Bài tập Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau. Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm).
Số lần gặp sự cố | [0,5; 2,5) | [2,5; 4,5) | [4,5; 6,5) | [6,5; 8,5) | [8,5; 10,5) |
Số xe | 17 | 33 | 25 | 20 | 5 |
5,32;
3,52;
2,53;
5,23.
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu n = 100.
Gọi x1; x2; …; x100 lần lượt là số lần gặp sự cố của 100 chiếc xe cùng lại sau 2 năm sử dụng được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {2,5;4,5} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Suy ra \({Q_1} = 2,5 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{33}}\left( {4,5 - 2,5} \right) \approx 2,98\).
Có \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {2,5;4,5} \right)\).
Mà x75 ∈ [4,5; 6,5); x76 [6,5; 8,5) nên Q3 = 6,5.
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là Q = Q3 – Q1 ≈ 6,5 – 2,98 = 3,52.
Bảng số liệu ghép nhóm tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2005 đến 2024 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau
Lượng mưa | [150; 225) | [225; 300) | [300; 375) | [375; 450) | [450; 525) |
Số năm | 3 | 5 | 3 | 6 | 3 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng
375;
170;
225;
200.
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu n = 20.
Gọi x1; x2; ...; x20 là tổng lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2005 đến 2024 được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in \left[ {225;300} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 225 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{5}\left( {300 - 225} \right) = 255\).
Có \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in \left[ {375;450} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Ta có \({Q_3} = 375 + \frac{{\frac{{20.3}}{4} - 11}}{6}.75 = 425\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 425 - 255 = 170\).
Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau. Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này? (Làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm).
Điện lượng (nghìn mAh) | [0,9; 0,95) | [0,95; 1,0) | [1,0; 1,05) | [1,05; 1,1) | [1,1; 1,15) |
Số viên pin | 10 | 20 | 35 | 15 | 5 |
0,06;
0,08;
0,07;
0,09.
Đáp án đúng là: C
Cỡ mẫu n = 85.
Gọi x1; x2; ...; x85 là điện lượng của 85 viên pin tiểu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right) \in \left[ {0,95;1,0} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}\left( {1,0 - 0,95} \right) \approx 0,98\).
Có \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right) \in \left[ {1,0;1,05} \right)\).
Ta có \({Q_3} = 1,0 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1} \right) \approx 1,05\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Q = Q3 – Q1 ≈ 1,05 – 0,98 = 0,07.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của dân cư của khu phố A như sau
Nhóm | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Số người | 24 | 26 | 20 | 15 | 11 | 4 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là (làm tròn đến hàng phần trăm)
30,38;
53,33;
22,95;
22,94.
Đáp án đúng là: C
Có n = 100.
Gọi x1; x2; …; x100 là tuổi của 100 dân cư khu phố A được xếp theo thứ tự không giảm.
Có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {30;40} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Có \({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 24}}{{26}}.10 = \frac{{395}}{{13}}\).
Có \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {50;60} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Có \({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 70}}{{15}}.10 = \frac{{160}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Q = Q3 – Q1 =\(\frac{{160}}{3} - \frac{{395}}{{13}} = \frac{{895}}{{39}} \approx 22,95\).
Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng)
Lương tháng (triệu đồng) | [6; 8) | [8; 10) | [10; 12) | [12; 14) |
Số nhân viên | 3 | 6 | 8 | 7 |
Tìm khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên.
1,75;
3,3;
3,25;
2,3.
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu n = 24.
Gọi x1; x2; …; x24 là lương tháng của 24 nhân viên được xếp theo thứ tự không giảm.
Có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in \left[ {8;10} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
\({Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}\left( {10 - 8} \right) = 9\).
Có \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right) \in \left[ {12;14} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là
\({Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.24}}{4} - 17}}{7}\left( {14 - 12} \right) \approx 12,3\).
Khoảng tứ phân vị Q = Q3 – Q1 = 12,3 – 9 = 3,3.
Các bạn học sinh lớp 12A5 trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả số câu trả lời đúng được thống kê ở bảng sau:
Số câu trả lời đúng | [16; 21) | [21; 26) | [26; 31) | [31; 36) | [36; 41) |
Số học sinh | 4 | 8 | 8 | 16 | 4 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là
9,375;
8,625;
10,15;
7,5.
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu n = 40.
Có \({Q_1} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do x10; x11 [21; 26) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Có \({Q_1} = 21 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 4}}{8}.5 = 24,75\).
Có \({Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x30; x31 ∈ [31;36) nên nhóm này chứa Q3.
Có \({Q_3} = 31 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 20}}{{16}}.5 = 34,125\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu Q = Q3 – Q1 = 34,125 – 24,75 = 9,375.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 25 cây cam giống như sau:
Từ một mẫu số liệu về chiều cao của cây xoài giống người ta tính được khoảng tứ phân vị bằng 13,94. Đối với các cây cam giống và xoài giống được khảo sát ở trên, khẳng định nào sau đây đúng
Chiều cao của các cây xoài giống phân tán hơn;
Chiều cao của các cây cam giống phân tán hơn;
Các cây cam và xoài giống có chiều cao phân tán như nhau;
Không so sánh được độ phân tán của các cây cam giống và xoài giống được khảo sát.
Đáp án đúng là:
Cỡ mẫu n = 25.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do x6; x7 đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q1.
Ta có: \({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.10 = 13,75\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là \(\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2}\). Do x19; x20 đều thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q3.
Ta có: \({Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - 17}}{5}.10 = 33,5\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là Q = Q3 – Q1 = 33,5 – 13,75 = 19,75.
Vì 19,75 > 13,94 nên chiều cao của các cây cam giống được khảo sát phân tán hơn chiều cao của các cây xoài giống được khảo sát.
Bảng sau thống kê cân nặng của 30 quả đu đủ được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở vườn nhà Lan
Cân nặng (g) | [750; 800) | [800; 850) | [850; 900) | [900; 950) | [950; 1000) |
Số quả bưởi | 5 | 10 | 5 | 8 | 2 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
103,125;
1728,125;
250;
750.
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu n = 30.
Gọi x1; x2; ...; x30 là số cân nặng của 30 quả đu đủ thu hoạch ở vường nhà Lan được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có Q1 = x8 ∈ [800; 850) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 800 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}}.50 = 812,5\).
Ta có Q3 = x23 [900; 950) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_3} = 900 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {5 + 10 + 5} \right)}}{8}.50 = 915,625\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là Q = Q3 – Q1 = 103,125.
Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là Q1 = 54; Q2 = 61; Q3 = 73. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
19;
12;
7;
61.
Đáp án đúng là: A
Có Q = Q3 – Q1 = 73 – 54 = 19.
Trung tâm ngoại ngữ thống kê bảng điểm môn Tiếng Anh của một khóa học trong bảng dưới đây
Điểm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Học viên | 10 | 30 | 55 | 42 | 9 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
3,93;
3,92;
2,93;
2,92.
Đáp án đúng là: D
Cỡ mẫu n = 146.
Gọi x1; x2; ...; x146 là điểm của 146 học viên được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có Q1 = x37 [2; 4) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 2 + \frac{{\frac{{146}}{4} - 10}}{{30}}.2 = \frac{{113}}{{30}}\).
Ta có Q3 = x110 [6; 8) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Ta có \({Q_3} = 6 + \frac{{\frac{{3.146}}{4} - 95}}{{42}}.2 = \frac{{281}}{{42}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là Q = Q3 – Q1 = \(\frac{{281}}{{42}} - \frac{{113}}{{30}} = \frac{{307}}{{105}} \approx 2,92\).
Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ cột.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
0,4675.
0,4576.
0,4765.
1,2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu là n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; x2; …; x25.
Tứ phân vị thứ hai Q2 là x13, chia mẫu số liệu thành hai nửa.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa số liệu phía dưới bao gồm 12 giá trị x1; …; x12. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\).
Do x6; x7 đều thuộc nhóm [5,7; 5,9) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [5,7; 5,9).
Ta có: \({Q_1} = 5,7 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 3}}{4} \cdot 0,2 = 5,8625\)
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa số liệu phía trên bao gồm 12 giá trị x14; …; x25. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2}\).
Do x19; x20 đều thuộc nhóm [6,3; 6,5) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [6,3; 6,5).
Ta có: \({Q_3} = 6,3 + \frac{{\frac{{3 \cdot 25}}{4} - 18}}{5} \cdot 0,2 = 6,33\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 6,33 − 5,8625 = 0,4675.
Khảo sát thời gian đọc sách trong ngày (phút) của một số học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | [0; 30) | [30; 60) | [60; 90) | [90; 120) | [120; 150) |
Số học sinh | 4 | 6 | 15 | 12 | 3 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
42,5.
40.
45.
42.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu là n = 4 + 6 + 15 + 12 + 3 = 40.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; x2; …; x40.
Tứ phân vị thứ hai Q2 là \(\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\), chia mẫu số liệu thành hai nửa.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa số liệu phía dưới bao gồm 20 giá trị x1; …; x20. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\).
Do x10 thuộc nhóm [30; 60) và x11 thuộc nhóm [60; 90) nên Q1 = 60.
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa số liệu phía trên bao gồm 20 giá trị x21; …; x40. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\).
Do x30; x31 đều thuộc nhóm [90; 120) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [90; 120).
Ta có: \({Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 25}}{{12}} \cdot 30 = 102,5\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 102,5 – 60 = 42,5.
Kết quả khảo sát về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở một khu vực được cho trong bảng sau:
Tuổi kết hôn | [19; 22) | [22; 25) | [25; 28) | [28; 31) | [31; 34) |
Số phụ nữ | 10 | 27 | 31 | 25 | 7 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\(\frac{{388}}{{75}}\).
\(\frac{{378}}{{75}}\).
\(\frac{{386}}{{75}}\).
\(\frac{{288}}{{75}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu là n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1, x2, ..., x100.
Tứ phân vị thứ hai Q2 là \(\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\), chia mẫu số liệu thành hai nửa.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa số liệu phía dưới bao gồm 50 giá trị x1; …; x50. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\).
Do x25; x26 đều thuộc nhóm [22; 25) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [22; 25).
Ta có: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}} \cdot 3 = \frac{{71}}{3}\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa số liệu phía trên bao gồm 50 giá trị x51; …; x100. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}\).
Do x75; x76 đều thuộc nhóm [28; 31) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [28; 31).
Ta có: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3 \cdot 100}}{4} - 68}}{{25}} \cdot 3 = \frac{{721}}{{25}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = \frac{{721}}{{25}} - \frac{{71}}{3} = \frac{{388}}{{75}}\).
Điều tra về khối lượng của 27 củ khoai tây (đơn vị: gam) thu hoạch tại nông trường, ta có kết quả sau:
Khối lượng (gam) | [74; 80) | [80; 86) | [86; 92) | [92; 98) | [98; 104) | [104; 110) |
Số củ khoai tây | 4 | 6 | 3 | 4 | 3 | 7 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên làm tròn đến 2 chữ số thập phân là:
21,46.
21,45.
25,30.
20,50.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu là n = 27.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; x2; …; x27.
Tứ phân vị thứ hai Q2 là x14, chia mẫu số liệu thành hai nửa.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa số liệu phía dưới bao gồm 13 giá trị x1; …; x13. Do đó Q1 = x7.
Do x7 thuộc nhóm [80; 86) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [80; 86).
Ta có: \({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{27}}{4} - 4}}{6} \cdot 6 = 82,75\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa số liệu phía trên bao gồm 13 giá trị x15; …; x27. Do đó Q3 = x21.
Do x21 thuộc nhóm [104; 110) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [104; 110).
Ta có: \({Q_3} = 104 + \frac{{\frac{{3 \cdot 27}}{4} - 20}}{7} \cdot 6 = 104 + \frac{{1,5}}{7} \approx 104,21\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 104,21 – 82,75 = 21,46.
Số lượng đặt bàn của một nhà hàng trong nhiều ngày liên tiếp được cho bởi bảng sau:
Số lượt đặt bàn | [1; 6) | [6; 11) | [11; 16) | [16; 21) | [21; 26) |
Số ngày | 14 | 30 | 25 | 18 | 5 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
8,5.
9,5.
10,5.
7,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu là n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1, x2, ..., x92.
Tứ phân vị thứ hai Q2 là \(\frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2}\), chia mẫu số liệu thành hai nửa.
Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của nửa số liệu phía dưới bao gồm 46 giá trị x₁, ..., x₄₆. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_{23}} + {x_{24}}}}{2}\).
Do x23; x24 đều thuộc nhóm [6; 11) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [6; 11).
Ta có: \({Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{92}}{4} - 14}}{{30}} \cdot 5 = 7,5\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa số liệu phía trên bao gồm 46 giá trị x₄₇, ..., x₉₂. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{69}} + {x_{70}}}}{2}\).
Do x69 thuộc nhóm [11; 16) và x70 thuộc nhóm [16; 21) nên Q3 = 16.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 16 – 7,5 = 8,5.
Biểu đồ thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác Bình.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là 30.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm [20; 25).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu xấp xỉ 28,44.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bé hơn 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Cỡ mẫu là n = 5 + 12 + 8 + 3 + 2 = 30.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x₁, x₂, ..., x₃₀.
b) Đúng. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 15 giá trị nửa dưới, do đó Q1 = x8.
Do x8 thuộc nhóm [20; 25) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [20; 25).
c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 15 giá trị nửa trên, do đó Q3 = x23.
Do x23 thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [25; 30).
Ta tính được: \({Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - 17}}{8} \cdot 5 = 28,4375 \approx 28,44\).
d) Sai. Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{12}} \cdot 5 \approx 21,04\).
Khoảng tứ phân vị là ∆Q = 28,44 – 21,04 = 7,4. Vì 7,4 lớn hơn 5 nên mệnh đề d sai.
Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước tiêu thụ của các hộ gia đình trong một khu vực trong một tháng ở bảng sau:
Lượng nước tiêu thụ (m3) | [3; 6) | [6; 9) | [9; 12) | [12; 15) | [15; 18) |
Số hộ gia đình | 24 | 57 | 42 | 29 | 8 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [6; 9).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ 11,79.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 4,95.
Giá trị tiêu thụ 3 (\({m^3}\)) là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 80 giá trị nửa dưới. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_{40}} + {x_{41}}}}{2}.\)Do x40; x41 đều thuộc nhóm [6; 9) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [6; 9).
b) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 80 giá trị nửa trên. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{120}} + {x_{121}}}}{2}\). Do x120; x121 đều thuộc nhóm [9; 12) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [9; 12).
Ta tính được: \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3 \cdot 160}}{4} - 81}}{{42}} \cdot 3 \approx 11,79\).
c) Đúng. Tính tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{160}}{4} - 24}}{{57}} \cdot 3 \approx 6,84\).
Khoảng tứ phân vị là ∆Q = 11,79 – 6,84 = 4,95.
d) Sai. Giới hạn dưới để kiểm tra giá trị ngoại lệ là Q₁ − 1,5ΔQ = 6,84 − 1,5×4,95 = −0,585. Vì 3 > −0,585 nên 3 không phải là giá trị ngoại lệ.
Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của dân cư trong một khu phố:
Độ tuổi | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Số người | 24 | 26 | 20 | 15 | 11 | 4 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vị trí của tứ phân vị thứ nhất là 25.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ 30,38.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ 53,33.
Khoảng tứ phân vị đo lường mức độ phân tán của 50% số liệu ở vị trí trung tâm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
Cỡ mẫu là n = 100.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x100.
a) Sai. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 50 giá trị nửa dưới, tức là \({Q_1} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\).
b) Đúng. Do x25; x26 đều thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm chứa Q1 là [30; 40).
Ta có: \({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 24}}{{26}} \cdot 10 \approx 30,38\).
c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 50 giá trị nửa trên, tức là \({Q_3} = \frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}\).
Do x75; x76 đều thuộc nhóm [50; 60) nên nhóm chứa Q3 là [50; 60).
Ta có: \({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3 \cdot 100}}{4} - 70}}{{15}} \cdot 10 \approx 53,33\).
d) Đúng. Đây là bản chất và ý nghĩa thống kê của khoảng tứ phân vị nhằm loại bỏ tác động của các giá trị bất thường ở hai phía.
Khảo sát tuổi thọ của một loại bóng đèn (tháng) thu được bảng số liệu sau:
Tuổi thọ (tháng) | [24; 27) | [27; 30) | [30; 33) | [33; 36) | [36; 39) |
Số lượng bóng đèn | 4 | 10 | 8 | 2 | 6 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [27; 30).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 28,05.
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [30; 33).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng 5,7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
Cỡ mẫu là n = 30.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x30.
a) Đúng. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 15 giá trị nửa dưới, tức là Q1 = x8. Do x8 thuộc nhóm [27; 30) nên nhóm chứa Q1 là [27; 30).
b) Đúng. Ta tính được: \({Q_1} = 27 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 4}}{{10}} \cdot 3 = 28,05\).
c) Sai. Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 15 giá trị nửa trên, tức là Q3 = x23. Do x23 thuộc nhóm [33; 36) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [33; 36), không phải nhóm [30; 33).
d) Đúng. Ta tính tứ phân vị thứ ba: \({Q_3} = 33 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - 22}}{2} \cdot 3 = 33,75\).
Khoảng tứ phân vị là: ∆Q = 33,75 – 28,05 = 5,7.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc
Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên khi mẫu số liệu có chứa các giá trị ngoại lệ.
Khoảng tứ phân vị luôn lớn hơn khoảng biến thiên của cùng một mẫu số liệu.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Do sử dụng công thức nội suy tuyến tính, các giá trị tứ phân vị ghép nhóm ước lượng gần đúng cho dữ liệu gốc.
b) Sai. Khoảng tứ phân vị ∆Q = Q3 – Q1 chỉ đo lường mức độ phân tán của 50% số liệu nằm ở vị trí trung tâm, không phải toàn bộ mẫu.
c) Đúng. Khoảng biến thiên dễ bị sai lệch bởi giá trị cực biên (ngoại lệ), trong khi khoảng tứ phân vị loại bỏ được 25% dữ liệu thấp nhất và 25% dữ liệu cao nhất nên ổn định hơn.
d) Sai. Khoảng biến thiên đo khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của toàn bộ dữ liệu, do đó khoảng biến thiên luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng tứ phân vị.
Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn bằng biểu đồ cột.
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
Cỡ mẫu là n = 200.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x200.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 100 giá trị nửa dưới. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\).
Do x50; x51 đều thuộc nhóm [8,8; 9,1) nên nhóm chứa Q1 là [8,8; 9,1).
Ta có: \({Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 20}}{{35}} \cdot 0,3 \approx 9,06\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 100 giá trị nửa trên. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\).
Do x150; x151 đều thuộc nhóm [9,4; 9,7) nên nhóm chứa Q3 là [9,4; 9,7).
Ta có: \({Q_3} = 9,4 + \frac{{\frac{{3 \cdot 200}}{4} - 115}}{{55}} \cdot 0,3 \approx 9,59\).
Khoảng tứ phân vị là: ∆Q = 9,59 – 9,06 = 0,53. Làm tròn đến hàng phần mười ta được 0,5.
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được bảng số liệu sau:
Thời gian (phút) | [0; 4) | [4; 8) | [8; 12) | [12; 16) | [16; 20) |
Số học sinh | 2 | 4 | 7 | 4 | 3 |
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Cỡ mẫu là n = 20.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x20.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 10 giá trị nửa dưới. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\).
Do x5; x6 đều thuộc nhóm [4; 8) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [4; 8).
Ta có: \({Q_1} = 4 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{4} \cdot 4 = 7\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 10 giá trị nửa trên. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\).
Do x15; x16 đều thuộc nhóm [12; 16) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [12; 16)
Ta có: \({Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 13}}{4} \cdot 4 = 14\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 14 – 7 = 7.
Mỗi ngày bác Tâm đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Tâm trong 20 ngày được thống kê lại trong bảng sau:
Quãng đường (km) | [2,7; 3,0) | [3,0; 3,3) | [3,3; 3,6) | [3,6; 3,9) | [3,9; 4,2) |
Số ngày | 3 | 6 | 5 | 4 | 2 |
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,6
Cỡ mẫu là n = 20.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x20.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 10 giá trị nửa dưới. Do đó \({Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\).
Do x5; x6 đều thuộc nhóm [3,0; 3,3) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [3,0; 3,3).
Ta có: \({Q_1} = 3,0 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6} \cdot 0,3 = 3,1\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 10 giá trị nửa trên. Do đó \({Q_3} = \frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\).
Do x15, x16 thuộc nhóm [3,6; 3,9) nên nhóm chứa Q3 là [3,6; 3,9).
Ta có: \({Q_3} = 3,6 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 14}}{4} \cdot 0,3 = 3,675\).
Khoảng tứ phân vị là: ∆Q = 3,675 – 3,1 = 0,575. Làm tròn đến hàng phần mười ta được 0,6.
Cho bảng số liệu về khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch từ một thửa ruộng như sau:
Khối lượng (gam) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) | [100; 110) | [110; 120) |
Số củ khoai tây | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 15
Cỡ mẫu là n = 30.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x30.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 15 giá trị nửa dưới. Do đó Q1 = x8.
Do x8 thuộc nhóm [80; 90) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [80; 90).
Ta có: \({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6} \cdot 10 = 87,5\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 15 giá trị nửa trên. Do đó Q3 = x23.
Do x23 thuộc nhóm [100; 110) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [100; 110).
Ta có: \({Q_3} = 100 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - 21}}{6} \cdot 10 = 102,5\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 102,5 – 87,5 = 15.
Bảng thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở nông trường được cho dưới đây:
Cân nặng (g) | [250; 290) | [290; 330) | [330; 370) | [370; 410) | [410; 450) |
Số quả xoài | 2 | 12 | 19 | 12 | 5 |
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 60
Cỡ mẫu là n = 50.
Giả sử mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm là x1; …; x50.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của 25 giá trị nửa dưới. Do đó Q1 = x13.
Do x13 thuộc nhóm [290; 330) nên nhóm chứa Q1 là nhóm [290; 330).
Ta có: \({Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 2}}{{12}} \cdot 40 = 325\).
Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của 25 giá trị nửa trên. Do đó Q3 = x38.
Do x38 thuộc nhóm [370; 410) nên nhóm chứa Q3 là nhóm [370; 410).
Ta có: \({Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3 \cdot 50}}{4} - 33}}{{12}} \cdot 40 = 385\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 385 – 325 = 60.
