Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Trục đối xứng của parabol \(y = - {x^2} + 5x + 3\) là đường thẳng có phương trình
\(x = \frac{5}{4}\).
\(x = - \frac{5}{2}\).
\(x = - \frac{5}{4}\).
\(x = \frac{5}{2}\).
Trục đối xứng của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\).
Trục đối xứng của parabol \(y = - {x^2} + 5x + 3\) là đường thẳng \(x = \frac{5}{2}\).
Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\). Chọn câu đúng.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Ta có \(a = 1 > 0\), \(b = - 2\), \(c = 3\) nên hàm số có đỉnh là \(I\left( {1;2} \right)\). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\] trên các khoảng \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\] và \[\left( {2;\, + \infty } \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\], đồng biến trên \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\] và \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\], nghịch biến trên \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\] và \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].
\[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\]
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Tọa độ đỉnh \[I\left( {2;\,1} \right)\].
Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ;\,2} \right)\], đồng biến trên \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) là hàm số bậc hai.
\(f\left( x \right) = 2x - 4\) là hàm số bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x - 1\) là hàm số bậc hai.
\(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\) là hàm số bậc hai.
* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai.
Biết rằng \(\left( P \right):y = a{x^2} - 4x + c\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\). Tính tổng \(S = a + c\)
\(S = 5\).
\(S = - 5\).
\(S = 4\).
\(S = 1\).
Vì \(\left( P \right)\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 4}}{{2a}} = - 3\\4a + 8 + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 6a\\4a + c = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\c = - \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow S = a + c = - 5\)
Cho parabol \(\left( P \right)\):\(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\). Khi đó \(4a + 2b\) bằng
\( - 1\).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Do parabol \(\left( P \right)\):\(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2a = - b\)\( \Leftrightarrow 2a + b = 0\)\( \Leftrightarrow 4a + 2b = 0\).
Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
\(y = - {x^2} + 4x - 3\).
\(y = - {x^2} - 4x - 3\).
\(y = - 2{x^2} - x - 3\).
\(y = {x^2} - 4x - 3\).
Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\). Loại phương án D.
Trục đối xứng: \(x = 2\) do đó chọn A.
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y = - x - 2\) là
\(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
\(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).
\(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).
\(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 4x = - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] để đường thẳng \[y = mx - 3\] không có điểm chung với Parabol \[y = {x^2} + 1\]?
\(6\).
\[9\].
\(7\).
\(8\).
Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} + 1 = mx - 3\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - mx + 4 = 0\]
Đường thẳng \[y = mx - 3\] không có điểm chung với Parabol \[y = {x^2} + 1\] \[ \Leftrightarrow \]Phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta < 0\] \[ \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0\] \[ \Leftrightarrow - 4 < m < 4\].
Vì \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3} \right\}\].
Cho parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + 2x + b\] biết parabol đó đi qua hai điểm \[M\left( {1;7} \right)\] và \[N\left( { - 2;10} \right)\]. Tính tổng \(S = a + b\).
\[S = 4\].
\[S = 5\].
\[S = 2\].
\[S = 1\].
Vì \[\left( P \right)\] đi qua hai điểm \[M\left( {1;7} \right)\] và \[N\left( { - 2;10} \right)\] nên tọa độ hai điểm này thỏa mãn phương trình parabol \[\left( P \right)\]. Do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 7\\y\left( { - 2} \right) = 10\end{array} \right.\) \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 + b = 7\\4a - 4 + b = 10\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\4a + b = 14\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(S = a + b = 5\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + 3 - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \(0 \le {x_1} < {x_2} < 3\).
\(0\).
\(1\).
\(2\)
\(3\).
\(pt \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = m\).
Ta có đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) như hình vẽ.
\(ycbt \Leftrightarrow - 1 < m < 0\).
Vậy không có giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oth,\] trong đó \[t\] là thời gian kể từ khi quả bóng được đá lên; \[h\] là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \[1,2m\]. Sau đó \[1\] giây, nó đạt độ cao \[8,5m\]và \[2\] giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \[6m\]. Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên ?
\[2,56\]giây.
\[2,57\]giây.
\[2,58\]giây.
\[2,59\]giây.
Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = a{t^2} + bt + c\).
Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm \(\left( {0;1;2} \right)\), \(\left( {1;8;5} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\).
Từ đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\).
Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).
Giải phương trình
\(h = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\) ta tìm được một nghiệm dương là \(t \approx 2,58\).
Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau
Hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x - \frac{1}{2}\) là hàm số bậc hai
Hàm số \(y = 8{x^4} - 5{x^2} + 0,5\)là hàm số bậc hai
Hàm số \(y = 9{x^3} + 3{x^2} - x - \frac{1}{2}\)là hàm số bậc hai
Hàm số \(y = \left( {{m^2} + 6m + 10} \right){x^2} + (m + 1)x - 3{m^2} + 1\) (\(m\) là tham số\()\)là hàm số bậc hai
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Là hàm số bậc hai với \(a = - 2,b = 3,c = - \frac{1}{2}\).
b) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa \({x^4}\).
c) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa \({x^3}\).
d) Là hàm số bậc hai với \(a = {m^2} + 6m + 10 = {(m + 3)^2} + 1 > 0,\quad b = m + 1\), \(c = - 3{m^2} + 1\).
Xét đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). Khi đó:
có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\)
trục đối xứng là \(x = 1\).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\).
Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;6} \right)\) và \(P( - 3;6)\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\) và
trục đối xứng là \(x = - 1\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\). Điểm
đối xứng với \(M\) qua trục đối xứng là \(N\left( { - 2;1} \right)\). Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P( - 3;7)\).
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có dạng như hình sau:
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - 2\).
Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\)
Hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 2x + 6\).
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\). Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).
b) Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).
Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \(I(2; - 2)\) nên ta có:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 = - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).
Cho hàm số \(y = {x^2} - 6x + 5\). Khi đó:
Đồ thị của hàm số có toạ độ đỉnh \(I(3;4)\)
Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là \(x = 3\).
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(A(2;0)\) và \(B(4;0)\).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C(0;5)\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có \(a = 1 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có toạ độ đỉnh \(I(3; - 4)\) và
trục đối xứng là \(x = 3\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C(0;5)\). Điểm đối
xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(6;5)\). Giao điểm của đồ thị với trục hoành là
\(A(1;0)\) và \(B(5;0)\).
Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), biết rằng parabol đi qua điểm \(M(0;2)\) và có đỉnh là \(I(2; - 1)\)
Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(M(0;2)\) suy ra \(a{.0^2} + b.0 + c = 2 \Rightarrow c = 2.\) Mặt khác, đỉnh \(I\) của parabol có toạ độ là \((2; - 1)\) nên:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 2 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 4a}\\{4a + 2b = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{4}}\\{b = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy parabol cần tìm là \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2\).
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 2{x^2} + x + 5\).
Xét hàm số \(y = - 2{x^2} + x + 5\) có \(a = - 2 < 0\) và có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4};\frac{{41}}{8}} \right)\). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{41}}{8}\) tại \(x = \frac{1}{4}\).
Một viên bi được ném xiên từ vị trí \(A\) cách mặt đất \(2\;m\) theo quỹ đạo dạng parabol như hình vẽ sau đây. Tìm khoảng cách từ vị trí \(E\) đến vị trí \(F\), biết rằng vị trí \(E\) là nơi viên bi rơi xuống chạm mặt đất.
Giả sử gốc toạ độ tại điểm \(F\). Hàm số của đồ thị biểu diễn đường đi của viên bi có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Theo hình vẽ ta có: đồ thị có đỉnh là \(C\left( {1;7} \right)\) và đi qua điểm \(A(0;2)\) nên ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = 7}\\{a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 2}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 0}\\{a + b + 2 = 7}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 10}\\{c = 2.}\end{array}} \right.} \right.\)
Do đó, đồ thị hàm số biểu diễn đường đi của viên bi là \(y = - 5{x^2} + 10x + 2\).
Điểm \(E\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm \(E\) là nghiệm
của phương trình \( - 5{x^2} + 10x + 2 = 0\) phương trình này và kết hợp với điều kiện \({x_E} > 0\) ta nhận \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}\).
Vậy khoảng cách từ vị trí \(E\) đến vị trí \(F\) là \(\frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}\) mét.
Một người nông dân thả 1000 con cá giống vào hồ nuôi vừa mới đào. Biết rằng sau mỗi năm thì số lượng cá trong hồ tăng thêm \(x\) lần số lượng cá ban đầu và \(x\) không đổi.
Bằng cách thay đổi kĩ thuật nuôi và thức ăn cho cá. Hỏi sau hai năm để số cá trong hồ là 36000 con thì tốc độ tăng số lượng cá trong hồ là bao nhiêu? Biết tốc độ tăng mỗi năm là không đổi.
Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000(1 + x)\) (con).
Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}\) (con).
Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36000 thì ta có: \(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow {(1 + x)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x = - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.
Xác định hàm số bậc hai có đồ thị là parabol \((P)\) biết:
\((P):y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A(1;0)\) và có trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\).
\((P)\) qua \(A(1;0)\) nên \(0 = a{.1^2} + b.1 + 2 \Leftrightarrow a + b = - 2\) (1).
(P) có trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3a + b = 0\) (2). Từ (1) và (2) suy ra: \(a = 1,b = - 3\).
Vậy hàm số bậc hai được xác định: \(y = {x^2} - 3x + 2\).
Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng của một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là \(162\;m\). Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao \(43\;m\) so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất và vị trí chạm đất này cách chân cổng (điểm \(A\)) một khoảng \(10\;m\). Hãy tính gần đúng độ cao của cổng Arch (tính chính xác đến hàng phần chục).
Dựng hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng cổng Arch là: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Vì parabol qua ba điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {162;0} \right),M\left( {10;43} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\)
Do vậy ta xác định được hàm số là \(y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).
Đỉnh \(I\) của parabol có tọa độ: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 81,{y_I} \approx 185,6\).
Vậy, chiều cao của cổng gần bằng \(185,6\;m\).
