Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Cân nặng (kg)	[15;20)	[20;25)	[25;30)	[30;35)	[35;40)	[40;45)	[45;50)	[50;55)
Giá trị đại diện	\(17,5\)	\(22,5\)	\(27,5\)	\(32,5\)	\(37,5\)	\(42,5\)	\(47,5\)	\(52,5\)
Số học sinh	1	0	0	1	10	17	0	1

Thời gian chạy trung bình của các bạn học sinh là:

\(\overline x  = \frac{{126.3 + 128.7 + 130.15 + 132.10 + 134.5}}{{40}} = 130,35\).chọn A

Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:

\(\overline x  = \frac{{27,5.25 + 32,5.38 + 37,5.62 + 42,5.42 + 47,5.37 + 52,5.29}}{{233}} \simeq 39,97\).

a) Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 30\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 90\) nên \(R = {a_7} - {a_1} = 60\).

Vậy mệnh đề đúng.

b) Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(2 < 10 < 12\). Suy ra nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\). Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) có \(s = 40\); \(h = 10\); \({n_2} = 10\) và nhóm \(1\) là nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

\({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right).10 = 48\) (\(kg\)).

Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(28 < 30 < 36\). Suy ra nhóm \(4\)là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\). Xét nhóm \(4\)là nhóm \(\left[ {60\,;\,70} \right)\) có \(t = 60\); \(l = 10\); \({n_4} = 8\) và nhóm \(3\) là nhóm \(\left[ {50\,;\,60} \right)\)có \(c{f_3} = 28\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

\({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\)(\(kg\)).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 14,5\).

Vậy mệnh đề đúng.

c) Ta có

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\bar x = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\).

Vậy mệnh đề đúng.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({s^2} = \frac{{2{{\left( {35 - \bar x} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - \bar x} \right)}^2} + 16{{\left( {55 - \bar x} \right)}^2} + 8{{\left( {65 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {75 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {85 - \bar x} \right)}^2}}}{{40}} = 129\).

Vậy mệnh đề sai.

a) Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 140\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 170\) nên \(R = {a_7} - {a_1} = 30\).

Vậy mệnh đề đúng.

b) Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(5 < 10 \le 10\). Suy ra nhóm \(3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\). Xét nhóm \(3\) là nhóm \(\left[ {150\,;\,155} \right)\) có \(s = 150\); \(h = 5\); \({n_3} = 5\) và nhóm \(2\) là nhóm \(\left[ {145\,;\,150} \right)\) có \(c{f_2} = 5\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

\({Q_1} = 150 + \left( {\frac{{10 - 5}}{5}} \right).5 = 155\) (\(cm\)).

Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(25 < 30 < 35\). Suy ra nhóm \(5\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\). Xét nhóm \(5\) là nhóm \(\left[ {160;165} \right)\) có \(t = 160\); \(l = 5\); \({n_5} = 10\) và nhóm \(4\) là nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) có \(c{f_4} = 25\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

\({Q_3} = 160 + \left( {\frac{{30 - 25}}{{10}}} \right).5 = 162,5\)(\(cm\)).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 7,5\).

Vậy mệnh đề sai.

c) Ta có

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\bar x = \frac{{142,5.2 + 147,5.3 + 152,5.5 + 157,5.15 + 162,5.10 + 167,5.5}}{{40}} = 157,875\).

Vậy mệnh đề sai.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{2{{\left( {142,5 - \bar x} \right)}^2} + 3{{\left( {147,5 - \bar x} \right)}^2} + 5{{\left( {152,5 - \bar x} \right)}^2} + 15{{\left( {157,5 - \bar x} \right)}^2} + 10{{\left( {162,5 - \bar x} \right)}^2} + 5{{\left( {167,5 - \bar x} \right)}^2}}}{{40}}\\\,\,\,\,\,\, \approx 40,48\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 6,36\).

Vậy mệnh đề sai.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

a) Cỡ mẫu \(n = 160\).

\[\bar x = \frac{1}{{160}}(24 \cdot 4,5 + 57 \cdot 7,5 + 42 \cdot 10,5 + 29 \cdot 13,5 + 8 \cdot 16,5) \approx 9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

Vậy lượng nước tiêu thụ trung bình trong tháng của một hộ gia đình trong khu vực nói trên xấp xỉ bằng \[9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 18 - 3 = 15\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

c) \(25\% \) các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn \({Q_3}\), với \({Q_3}\) là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

Nhóm \([9;12)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ \( \ge \frac{{3.160}}{4} = 120,\)suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{160.3}}{4} - (24 + 57)}}{{42}} \cdot (12 - 9) \approx 11,79\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ \(11,79\;{m^3}\) nước trở lên.

d) Ta có \[{s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + {n_3}{{\left( {{x_3} - \overline x } \right)}^2} + {n_4}{{\left( {{x_4} - \overline x } \right)}^2} + {n_5}{{\left( {{x_5} - \overline x } \right)}^2}}}{n} \approx 10,77.\]

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên xấp xỉ bằng \(3,28\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

Đáp án: a)Đ, b)Đ, c)S, d)S.

a) Chiều cao trung bình của cây do bạn Hùng trồng là: \(\overline {{x_H}}  = 30,25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Chiều cao trung bình của cây do bạn Vương trồng là: \(\overline {{x_V}}  = 30,25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Suy ra chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng là bằng nhau.

b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu là \(40 - 20 = 20\).

c) Xét mẫu số liệu ở bảng 1.

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó là:

\({Q_1} = 25 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{16}}} \right) \cdot 5 = 27,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Tứ phân vi thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu đó là:

\({Q_3} = 30 + \left( {\frac{{30 - 18}}{{20}}} \right) \cdot 5 = 33\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là \(33 - 27,5 = 5,5\).

c) Phương sai của mẫu số liệu ở bảng 1 là: \(s_H^2 = 11,1875\).

Phương sai của mẫu số liệu ở bảng 2 là: \(s_V^2 = 13,6875\).

Suy ra \(s_H^2 < s_V^2\). Vậy chiều cao của các cây mà bạn Hùng trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Vương trồng.

Đáp án: a)S, b)Đ, c)Đ, d)S.

Số phần tử của mẫu là \(n = 11 + 10 + 13 + 9 + 7 = 50\).

Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4} = 12,5\) mà \(11 < 12,5 < 21\). Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(12,5\). Nhóm 2 là nhóm \(\left[ {10\,;\,20} \right)\) có \(s = 10\,;\,h = 10\,;\,{n_2} = 10\) và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {0\,;\,10} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_1} = 11\).

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 10 + \left( {\frac{{12,5 - 11}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 11,5\)(phút).

Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 50}}{4} = 37,5\) mà \(34 < 37,5 < 43\). Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(37,5\). Nhóm 4 là nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) có \(t = 30\,;\,h = 10\,;\,{n_4} = 9\) và nhóm 3 là nhóm \(\left[ {20\,;\,30} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_3} = 34\).

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 30 + \left( {\frac{{37,5 - 34}}{9}} \right) \cdot 10 \approx 33,9\) (phút).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

\({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 33,9 - 11,5 = 22,4\)(phút).

Số phần tử của mẫu là \(n = 11 + 10 + 13 + 9 + 7 = 50\).

Thời gian tập thể dục trung bình của một học sinh là

\(\overline x  = \frac{1}{{50}}\left( {11 \cdot 5 + 10 \cdot 15 + 13 \cdot 25 + 9 \cdot 35 + 7 \cdot 45} \right) = 23,2{\rm{\;}}\)(phút).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{50}}\left[ {11 \cdot {{\left( {5 - 23,2} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {15 - 23,2} \right)}^2} + 13 \cdot {{\left( {25 - 23,2} \right)}^2} + 9 \cdot {{\left( {35 - 23,2} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {45 - 23,2} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, \approx 179,99.\end{array}\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(s \approx \sqrt {179,99}  \approx 13,4\)(phút).

Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 160\), đầu mút phải của nhóm là \({a_6} = 175\). Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là

\(R = {a_6} - {a_1} = 175 - 160 = 15\) (cm)

Ta có bảng thống kê sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
\(\begin{array}{l}\left[ {6,22;6,46} \right)\\\left[ {6,46;6,70} \right)\\\left[ {6,70;6,94} \right)\\\left[ {6,94;7,18} \right)\\\left[ {7,18;7,42} \right)\end{array}\)	6,34 6,58 6,82 7,06 7,30	4 6 5 18 7
		\(n = 40\)

 

Số trung bình cộng của mẫu số liệu biểu diễn kết quả của 40 lần nhảy xa của Nam là

\(\overline x  = \frac{{4.6,34 + 6.6,58 + 5.6,82 + 18.7,06 + 7.7,30}}{{40}} \approx 6,93\).

Phương sai của mẫu số liệu biểu diễn kết quả của 40 lần nhảy xa của Nam là

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{40}}[4.{\left( {6,34 - 6,93} \right)^2} + 6.{\left( {6,58 - 6,93} \right)^2} + 5.{\left( {6,82 - 6,93} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 18.{\left( {7,06 - 6,93} \right)^2} + 7.{\left( {7,3 - 6,93} \right)^2}]\\\,\,\,\,\,\, \approx 0,09\end{array}\]

a) Trung bình kiểm tra lớp 12A1 là.

\(\overline {{x_{A1}}}  = \frac{{3.1 + 5.3 + 17.5 + 15.7 + 5.9}}{{45}} \simeq 5,62\).

Trung bình kiểm tra lớp 12A2 là.

\(\overline {{x_{A2}}}  = \frac{{2.1 + 8.3 + 15.5 + 14.7 + 6.9}}{{45}} \simeq 5,62\).

Vì \(\overline {{x_{A1}}}  = \overline {{x_{A2}}} \) nên hai lớp trên có điểm trung bình bằng nhau.

b) Phương sai lớp 12A1 là

\[{s^2}_{A1} = \frac{{3.{{\left( {1 - 5,62} \right)}^2} + 5.{{\left( {3 - 5,62} \right)}^2} + 17.{{\left( {5 - 5,62} \right)}^2} + 15.{{\left( {7 - 5,62} \right)}^2} + 5.{{\left( {9 - 5,62} \right)}^2}}}{{45}} = 4,24\].

Độ lệch chuẩn lớp 12A1 là \({s_{A1}} = 2,06\).

Phương sai lớp 12A2 là

\({s^2}_{A2} = \frac{{2.{{\left( {1 - 5,62} \right)}^2} + 8.{{\left( {3 - 5,62} \right)}^2} + 15.{{\left( {5 - 5,62} \right)}^2} + 14.{{\left( {7 - 5,62} \right)}^2} + 6.{{\left( {9 - 5,62} \right)}^2}}}{{45}} = 4,41\).

Độ lệch chuẩn lớp 12A2 là \({s_{A2}} = 2,10\).

Dựa vào độ lệch chuẩn ta thấy điểm kiểm tra lớp 12A1 có sự biến động ít hơn điểm kiểm tra lớp 12A2 và có độ phân tán nhỏ hơn điểm kiểm tra lớp 12A1