Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

\(y = {x^2} - 4x + 1\)\( = {\left( {x - 2} \right)^2} - 3 \ge  - 3\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\).

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là \( - 3\) tại \(x = 2\).

Chọn D

Trục đối xứng \[x = 2\]. Ta có \[a = 1 > 0\] nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].

Chọn D

+ Có \(a = 3\); \(b =  - 2\); \(c = 4\).

+ Trục đối xứng của parabol là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)\( = \frac{1}{3}\).

Chọn A

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) trên đoạn \(\left[ {2\,;\,5} \right]\):

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {2\,;\,5} \right]\) của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) bằng \(2m + 3\).

Theo giả thiết \(2m + 3 =  - 3\)\( \Leftrightarrow m =  - 3\).

Chọn C

Ta có đồ thị hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 2\) là parabol có đỉnh \(I\left( {1; - {m^2} - m - 2} \right)\).

\(I \in d:\,y = x - 3\) \( \Leftrightarrow  - {m^2} - m - 2 = 1 - 3\) \( \Leftrightarrow {m^2} + m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left( { - 3;3} \right)\).

Chọn A

Vì \[M \in \left( P \right)\], \[N \in \left( P \right)\], \[P \in \left( P \right)\] nên ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a + b + c =  - 1\\a - b + c = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c =  - 1\end{array} \right.\].

Vậy \[\left( P \right):y =  - {x^2} - x - 1\].

Chọn A

Nhận xét: Hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\); đạt cực tiểu bằng \(4\) tại \(x = 2\) nên đồ thị hàm số đi qua \[I\left( {2;4} \right)\] và nhận \(x = 2\) làm trục đối xứng, hàm số cũng đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\\c = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - 2\\c = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow abc =  - 6\).

Chọn D

Parabol \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Do \(I \in \left( P \right) \Rightarrow c =  - 1\).

\(I\left( {0;\, - 1} \right)\) là đỉnh của \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 0\)\( \Rightarrow b = 0\).

Lại có \(A\left( {2;\,3} \right) \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 3 = 4a + 2b + c\)\( \Rightarrow a = 1\).

Nên \(\left( P \right):\,y = {x^2} - 1\).

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 7x + 12 =  - x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 \Rightarrow y = 2}\\{x = 4 \Rightarrow y = 0}\end{array}} \right.\)

Chọn C

Ta có \[{x^2}--8x + 5 = 0\] \( \Leftrightarrow \) \[{x^2} = 8x - 5\].

Do đó nghiệm của phương trình \[{x^2}--8x + 5 = 0\] có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] và \[y = 8x - 5\].

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là

\({x^2} - 3x + 2 = x - 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy hai giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \[\left( {1;0} \right)\]; \[\left( {3;2} \right)\].

Chọn A

\(\left( {m - 2} \right)x + my =  - 6\)\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)m - 2x + 6 = 0{\rm{        }}\left(  *  \right)\)

Phương trình \(\left(  *  \right)\)luôn đúng với mọi \(m\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\ - 2x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \({d_m}\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( {3; - 3} \right)\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\), đỉnh \(I( - 1; - 4)\), trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

Giao điểm với trục \(Oy\) là \(A(0; - 3)\), giao điểm với trục \(Ox\) là \(B(1;0),C( - 3;0)\).

Ta có đồ thị như Hình.

Ta có \(a =  - 1 < 0\) nên parabol quay bề lõm xuống dưới, có toạ độ đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{4}} \right)\)

và trục đối xứng là \(x = \frac{5}{2}\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C(0; - 4)\). Điểm đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D\left( {5; - 4} \right)\). Giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(A(1;0)\) và \(B(4;0)\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\), đỉnh \(I(2; - 4)\), trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\).

Giao điểm với trục \(Oy\) là \(O(0;0)\), giao điểm với trục \(Ox\) là \(O(0;0),B(4;0)\). Ta có đồ thị như Hình.

a) \(y =  - 2{x^2} + 1\) là hàm số bậc hai với \(a =  - 2,b = 0,c = 1\).

b) \(y =  - x\left( {3{x^2} + 2x} \right)\) không là hàm số bậc hai.

c) \(y = ( - 6x + 1)(8x - 2)\) là hàm số bậc hai vì \(y = ( - 6x + 1)(8x - 2) =  - 48{x^2} + 20x - 2\) với \(a =  - 48,b = 20,c =  - 2\).

d) \(y = 0{x^2} + 6x + 5\) không là hàm số bậc hai vì \(a = 0\).

Xét hàm số \(y = {x^2} + 3x - 1\) có \(a = 1 > 0\) và có đỉnh \(I\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 13}}{4}} \right)\). Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 13}}{4}\) tại \(x = \frac{{ - 3}}{2}\).

\((P)\) có trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{4}{{2a}} = 2 \Rightarrow a = 1;(P)\) lại qua \(M(3;0)\) \( \Rightarrow 0 = a{.3^2} - 4.3 + c\mathop  \Rightarrow \limits^{a = 1} c = 3\).

Vậy hàm số bậc hai được xác định: \(y = {x^2} - 4x + 3\).

\((P)\) qua hai điểm \(A(3;6)\) và \(I(1;4)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9a + 3b + c = 6}\\{a + b + c = 4}\end{array}} \right.\) (1).

Mặt khác, hoành độ đỉnh: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\) (2).

Giải hệ gồm (1), (2) suy ra: \(a = \frac{1}{2},b =  - 1,c = \frac{9}{2}\). Vậy \((P):y = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{9}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right):2{x^2} - 2x + 2 = {x^2} + 2x - 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\). Với \(x = 1\) thì \(y = 2\); với \(x = 3\) thì \(y = 14\).

Vậy hai parabol đã cho cắt nhau tại hai điểm: \((1;2),(3;14)\).

Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi \((P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).

Ta có \((P)\) qua các điểm \(I(0;4),E(2;3),F( - 2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \((P):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \((P)\) với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\).

Do vậy \(A( - 4;0),B(4;0) \Rightarrow AB = 8\).

\( + \) Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{{m^2} - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = \frac{{{m^2} - 8}}{2}\)

Vì \( - 1 < 0\): hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{{m^2} - 8}}{2}; + \infty } \right)\)

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 3)\) thì:

\(( - \infty ; - 3) \subset \left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{{m^2} - 8}}{2} \ge  - 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow (m - \sqrt 2 )(m + \sqrt 2 ) \ge 0\)

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2  \le 0}\\{m + \sqrt 2  \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \sqrt 2 }\\{m \le  - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \le  - \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2  \ge 0}\\{m + \sqrt 2  \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \sqrt 2 }\\{m \ge  - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \ge \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Vậy, \(m \in ( - \infty ; - \sqrt 2 ] \cup [\sqrt 2 ; + \infty )\) là các giá trị cần tìm.