Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
[Mức độ 1] Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau:
Cân nặng (g) | \(\left[ {150;\,155} \right)\) | \(\left[ {155;\,160} \right)\) | \(\left[ {160;\,165} \right)\) | \(\left[ {165;\,170} \right)\) | \(\left[ {170;\,175} \right)\) |
Số quả táo | \(4\) | \(7\) | \(12\) | \[6\] | \(2\) |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
\(R = 5\).
\(R = 24\).
\(R = 25\).
\(R = 10\).
chọn C.Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 175 - 150 = 25\) (g)
Mức độ 1] Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/\[{m^2}\]) | [10;14) | [14;18) | [18;22) | [22;26) | [26;30) |
Số khách hàng | 54 | 78 | 120 | 45 | 12 |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
\(R = 4\).
\(R = 20\).
\(R = 9\).
\(R = 108\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:\(R = 30 - 10 = 20\) (triệu đồng /\({m^2}\)). Chọn C
trong tháng 6/2022 được cho trong bảng sau
Chỉ số AQI | \(\left[ {0;50} \right)\) | \(\left[ {50;100} \right)\) | \(\left[ {100;150} \right)\) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) |
Số ngày | 5 | 11 | 7 | 4 | 3 |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
\(R = 50\).
\(R = 250\).
\(R = 150\).
\(R = 8\).
Chọn C.Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:\(R = 250 - 0 = 250\) ( ngày)
Mức độ 2] Bạn Linh thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp \(12A\) và lớp \(12\,B\) ở bảng sau:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) | \(\left[ {175;180} \right)\) |
Số học sinh nữ lớp 12 A | 2 | 7 | 12 | 3 | 0 | 1 |
Số học sinh nữ lớp 12 B | 0 | 9 | 8 | 2 | 1 | 5 |
Gọi \({R_1}\); \({R_2}\)lần lượt là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12A\) và \(12\,B\). Tìm \({R_1}\); \({R_2}\).
\({R_1} = 30\,\,\left( {cm} \right)\,\,\,;\,\,{R_2} = 25\,\,\left( {cm} \right)\).
\({R_1} = 30\,\,\left( {cm} \right)\,\,\,;\,\,{R_2} = 30\,\,\left( {cm} \right)\).
\({R_1} = 25\,\,\left( {cm} \right)\,\,\,;\,\,{R_2} = 25\,\,\left( {cm} \right)\).
\({R_1} = 12\,\,\left( {cm} \right)\,\,\,;\,\,{R_2} = 9\,\,\left( {cm} \right)\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12A\)là: \({R_1} = 180 - 150 = 30\) (cm).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12B\), khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [155; 160) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [175; 180).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12B\)là: \({R_2} = 180 - 155 = 25\) (cm).
[Mức độ 1] Gọi \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của một mẫu số liệu ghép nhóm. Khi đó khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của mẫu số liệu trên được xác định bởi công thức
\[{\Delta _Q}\; = {Q_2} - {Q_1}\].
\[{\Delta _Q}\; = {Q_3} - {Q_1}\].
\[{\Delta _Q}\; = {Q_2} - {Q_3}\].
\[{\Delta _Q}\; = {Q_1} - {Q_3}\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\Delta _Q}\; = {Q_3}--{Q_1}\;\].CHỌN B
[Mức độ 1] Một ý nghĩa của khoảng tứ phân vị là
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị không bất thường của mẫu số liệu đó.
Khoảng tứ phân vị thường không được sử dụng thay cho khoảng biến thiên.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ không phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị:
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. - Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.Chọn C
Số lượng đặt bàn của một nhà hàng được cho bởi bảng sau:
Số lượt đặt bàn | Tần số | Tần số tích lũy |
[1; 6) | 14 | 14 |
[6; 11) | 30 | 44 |
[11; 16) | 25 | 69 |
[16; 21) | 18 | 87 |
[21; 26) | 5 | 92 |
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng trên.
\({\Delta _Q} = \frac{{11}}{6}\).
\[{\Delta _Q}\; = \frac{{17}}{2}\].
\({\Delta _Q} = \frac{5}{2}\).
\({\Delta _Q} = \frac{{17}}{6}\).
Cỡ mẫu \[n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92 \Rightarrow \frac{n}{4} = 23\]
Tần số tích lũy của nhóm 1 là \(14 < 23\) và tần số tích lũy của nhóm 2 là \(44 > 23\)
Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = 23\).
Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 6\), độ dài \(h = 11 - 6 = 5\), tần số \({n_2} = 30\); tần số tích lũy của nhóm 1 là \(c{f_1} = 14\).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = s + \left( {\frac{{23 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right) \cdot h = 6 + \left( {\frac{{23 - 14}}{{30}}} \right) \cdot 5 = \frac{{15}}{2}\).
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 69\) nên nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4}\).
Nhóm 3 có đầu mút trái \({\rm{t}} = 11\), độ dài \(l = 16 - 11 = 5\), tần số \({{\rm{n}}_3} = 25\); tần số tích lũy của nhóm 3 là \(c{f_2} = 44\)
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu đã cho là
\({Q_3} = t + \left( {\frac{{69 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right) \cdot l = 11 + \left( {\frac{{69 - 44}}{{25}}} \right) \cdot 5 = 16\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\Delta _Q}\; = {Q_3}--{Q_1}\; = 16--\frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}\]
Chọn B
Giả sử kết quả khảo sát khu vực A về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
Tuổi kết hôn | Tần số | Tần số tích lũy |
[19; 22) | 10 | 10 |
[22; 25) | 27 | 37 |
[25; 28) | 31 | 68 |
[28; 31) | 25 | 93 |
[31; 34) | 7 | 100 |
Hãy tính khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của mẫu số liệu trên.
\[{\Delta _Q} = \frac{{388}}{{75}}\].
\[{\Delta _Q} = \frac{{378}}{{75}}\].
\[{\Delta _Q} = \frac{{386}}{{75}}\].
\[{\Delta _Q} = \frac{{288}}{{75}}\].
Cỡ mẫu \[n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100 \Rightarrow \frac{n}{4} = 25\].
Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(37\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = 25\).
Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 22\), độ dài \(h = 25 - 22 = 3\), tần số \({n_2} = 27\); tần số tích lũy của nhóm 1 là \(c{f_1} = 10\).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right) \cdot h = 22 + \left( {\frac{{25 - 10}}{{27}}} \right) \cdot 3 = \frac{{71}}{3}\).
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 75\) nên nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4}\).
Nhóm 4 có đầu mút trái \({\rm{t}} = 28\), độ dài \(l = 31 - 28 = 3\), tần số \({{\rm{n}}_4} = 25\); tần số tích lũy của nhóm 3 là \(c{f_3} = 68\)
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu đã cho là
\({Q_3} = t + \left( {\frac{{69 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right) \cdot l = 28 + \left( {\frac{{75 - 68}}{{25}}} \right) \cdot 3 = \frac{{721}}{{25}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A là: \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{721}}{{25}} - \frac{{71}}{3} = \frac{{388}}{{75}}\].CHỌN A
Điều tra về khối lượng \[27\] củ khoai tây (đơn vị: gam) thu hoạch tại nông trường, ta có kết quả sau:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {74;\;80} \right)\) | \(4\) | \(4\) |
\(\left[ {80;\;86} \right)\) | \(6\) | \(10\) |
\(\left[ {86;\;92} \right)\) | \(3\) | \(13\) |
\(\left[ {92;\;98} \right)\) | \(4\) | \[17\] |
\(\left[ {98;\;104} \right)\) | \(3\) | \[20\] |
\(\left[ {104;\;110} \right)\) | \(7\) | \[27\] |
| \[n = 27\] |
|
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lần lượt là
\(36;\,\,21,45\).
\(7;\,\,23\).
\(11;\,\,\,25,3\).
\(33;\,\,20,5\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \[{a_1} = 74\], đầu mút phải của nhóm 6 là \[{a_7} = 110\]. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : \(R = {a_7} - {a_1} = 110 - 74 = 36\)(gam)
Số phần tử của mẫu là \[n = 27\]
Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{27}}{4} = 6,75\] mà \[4 < 6,75 < 10\]. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[6,75\]. Xét nhóm 2 là nhóm \(\left[ {80;\;86} \right)\) có \[s = 80\]; \[h = 6\]; \[{n_2} = 6\] và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {74;\;80} \right)\) có \[c{f_1} = 4\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\[{Q_1} = 80 + \left( {\frac{{6,75 - 4}}{6}} \right).6 = 82,75\](gam)
Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.27}}{4} = 20,25\] mà \[20 < 20,25 < 27\]. Suy ra nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[20,25\]. Xét nhóm 6 là nhóm \(\left[ {104;\;109} \right)\) có \[t = 104\]; \[l = 6\]; \[{n_6} = 7\] và nhóm 5 là nhóm \(\left[ {98;\;104} \right)\) có \[c{f_5} = 20\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\[{Q_3} = 104 + \left( {\frac{{20,25 - 20}}{7}} \right).6 = \frac{{1459}}{{14}} \approx 104,2\](gam)Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 104,2 - 82,75 = 21,45\](gam). chọn A
Điểm kiểm tra 15 phút của 36 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng tần số ghép
nhóm sau:
Nhóm điểm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {1;\;3} \right)\) | \(3\) | \(3\) |
\(\left[ {3;\;5} \right)\) | \(2\) | \(5\) |
\(\left[ {5;\;7} \right)\) | \(10\) | \(15\) |
\(\left[ {7;\;9} \right)\) | \(14\) | \[29\] |
\(\left[ {9;\;11} \right)\) | \(7\) | \[36\] |
| \(n = 36\) |
|
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lần lượt là
\(10;\,\,9,2\).
\(10;\,\,2,9\).
\(10;\,\,\,25,3\).
\(6;\,\,20,5\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \[{a_1} = 1\], đầu mút phải của nhóm 5 là \[{a_6} = 11\]. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : \(R = {a_6} - {a_1} = 11 - 1 = 10\)(điểm)
Số phần tử của mẫu là \[n = 36\]
Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{36}}{4} = 9\] mà \[5 < 9 < 15\]. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[9\]. Xét nhóm 3 là nhóm \(\left[ {5;\;7} \right)\) có \[s = 5\]; \[h = 2\]; \[{n_3} = 10\] và nhóm 2 là nhóm \(\left[ {3;\;5} \right)\) có \[c{f_2} = 5\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\[{Q_1} = 5 + \left( {\frac{{9 - 5}}{{10}}} \right).2 = 5,8\](điểm)
Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.36}}{4} = 27\] mà \[15 < 27 < 29\]. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[27\]. Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {7;\;9} \right)\) có \[t = 7\]; \[l = 2\]; \[{n_4} = 14\] và nhóm 3 là nhóm \(\left[ {5;\;7} \right)\) có \[c{f_3} = 15\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\[{Q_3} = 7 + \left( {\frac{{27 - 15}}{{14}}} \right).2 \approx 8,7\](điểm)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,7 - 5,8 = 2,9\](điểm). Chọn B
Điều tra \[42\] học sinh của một lớp \[11\] về số giờ tự học ở nhà, người ta có bảng sau đây:
Lớp ( Số giờ tự học) | Tần số | Tần số tích lũy |
\[\left[ {1\,;\,2} \right)\] | \[8\] | \[8\] |
\[\left[ {2\,;\,3} \right)\] | \[10\] | \[18\] |
\[\left[ {3\,;\,4} \right)\] | \[12\] | \[30\] |
\[\left[ {4\,;\,5} \right)\] | \[9\] | \[39\] |
\[\left[ {5\,;\,6} \right)\] | \[3\] | \[42\] |
| \[n = 42\] |
|
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lần lượt là
\(5;\,\,1,95\).
\(2;\,\,3,1\).
\(2;\,\,3,2\).
\(3;\,\,1,2\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \[{a_1} = 1\], đầu mút phải của nhóm 5 là \[{a_6} = 6\]. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : \(R = {a_6} - {a_1} = 6 - 1 = 5\)(giờ)
Số phần tử của mẫu là \[n = 42\]
Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10,5\] mà \[8 < 10,5 < 18\]. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[10,5\]. Xét nhóm 2 là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\] có \[s = 2\]; \[h = 1\]; \[{n_2} = 10\] và nhóm 1 là nhóm \[\left[ {1\,;\,2} \right)\] có \[c{f_1} = 8\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\[{Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10,5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2,25\](giờ)
Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.42}}{4} = 31,5\] mà \[30 < 31,5 < 39\]. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[31,5\]. Xét nhóm 4 là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\] có \[t = 4\]; \[l = 1\]; \[{n_4} = 9\] và nhóm 3 là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\] có \[c{f_3} = 30\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\[{Q_3} = 4 + \left( {\frac{{31,5 - 30}}{9}} \right).1 \approx 4,2\](giờ)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 4,2 - 2,25 = 1,95\](giờ).Chọn A
Thống kê điểm học kì môn toán của các học sinh lớp 11A của một trường THPT, ta có bảng tần số ghép lớp, tần số tích lũy sau:
Lớp ( điểm) | Tần số | Tần số tích lũy |
\[\left[ {3\,;\,4} \right)\] | \[5\] | \[5\] |
\[\left[ {4\,;\,5} \right)\] | \[11\] | \[16\] |
\[\left[ {5\,;\,6} \right)\] | \[9\] | \[25\] |
\[\left[ {6\,;\,7} \right)\] | \[6\] | \[31\] |
\[\left[ {7\,;\,8} \right)\] | \[8\] | \[39\] |
\[\left[ {8\,;\,9} \right)\] | \[4\] | \[43\] |
\[\left[ {9\,;\,10} \right)\] | \[2\] | \[45\] |
| \[n = 45\] |
|
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lần lượt là
\[7;\,\,\,2,77\].
\(13;\,\,\,2,1\).
\(2;\,\,3,2\).
\(5;\,\,\,\,3,3\).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là \[{a_1} = 3\], đầu mút phải của nhóm 7 là \[{a_8} = 10\]. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : \(R = {a_8} - {a_1} = 10 - 3 = 7\)(điểm)
Số phần tử của mẫu là \[n = 45\]
Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{45}}{4} = 11,25\] mà \[5 < 11,25 < 16\]. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[11,25\]. Xét nhóm 2 là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\] có \[s = 4\]; \[h = 1\]; \[{n_2} = 11\] và nhóm 1 là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\] có \[c{f_1} = 5\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\[{Q_1} = 4 + \left( {\frac{{11,25 - 5}}{{11}}} \right).1 \approx 4,57\](điểm)
Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.45}}{4} = 33,75\] mà \[31 < 33,75 < 39\]. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \[33,75\]. Xét nhóm 5 là nhóm \[\left[ {7\,;\,8} \right)\] có \[t = 7\]; \[l = 1\]; \[{n_5} = 8\] và nhóm 4 là nhóm \[\left[ {6\,;\,7} \right)\] có \[c{f_4} = 31\].
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
\[{Q_3} = 7 + \left( {\frac{{33,75 - 31}}{8}} \right).1 \approx 7,34\](điểm)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 7,34 - 4,57 = 2,77\](điểm)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đon vị cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và 12D ở bảng sau.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Chiều cao cao nhất của các bạn học sinh trong lớp 12D là 185(cm).
b) Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là 30(cm).
c) Khoảng biến thiên của chiều cao các bạn học sinh nữ lớp 12D là 25(cm).
d) Chiều cao của học sinh lớp 12C có độ phân tán bé hơn.
a) Sai
b) Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là \[185 - 155 = 30\left( {cm} \right)\].
Nên b) đúng
c) Khoảng biến thiên của chiều cao các bạn học sinh nữ lớp 12D là \[180 - 155 = 25\left( {cm} \right)\].
Nên c) đúng.
d) Dựa vào khoảng biến thiên chiều cao của hai lớp 12C và 12D thì chiều cao của lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.
Nên d) sai
Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị:triệu đồng)
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[R = 30\].
b) Số phần tử của mẫu là \[n = 60\].
c) Tứ phân vị thứ nhất là \[{Q_1} = 15\].
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[{\Delta _Q} = 3\].
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[R = 40 - 10 = 30\].
Nên a) đúng.
b) Đúng.
c) Tần số tích luỹ của các nhóm lần lượt là \[c{f_1} = 15,c{f_2} = 33,c{f_3} = 43,c{f_4} = 53,c{f_5} = 58,c{f_4} = 60\].
Ta có \[\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15\]suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần só tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 15.
Xét nhóm I là nhóm \[\left[ {10;15} \right)\]ta có \[S = 10,h = 5,{n_1} = 15\].
Ta có tứ phân vị thứ nhất là \[{Q_1} = s + \left( {\frac{{15 - c{f_0}}}{{{n_1}}}} \right).h = 10 + \left( {\frac{{15 - 0}}{{15}}} \right).5 = 15\].
Nên c) đúng.
d) Ta có \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.60}}{4} = 45\]mà \[43 < 45 < 53\]suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 45.
Xét nhóm 4 là nhóm \[\left[ {25;30} \right]\] có \[t = 25,l = 5,{n_4} = 10\]và nhóm 3 là nhóm \[\left[ {20;25} \right]\]có \[c{f_3} = 43\].
Ta có tứ phân vị thứ ba là \[{Q_3} = t + \left( {\frac{{45 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 25 + \left( {\frac{{45 - 43}}{{10}}} \right).5 = 26\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 26 - 15 = 9\].
Nên d) sai.
Thời gian tập đàn mỗi ngày (tính theo phút) của bạn Thu trong thời gian gần đây được thống kê như sau:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\[\left[ {20;25} \right)\] | \[6\] | \[6\] |
\[\left[ {25;30} \right)\] | \[5\] | \[11\] |
\[\left[ {30;35} \right)\] | \[7\] | \[18\] |
\[\left[ {35;40} \right)\] | \[8\] | \[26\] |
\[\left[ {40;45} \right)\] | \[2\] | \[28\] |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \[R = 25\]
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \[\left[ {20;25} \right)\].
c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_3} = 37\].
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\Delta _Q} = \frac{{87}}{8}\].
a) Đúng.
Ta có: \[R = 45 - 20 = 25\].
b) Sai.
Ta có: \[n = 28 \Rightarrow \frac{n}{4} = 7 \Rightarrow 6 < 7 < 11\].
Nhóm thứ hai là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[7\]
Nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \[\left[ {25;30} \right)\].
\[ \Rightarrow {Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{28}}{4} - 6}}{5}.(30 - 25) = 26\]
c) Sai.
Ta có: \[n = 28 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 21 \Rightarrow 18 < 21 < 26\].
Nhóm thứ tư là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[21\]
\[ \Rightarrow {Q_3} = 35 + \frac{{\frac{3}{4}.28 - 18}}{8}.(40 - 35) = 36,875\]
d) Đúng.
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 36,875 - 26 = \frac{{87}}{8}\]
Thời gian sử dụng internet (tính theo giờ) của bạn Khánh trong 20 ngày nghỉ hè đầu tiên được thống kê như sau:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\[\left[ {1\,;\,1,5} \right)\] | \[3\] | \[3\] |
\[\left[ {1,5\,;\,2} \right)\] | \[6\] | \[9\] |
\[\left[ {2\,;\,2,5} \right)\] | \[5\] | \[14\] |
\[\left[ {2,5\,;\,3} \right)\] | \[4\] | \[18\] |
\[\left[ {3\,;\,3,5} \right)\] | \[2\] | \[20\] |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \[R = 2\]
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \[\left[ {2\,;\,2,5} \right)\].
c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_1} = \frac{4}{3}\]
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{\Delta _Q} = 1\].
a) Sai.
Ta có: \[R = 3,5 - 1 = 2,5\].
b) Sai.
Ta có: \[n = 20 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 15 \Rightarrow 14 < 15 < 18\].
Nhóm thứ tư là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[15\].
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \[\left[ {2,5\,;\,3} \right)\].
\[ \Rightarrow {Q_3} = 2,5 + \frac{{\frac{3}{4}.20 - 14}}{4}.(3 - 2,5) = 2,625\]
c) Sai.
Ta có: \[n = 20 \Rightarrow \frac{n}{4} = 5 \Rightarrow 3 < 5 < 9\].
Nhóm thứ hai là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[5\]
\[ \Rightarrow {Q_1} = 1,5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}.(2 - 1,5) = \frac{5}{3}\]
d) Sai.
\[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,625 - \frac{5}{3} = \frac{{23}}{{24}}\]
PHẦN III. Tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho bảng thống kê thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày trong tháng 4/2024 của Tuấn và An ờ bảng như sau
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày của Tuấn và An.
*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày của Tuấn là: \(40 - 15 = 25\) phút.
*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày của An là: \(30 - 20 = 10\) phút.
Thống kê lại cân nặng (đơn vị: kg) của các bạn học sinh nam lớp 12A và lớp 12B ở bảng sau.
Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì cân nặng của học sinh nam lớp nào có độ phân tán lớn hơn?
*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của học sinh nam lớp 12A:
\(85 - 50 = 35\)
*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của học sinh nam lớp 12B:
\(80 - 50 = 30\)
Vậy cân nặng của học sinh nam lớp 12A có độ phân tán lớn hơn cân nặng của học sinh nam lớp 12B
Khảo sát thời gian đọc sách trong ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \(\left[ {0\,;30} \right)\) | \(\left[ {30\,;60} \right)\) | \(\left[ {60\,;90} \right)\) | \(\left[ {90\,;120} \right)\) | \(\left[ {120\,;150} \right)\) |
Số học sinh | 4 | 6 | 15 | 12 | 3 |
a) Tính các tứ phân vị \({Q_1}\), \({Q_2}\), \({Q_3}\) của mẫu số liệu.
b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
a) Ta có bảng mẫu số liệu:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {0\,;30} \right)\) | 4 | 4 |
\(\left[ {30\,;60} \right)\) | 6 | 10 |
\(\left[ {60\,;90} \right)\) | 15 | 25 |
\(\left[ {90\,;120} \right)\) | 12 | 37 |
\(\left[ {120\,;150} \right)\) | 3 | 40 |
| \(n = 40\) |
|
Ta có: \(\frac{n}{4} = 10\). Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_1} = s + \left( {\frac{{10 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).\,h = 30 + \left( {\frac{{10 - 4}}{6}} \right).\,30 = 60\).
Ta có: \(\frac{n}{2} = 20\). Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn \(20\).
Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_2} = r + \left( {\frac{{20 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).\,d = 60 + \left( {\frac{{20 - 10}}{{15}}} \right).\,30 = 80\).
Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = 30\). Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn \(30\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_3} = t + \left( {\frac{{30 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).\,l = 90 + \left( {\frac{{30 - 25}}{{12}}} \right).\,30 = 102,5\).
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 102,5 - 60 = 42,5\).
Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:
Tuổi thọ (ngày) | \(\left[ {0\,;20} \right)\) | \(\left[ {20\,;40} \right)\) | \(\left[ {40\,;60} \right)\) | \(\left[ {60\,;80} \right)\) | \(\left[ {80\,;100} \right)\) |
Số lượng | 5 | 12 | 23 | 31 | 29 |
a) Tính các tứ phân vị \({Q_1}\), \({Q_2}\), \({Q_3}\) của mẫu số liệu.
b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
a) Ta có bảng mẫu số liệu:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {0\,;20} \right)\) | 5 | 5 |
\(\left[ {20\,;40} \right)\) | 12 | 17 |
\(\left[ {40\,;60} \right)\) | 23 | 40 |
\(\left[ {60\,;80} \right)\) | 31 | 71 |
\(\left[ {80\,;100} \right)\) | 29 | 100 |
| \(n = 100\) |
|
Ta có: \(\frac{n}{4} = 25\). Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn \(25\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).\,h = 40 + \left( {\frac{{25 - 17}}{{23}}} \right).\,20 = \frac{{1080}}{{23}} \approx 47\).
Ta có: \(\frac{n}{2} = 50\). Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn \(50\).
Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_2} = r + \left( {\frac{{50 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).\,d = 60 + \left( {\frac{{50 - 40}}{{31}}} \right).\,20 = \frac{{2060}}{{31}} \approx 66,5\).
Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = 75\). Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn \(75\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu là:
\({Q_3} = t + \left( {\frac{{75 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).\,l = 80 + \left( {\frac{{75 - 71}}{{29}}} \right).\,20 = \frac{{2400}}{{29}} \approx 82,8\).
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{2400}}{{29}} - \frac{{1080}}{{23}} = \frac{{23880}}{{667}} \approx 35,8\).
Cho thời gian (đơn vị: phút) xem tivi mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có: \(R = 27,5 - 6,5 = 21\)
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có bảng tần số tích lũy
Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15\)
\( \Rightarrow {Q_1} = 12,5 + \left( {\frac{{15 - 5}}{{12}}} \right).3 = 15\).
Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\)
\( \Rightarrow {Q_2} = 15,5 + \left( {\frac{{30 - 17}}{{15}}} \right).3 = 18,1\).
Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{2} = \frac{{3.60}}{2} = 45\)
\( \Rightarrow {Q_3} = 18,5 + \left( {\frac{{45 - 32}}{{24}}} \right).3 = 20,125\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} = 20,125 - 15 = 5,125\).
Làm tròn đến hai chữ số thập phân \({\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} \approx 5,13\)
Một cửa hàng trang sức khảo sát khách hàng xem họ dự định mua trang sức với mức giá nào (đơn vị: triệu đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá | \([6;9)\) | \([9;12)\) | \([12;15)\) | \([15;18)\) | \([18;21)\) |
Số khác hàng | 20 | 78 | 45 | 23 | 12 |
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.
\(R = 21 - 6 = 15\)
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có bảng tần số tích lũy
Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{178}}{4} = 44,5\)
\( \Rightarrow {Q_1} = 9 + \left( {\frac{{44,5 - 20}}{{78}}} \right).3 = \frac{{157}}{{52}}\).
Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2} = \frac{{178}}{2} = 89\)
\( \Rightarrow {Q_2} = 9 + \left( {\frac{{89 - 20}}{{78}}} \right).3 = \frac{{303}}{{26}}\).
Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{2} = \frac{{3.178}}{4} = 133,5\)
\( \Rightarrow {Q_3} = 12 + \left( {\frac{{133,5 - 98}}{{45}}} \right).3 = \frac{{431}}{{30}}\).
Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} = \frac{{431}}{{30}} - \frac{{517}}{{52}} = \frac{{3451}}{{780}} \approx 4,42\).
