Đề kiểm tra Hàm số liên tục (có lời giải) - Đề 1

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \pi x}&{{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| \le 1}\\{x + 1\;}&{{\rm{khi}}\,\;\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.\]. Các mệnh đề sau đúng/sai?

a) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

c) Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

d) Hàm số gián đoạn tại \(x = \pm 1\).

Cho các hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{4,5}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \frac{2}{{x - 1}}\) . Khi đó:

a) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4\)

c) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

d) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm số liên tục trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

c) \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0; + \infty )\).

d) \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là hàm số liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).

Cho các hàm số sau: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\), \(g(x) = {x^2} - 3x + 1\) và \(h(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\)

a) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

c) Hàm số \(h(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{\rm{ n\~O u }}x \le 1}\\{mx + 1{\rm{ n\~O u }}x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).

Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f(x) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục.

Chứng tỏ rằng phương trình \(2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1 = 0\) luôn có nghiệm với mọi số thực \(a\).

Cho hàm số \(g(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) trừ điểm \(x = 0\). Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \frac{{g(x)}}{x}\) tại \(x = 1\).

Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}3&{{\rm{ n\~O u }}x \le 1}\\{ax + b}&{{\rm{ n\~O u }}1 < x < 2.{\rm{ }}}\\5&{{\rm{ n\~O u }}x \ge 2}\end{array}} \right.\]Xác định\({\rm{ }}a,b{\rm{ }}\)để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh rằng phương trình \[4{x^4} + 2{x^2} - x - 3 = 0\]có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].