Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

\[\left( P \right)\] có đỉnh là \(S\left( {1;\;1} \right)\); trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) nên C sai.

và \[\left( P \right)\] đi qua điểm \(M\left( { - 1;\;9} \right)\)\( \Rightarrow \) B, D đều đúng.

Xét phương trình \(2{x^2} - 4x + 3 = 0\) vô nghiệm trên \(\mathbb{R}\) nên \[\left( P \right)\]không có giao điểm với trục hoành\( \Rightarrow \) A đúng.

Chọn D

Trục đối xứng của \[\left( P \right)\] có dạng:

\(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - \frac{3}{{2a}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - 3 =  - 6a\)\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Vậy \[\left( P \right)\] có phương trình: \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2\).

Chọn B

Vì parabol \[y = a{x^2} + bx + 4\]có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\)và đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\)

Nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b + 4 = 3\\ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b =  - 1\\2a + 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 2\end{array} \right.\]

Do đó: \(a + 2b =  - 3 + 4 = 1\)

Chọn D

Đồ thị hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 1\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) có đỉnh là \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\).

Để \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = x - 2\) thì \( - {m^2} - m - 1 =  - 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} + m = 0\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\m =  - 1{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\]. Vậy \[m =  - 1\]\[ \in \left( { - 2;\;2} \right)\].

Chọn C

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa: \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là \[{x^2} - x - 2 = x + 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\].

Phương trình này có \[a - b + c = 0\] nên có hai nghiệm \[{x_1} =  - 1\],\[{x_2} = 3\].

Suy ra \[A\left( { - 1;0} \right)\] và \[B\left( {3;4} \right)\].

Diện tích tam giác \[OAB\] bằng \[\frac{1}{2}.1.3 = \frac{3}{2}\].

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m = 2x + 3\)\( \Leftrightarrow \) \({x^2} + mx - m - 3 = 0\). \(\left( 1 \right)\)

Để đường thẳng \(d\) cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung \(Oy\) thì phương trình \[y = {x^2} - 3x - 1\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \[y =  - 2{x^2} + 5x - 1\]\[y = 2{x^2} - 5x - 1\]\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 2\,450\).

Chọn B

Gọi \[A\]và \[B\]là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\)và cổng có chiều rộng \(d = 5\) mét nên:

\(AB = 5\,\) và \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)\(;\,\)\(B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vậy chiều cao của cổng là\(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\,\)mét.

Ta có \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1\): Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\) \( \Rightarrow \) \(c = 1\).

\(\left( P \right)\)có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 1 = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b =  - \frac{1}{4}\\a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y = {x^2} - x + 1\).

Ta có \(y =  - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} =  - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \) nên \( - \frac{b}{{2a}} =  - 1\) và có \(a < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Do parabol có bề lõm quay lên nên \(a > 0\), từ đó ta loại A

Trục đối xứng của parabol là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên ta loại B

Khi \(x = 0\) thì \(y =  - 1\) nên loại C

Vậy đồ thị trên là của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\).

Chọn B

Do bề lõm của \(\left( P \right)\) quay xuống và \[M\] có tung độ lớn nhất nên \[M\] là đỉnh của \(\left( P \right)\).

Ta có \[M\left( {1;3} \right)\] là đỉnh của parabol nên \(\frac{a}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4\).

Suy ra \(y =  - 2{x^2} + 4x + b\) qua \[M\left( {1;3} \right)\] nên \(b = 1\).

a) Hàm số \(y = (2m - 1){x^2} + x + 3\) là hàm số bậc hai khi \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\).

b) Hàm số \(y = \left( {4{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x\) là hàm số bậc hai khi \(4{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm \frac{1}{2}\).

c) Hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m} \right){x^3} + {x^2} - 1\) là hàm số bậc hai khi \({m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\) hoặc \(m = 2\).

d) Ta có \(y = m{x^2} + (3 - x)\left( {{m^2}x + 2} \right) = \left( { - {m^2} + m} \right){x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x + 6\). Để hàm số đã cho là hàm số bậc hai thì \( - {m^2} + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\) và \(m \ne 1\).

a) Vì \((P)\) đi qua điểm \(A(0;1)\) nên suy ra \(c = 1\).

Vì \((P)\) đi qua điểm \(B(1; - 1)\) và \(C( - 1;1)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a + b + 1 =  - 1\\a - b + 1 = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a + b =  - 2\\a - b = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} - x + 1\).

b) Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(D(3;0)\) và \(I(1;4)\) nên ta có: \(9a + 3b + c = 0{\rm{ (1) ;}}\,a + b + c = 4{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (1) cho (2) ta có: \(8a + 2b =  - 4\) (3)

Vì \((P)\) có đỉnh \(I(1;4)\) và từ (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\8a + 2b =  - 4\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2a + b = 0\\4a + b =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a =  - 1\) và \(b = 2\) vào \((2)\) suy ra \(c = 3\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} + 2x + 3\).

c) Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(M(2; - 7)\) và \(N( - 5;0)\) nên ta có: \(4a + 2b + c =  - 7(1){\rm{ ; }}25a - 5b + c = 0{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: \(21a - 7b = 7\) (3)

Vì \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và từ \((3)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 2\\21a - 7b = 7\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a - b = 0\\3a - b = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 4\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a =  - 1\) và \(b =  - 4\) vào (1) suy ra \(c = 5\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} - 4x + 5\).

d) Do \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và có đỉnh thuộc đường thẳng \(d:y = 2x - 1\) nên đỉnh của \((P)\) là điểm \(I( - 2; - 5)\).

Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(E(1;4)\) và \(I( - 2; - 5)\) nên ta có: \(a + b + c = 4{\rm{ (1) ; }}4a - 2b + c =  - 5{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: \(3a - 3b =  - 9\) (3)

Vì \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và từ \((3)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 2\\3a - 3b =  - 9\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a - b = 0\\a - b =  - 3\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 1\\b = 4.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a = 1\) và \(b = 4\) vào (1) suy ra \(c =  - 1\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y = {x^2} + 4x - 1\).

Parabol đi qua điểm \(I(0;4)\) nên suy ra \(c = 4\).

Vì parabol đi qua điểm \(A( - 2;0)\) và có đỉnh \(I(0;4)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\4a - 2b + 4 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - {x^2} + 4\).

Parabol đi qua điểm \(A(0;1)\) nên suy ra \(c = 1\).

Vì parabol có đỉnh \(I( - 1;0)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\a - b + 1 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b =  - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 1\\b = 2.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} + 2x + 1\).

+ Theo yêu cầu bài toán ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{0^2} \cdot a + 0 \cdot b + c = 1\\{1^2} \cdot a + 1 \cdot b + c = 2\\{3^2} \cdot a + 3 \cdot b + c =  - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}c = 1\\a + b + c = 2\\9a + 3b + c =  - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - \frac{5}{6}\\b = \frac{{11}}{6}\\c = 1\end{array}\end{array}{\rm{ }}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \((P):y =  - \frac{5}{6}{x^2} + \frac{{11}}{6}x + 1.\)

+ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó \(A( - 2,5;1,5),B(2,5;1,5),C(0;2)\).

+ Do Parabol đi qua các điểm \(A( - 2,5;1,5)\), \(B(2,5;1,5),C(0;2)\) nên ta có hệ phương

trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{( - 2,5)}^2} + b( - 2,5) + c = 1,5}\\{a{{(2,5)}^2} + b(2,5) + c = 1,5}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{{25}}}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(a =  - \frac{2}{{25}},b = 0,c = 2\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) trên đoạn [2;5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn \((2;5)\) của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) bằng \(2m + 3\)

Theo giả thiết \(2m + 2 =  - 3 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{2}\).

Ta có \({x^2} - 5x + 7 + 2m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 =  - 2m\,(*)\)

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol \((P):y = {x^2} - 5x + 7\) và đường thẳng \(y =  - 2m\) (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biên thiên của hàm số \(y = {x^2} - 5x + 7\) trên đoạn \([1;5]\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(x \in [1;5]\) thì \(y \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\).

Do đó để phương trình \(\left( {^*} \right)\) có nghiệm \(x \in [1;5] \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le  - 2m \le 7 \Leftrightarrow  - \frac{3}{8} \ge m \ge  - \frac{7}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và đường thẳng \((d)\) là

\(3{x^2} - 2x - 1 =  - \frac{1}{2}x + 3m + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 2m - 2 = 0\)(1)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn

\[\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\Delta ^\prime } = 16m + 17 > 0\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} =  - m - 1\\x_1^2 + x_2^2 = 3({x_1} + {x_2})\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{{17}}{{16}}\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} =  - m - 1\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{9}{{16}}\\{(\frac{1}{2})^2} - \frac{3}{2} - 2( - m - 1) = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{9}{{16}}\\m =  - \frac{3}{8}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{8}} \right.} \right.{\rm{ }}\end{array}\]

Vậy \[m =  - \frac{3}{8}{\rm{. }}\]

Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. Vì cổng hình parabol cớ phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng \(d = 5\) mét nên \(AB = 5\) và \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right);B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vậy chiều cao của cổng là: \(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) mét.