Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

 Vì \[\left( P \right)\] đi qua hai điểm \[M\left( {1;7} \right)\] và \[N\left( { - 2;10} \right)\] nên tọa độ hai điểm này thỏa mãn phương trình parabol \[\left( P \right)\]. Do đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 7\\y\left( { - 2} \right) = 10\end{array} \right.\) \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 + b = 7\\4a - 4 + b = 10\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\4a + b = 14\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).

 Vậy \(S = a + b = 5\).

\(pt \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = m\).

Ta có đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) như hình vẽ.

\(ycbt \Leftrightarrow  - 1 < m < 0\).

Vậy không có giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = a{t^2} + bt + c\).

Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm \(\left( {0;1;2} \right)\), \(\left( {1;8;5} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\).

Từ đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là \(h =  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).

Giải phương trình

\(h = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\) ta tìm được một nghiệm dương là \(t \approx 2,58\).

a) Là hàm số bậc hai với \(a =  - 2,b = 3,c =  - \frac{1}{2}\).

b) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa \({x^4}\).

c) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa \({x^3}\).

d) Là hàm số bậc hai với \(a = {m^2} + 6m + 10 = {(m + 3)^2} + 1 > 0,\quad b = m + 1\), \(c =  - 3{m^2} + 1\).

Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\) và

trục đối xứng là \(x =  - 1\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\). Điểm

đối xứng với \(M\) qua trục đối xứng là \(N\left( { - 2;1} \right)\). Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P( - 3;7)\).

a) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\). Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).

b) Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).

Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \(I(2; - 2)\) nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 =  - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b =  - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b =  - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).

Ta có \(a = 1 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có toạ độ đỉnh \(I(3; - 4)\) và

trục đối xứng là \(x = 3\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C(0;5)\). Điểm đối

xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(6;5)\). Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

\(A(1;0)\) và \(B(5;0)\).

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(M(0;2)\) suy ra \(a{.0^2} + b.0 + c = 2 \Rightarrow c = 2.\) Mặt khác, đỉnh \(I\) của parabol có toạ độ là \((2; - 1)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 2 =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 4a}\\{4a + 2b =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{4}}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy parabol cần tìm là \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2\).

Xét hàm số \(y =  - 2{x^2} + x + 5\) có \(a =  - 2 < 0\) và có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4};\frac{{41}}{8}} \right)\). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{41}}{8}\) tại \(x = \frac{1}{4}\).

Giả sử gốc toạ độ tại điểm \(F\). Hàm số của đồ thị biểu diễn đường đi của viên bi có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Theo hình vẽ ta có: đồ thị có đỉnh là \(C\left( {1;7} \right)\) và đi qua điểm \(A(0;2)\) nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = 7}\\{a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 2}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 0}\\{a + b + 2 = 7}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 5}\\{b = 10}\\{c = 2.}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó, đồ thị hàm số biểu diễn đường đi của viên bi là \(y =  - 5{x^2} + 10x + 2\).

Điểm \(E\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm \(E\) là nghiệm

của phương trình \( - 5{x^2} + 10x + 2 = 0\) phương trình này và kết hợp với điều kiện \({x_E} > 0\) ta nhận \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}\).

Vậy khoảng cách từ vị trí \(E\) đến vị trí \(F\) là \(\frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}\) mét.

Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000(1 + x)\) (con).

Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}\) (con).

Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36000 thì ta có: \(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow {(1 + x)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x =  - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.

\((P)\) qua \(A(1;0)\) nên \(0 = a{.1^2} + b.1 + 2 \Leftrightarrow a + b =  - 2\) (1).

(P) có trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3a + b = 0\) (2). Từ (1) và (2) suy ra: \(a = 1,b =  - 3\).

Vậy hàm số bậc hai được xác định: \(y = {x^2} - 3x + 2\).

Dựng hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng cổng Arch là: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì parabol qua ba điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {162;0} \right),M\left( {10;43} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\)

Do vậy ta xác định được hàm số là \(y =  - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Đỉnh \(I\) của parabol có tọa độ: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 81,{y_I} \approx 185,6\).