } \right)}^2} + {n_5}{{\left( {{x_5} - \overline x } \right)}^2}}}{n} \approx 10,77.\]
Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên xấp xỉ bằng \(3,28\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
Đáp án: a)Đ, b)Đ, c)S, d)S.
Phỏng bạn Hùng và bạn Vương làm thí nghiệm trồng cây. Mỗi bạn trồng 40 cây cần tây trong cốc, phần
gốc của các cây khi bắt đầu trồng đều dài \(4{\rm{\;cm}}\). Bảng 1 và bảng 2 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số liệu thống kê chiều cao của các cây (đơn vị: centimét) mà bạn Hùng và bạn Vương trồng sau 5 tuần.
a) Chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng không bằng nhau.
b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu trên là 20.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là 5,5.
d) Chiều cao của các cây mà bạn Vương trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Hùng trồng.
a) Chiều cao trung bình của cây do bạn Hùng trồng là: \(\overline {{x_H}} = 30,25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chiều cao trung bình của cây do bạn Vương trồng là: \(\overline {{x_V}} = 30,25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Suy ra chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng là bằng nhau.
b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu là \(40 - 20 = 20\).
c) Xét mẫu số liệu ở bảng 1.
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó là:
\({Q_1} = 25 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{16}}} \right) \cdot 5 = 27,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Tứ phân vi thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu đó là:
\({Q_3} = 30 + \left( {\frac{{30 - 18}}{{20}}} \right) \cdot 5 = 33\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là \(33 - 27,5 = 5,5\).
c) Phương sai của mẫu số liệu ở bảng 1 là: \(s_H^2 = 11,1875\).
Phương sai của mẫu số liệu ở bảng 2 là: \(s_V^2 = 13,6875\).
Suy ra \(s_H^2 < s_V^2\). Vậy chiều cao của các cây mà bạn Hùng trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Vương trồng.
Đáp án: a)S, b)Đ, c)Đ, d)S.
Khảo sát thời gian (phút) tập thể dục trong ngày của một số học sinh lớp 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Số phần tử của mẫu là \(n = 11 + 10 + 13 + 9 + 7 = 50\).
Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4} = 12,5\) mà \(11 < 12,5 < 21\). Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(12,5\). Nhóm 2 là nhóm \(\left[ {10\,;\,20} \right)\) có \(s = 10\,;\,h = 10\,;\,{n_2} = 10\) và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {0\,;\,10} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_1} = 11\).
Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 10 + \left( {\frac{{12,5 - 11}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 11,5\)(phút).
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 50}}{4} = 37,5\) mà \(34 < 37,5 < 43\). Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(37,5\). Nhóm 4 là nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) có \(t = 30\,;\,h = 10\,;\,{n_4} = 9\) và nhóm 3 là nhóm \(\left[ {20\,;\,30} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_3} = 34\).
Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 30 + \left( {\frac{{37,5 - 34}}{9}} \right) \cdot 10 \approx 33,9\) (phút).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:
\({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 33,9 - 11,5 = 22,4\)(phút).
Khảo sát thời gian (phút) tập thể dục trong ngày của một số học sinh lớp 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Số phần tử của mẫu là \(n = 11 + 10 + 13 + 9 + 7 = 50\).
Thời gian tập thể dục trung bình của một học sinh là
\(\overline x = \frac{1}{{50}}\left( {11 \cdot 5 + 10 \cdot 15 + 13 \cdot 25 + 9 \cdot 35 + 7 \cdot 45} \right) = 23,2{\rm{\;}}\)(phút).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{50}}\left[ {11 \cdot {{\left( {5 - 23,2} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {15 - 23,2} \right)}^2} + 13 \cdot {{\left( {25 - 23,2} \right)}^2} + 9 \cdot {{\left( {35 - 23,2} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {45 - 23,2} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, \approx 179,99.\end{array}\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(s \approx \sqrt {179,99} \approx 13,4\)(phút).
Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 40 học sinh nam lớp 12 ở một trường trung học phổ thông.
Nhóm | Tần số |
\(\begin{array}{l}\left[ {160;163} \right)\\\left[ {163;166} \right)\\\left[ {166;169} \right)\\\left[ {169;172} \right)\\\left[ {172;175} \right)\end{array}\) | 8 10 12 8 2 |
| \(n = 40\) |
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu?
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 160\), đầu mút phải của nhóm là \({a_6} = 175\). Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là
\(R = {a_6} - {a_1} = 175 - 160 = 15\) (cm)
Kết quả 40 lần nhảy xa của hai vận động viên Nam được cho như bảng sau
Nhóm | Tần số |
\(\begin{array}{l}\left[ {6,22;6,46} \right)\\\left[ {6,46;6,70} \right)\\\left[ {6,70;6,94} \right)\\\left[ {6,94;7,18} \right)\\\left[ {7,18;7,42} \right)\end{array}\) | 4 6 5 18 7 |
| \(n = 40\) |
Tính phương sai của mẫu số liệu trên (Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Ta có bảng thống kê sau:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
\(\begin{array}{l}\left[ {6,22;6,46} \right)\\\left[ {6,46;6,70} \right)\\\left[ {6,70;6,94} \right)\\\left[ {6,94;7,18} \right)\\\left[ {7,18;7,42} \right)\end{array}\) | 6,34 6,58 6,82 7,06 7,30 | 4 6 5 18 7 |
|
| \(n = 40\) |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu biểu diễn kết quả của 40 lần nhảy xa của Nam là
\(\overline x = \frac{{4.6,34 + 6.6,58 + 5.6,82 + 18.7,06 + 7.7,30}}{{40}} \approx 6,93\).
Phương sai của mẫu số liệu biểu diễn kết quả của 40 lần nhảy xa của Nam là
\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{40}}[4.{\left( {6,34 - 6,93} \right)^2} + 6.{\left( {6,58 - 6,93} \right)^2} + 5.{\left( {6,82 - 6,93} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 18.{\left( {7,06 - 6,93} \right)^2} + 7.{\left( {7,3 - 6,93} \right)^2}]\\\,\,\,\,\,\, \approx 0,09\end{array}\]
Điểm thi học kì của hai lớp 12A1 và 12A2 cho bởi bảng sau
Điểm thi | \(\left[ {0;2} \right)\) | \(\left[ {2;4} \right)\) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right]\) |
|
Lớp 12A1 | \(3\) | \(5\) | \(17\) | \(15\) | \(5\) | \(n = 45\) |
Lớp 12A2 | \(2\) | \(8\) | \(15\) | \(14\) | \(6\) | \(n = 45\) |
1) Nhận xét điểm trung bình kiểm tra của cả hai lớp trên( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
2) Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên về điểm kiểm tra của hai lớp và giải thích số liệu thu được. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điểm thi | \(\left[ {0;2} \right)\) | \(\left[ {2;4} \right)\) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right]\) |
|
Đại diện | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(9\) |
|
Lớp 12A1 | \(3\) | \(5\) | \(17\) | \(15\) | \(5\) | \(n = 45\) |
Lớp 12A2 | \(2\) | \(8\) | \(15\) | \(14\) | \(6\) | \(n = 45\) |
a) Trung bình kiểm tra lớp 12A1 là.
\(\overline {{x_{A1}}} = \frac{{3.1 + 5.3 + 17.5 + 15.7 + 5.9}}{{45}} \simeq 5,62\).
Trung bình kiểm tra lớp 12A2 là.
\(\overline {{x_{A2}}} = \frac{{2.1 + 8.3 + 15.5 + 14.7 + 6.9}}{{45}} \simeq 5,62\).
Vì \(\overline {{x_{A1}}} = \overline {{x_{A2}}} \) nên hai lớp trên có điểm trung bình bằng nhau.
b) Phương sai lớp 12A1 là
\[{s^2}_{A1} = \frac{{3.{{\left( {1 - 5,62} \right)}^2} + 5.{{\left( {3 - 5,62} \right)}^2} + 17.{{\left( {5 - 5,62} \right)}^2} + 15.{{\left( {7 - 5,62} \right)}^2} + 5.{{\left( {9 - 5,62} \right)}^2}}}{{45}} = 4,24\].
Độ lệch chuẩn lớp 12A1 là \({s_{A1}} = 2,06\).
Phương sai lớp 12A2 là
\({s^2}_{A2} = \frac{{2.{{\left( {1 - 5,62} \right)}^2} + 8.{{\left( {3 - 5,62} \right)}^2} + 15.{{\left( {5 - 5,62} \right)}^2} + 14.{{\left( {7 - 5,62} \right)}^2} + 6.{{\left( {9 - 5,62} \right)}^2}}}{{45}} = 4,41\).
Độ lệch chuẩn lớp 12A2 là \({s_{A2}} = 2,10\).
Dựa vào độ lệch chuẩn ta thấy điểm kiểm tra lớp 12A1 có sự biến động ít hơn điểm kiểm tra lớp 12A2 và có độ phân tán nhỏ hơn điểm kiểm tra lớp 12A1
Cho mẫu thống kê trả lương của hai công ty A và B (đơn vị: triệu đồng).
Lương | \(\left[ {10;15} \right)\) | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right]\) |
|
Công ty A | 18 | 13 | 9 | 5 | 3 | 2 | \(n = 50\) |
Công ty B | 19 | 12 | 7 | 6 | 3 | 3 | \(n = 50\) |
a) Tính lương trung bình của hai công ty A, B? Công ty nào trả lương nhiều hơn?
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty A và B. Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?
a) Giá trị đại diện cho mẫu số liệu
Lương | \(\left[ {10;15} \right)\) | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right]\) |
|
Giá trị đại diện | 12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | 37,5 |
|
Công ty A | 18 | 13 | 9 | 5 | 3 | 2 | \(n = 50\) |
Công ty B | 19 | 12 | 7 | 6 | 3 | 3 | \(n = 50\) |
Trung bình lương của công ty A
\(\overline {{x_A}} = \frac{{12,5.18 + 17,5.13 + 22,5.9 + 27,5.5 + 32,5.3 + 37,5.2}}{{50}} = 19,3\).
Trung bình lương của công ty B
\(\overline {{x_B}} = \frac{{12,5.19 + 17,5.12 + 22,5.7 + 27,5.6 + 32,5.3 + 37,5.3}}{{50}} = 19,6\).
Ta có \(\overline {{x_A}} < \overline {{x_B}} \) suy ra công ty B trả lương nhiều hơn công ty A
b) Phương sai và độ lệch chuẩn lương của công ty A
\(S_A^2 = \frac{{18.{{\left( {12,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 13.{{\left( {17,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 9{{\left( {22,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 5.{{\left( {27,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 3.{{\left( {32,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 2.{{\left( {37,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2}}}{{50}}\)\(S_A^2 = 49,76\) suy ra độ lệch chuẩn: \({S_A} \approx 7,05\)
Phương sai và độ lệch chuẩn lương của công ty B
\(S_B^2 = \frac{{19.{{\left( {12,5 - \overline {{x_B}} } \right)}^2} + 12.{{\left( {17,5 - \overline {{x_B}} } \right)}^2} + 7{{\left( {22,5 - \overline {{x_B}} } \right)}^2} + 6.{{\left( {27,5 - \overline {{x_B}} } \right)}^2} + 3.{{\left( {32,5 - \overline {{x_A}} } \right)}^2} + 3.{{\left( {37,5 - \overline {{x_B}} } \right)}^2}}}{{50}}\)
\(S_B^2 = 58,09\) suy ra độ lệch chuẩn: \({S_B} \approx 7,62\)
Ta có \({S_B} > {S_A}\) suy ra công ty A trả lương đồng đều công ty B
