Đề kiểm tra Bài tập cuối chương VI lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn D

Xét tam thức bậc hai \( - {x^2} - 3x - 4 < 0\) có \[\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right)\left( { - 4} \right) =  - 7\] nên \( - {x^2} - 3x - 4 < 0,\)\[\forall x \in \mathbb{R}.\] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} - 3x - 4 < 0\) là \[S = \mathbb{R}.\]

Theo định nghĩa, hàm số \(y =  - 2{x^2} + 1\) là hàm số bậc hai

Chọn C

Xét hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 4\\y = {x^2} - x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 4\\{x^2} - x - 7 = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 4\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \[\left( d \right)\] và \[\left( P \right)\] có hai điểm chung là: \(M\left( {3; - 1} \right),{\mkern 1mu} N\left( { - 1; - 5} \right)\)

Chọn B

Ta có \[f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\]là một tam thức bậc hai. Để \[f\left( x \right)\] đổi dấu 2 lần thì \[f\left( x \right)\] có \[\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0\]

\[{m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right..\]

\[{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 3 > 0\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\] khi và chỉ khi

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} + 3} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 12 < 0\\ \Leftrightarrow 4m < 11\\ \Leftrightarrow m < \frac{{11}}{4}\end{array}\]

\[\left( {x - {x^2}} \right)\sqrt {{x^2} - 5x + 6}  \ge 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 > 0\\x - {x^2} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,;\,x = 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty \,;\,2} \right) \cup \left( {3\,;\, + \infty } \right)\\x \in \left[ {0\,;\,1} \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x \in \left[ {0\,;\,1} \right] \cup \left\{ {2\,;\,3} \right\}\]

Vậy các nghiệm nguyên của bất phương trình cho là: 0; 1; 2; 3.

Đặt \[f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2\]

Hệ số \[a =  - 1 < 0;\,\] \[f\left( x \right)\] có hai nghiệm là \[x = 1;\,x = 2\] nên \[f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\].

Vậy tập nghiệm của bpt là \(\left[ {1;\,2} \right].\)

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 5}  = 2{x^2} + 6x - 11 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x - 5}  = 2\left( {{x^2} + 3x - 5} \right) - 1\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x - 5}  \ge 0\) ta được phương trình \(t = 2{t^2} - 1 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = 0\).

Bất phương trình \[{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x - 2m + 1 < 0\] vô nghiệm

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x - 2m + 1 \ge 0\] với mọi \[m\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( { - 2m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 + 2m - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 8 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 4 - 2\sqrt 2  \le m \le  - 4 + 2\sqrt 2 \end{array}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\].

Chọn D

Từ dáng điệu của parabol suy ra:

\(a < 0\).

Parabol cắt trục tung tại điểm \((0;c)\) tại điểm nằm trên trục hoành nên \(c > 0.\)

Parabol có hoành độ đỉnh \(x =  - \frac{b}{{2a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} > 0 \Leftrightarrow b < 0\) (vì \(a < 0\)).

\(pt \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - m + 2\end{array} \right.\).

\(ycbt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2 \ne  - 1\\ - 5 <  - m + 2 < 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\ - 3 < m < 7\end{array} \right.\).

Suy ra \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;4;5;6} \right\}\).

Vậy có \(8\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:

\[x - \sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = 1\] \[ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\]

Vậy số nghiệm của phương trình là \[1\].

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;\, - 1} \right)\) và \(\left( {1;\,3} \right)\) do đồ thị đi lên (từ trái sang phải)

\[y = {x^2} - 2x - 3\]có đỉnh \[I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]\[ \Rightarrow I\left( {1; - 4} \right)\].

Hàm số có \[a = 1 > 0\]nên giảm trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và tăng trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

Parabol cắt Ox: \[y = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\]. Vậy \[\left( P \right)\] cắt Ox tại các điểm \[A\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {3;0} \right)\].

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} =  - 1\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2\end{array} \right.\).

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) > 0\, \Leftrightarrow 2 < x < 5.\)

\(\begin{array}{l}{\rm{V\^o \`u i }}{x_1} \ne {x_2}{\rm{ ta co\`u : }}A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{m\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{ - m}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}.\\\forall {x_1},{x_2} \in (1; + \infty ),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} > 1,{x_2} > 1 \Rightarrow {x_1} - 1 > 0,{x_2} - 1 > 0 \Rightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0.\end{array}\)

Khi đó để hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\) khi và chỉ khi \(A > 0 \Leftrightarrow m < 0\).

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung)

Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), góc phát cầu α =300, vận tốc ban đầu \({v_0} = 8\;m/s\), phương trình quỹ đạo của cầu: \(y =  - \frac{{4,9}}{{27}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,8\)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình \( - \frac{{4,9}}{{27}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,8 = 0\) ta được \({x_1} \approx 4,22,{x_2} \approx  - 1,04\).

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 4,22 m.

Vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ   đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 3x + 3} (t \ge 0)\), suy ra \({t^2} = {x^2} - 3x + 3 \Rightarrow {t^2} - 3 = {x^2} - 3x\).

Phương trình trở thành:

\(t + \sqrt {\left( {{t^2} - 3} \right) + 6}  = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 3}  = 3 - t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} + 3 = 9 - 6t + {t^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 3\\t = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow t = 1.} \right.} \right.\)

Với \(t = 1\) thì \(\sqrt {{x^2} - 3x + 3}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 3 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 2\). Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 1;2\} \).

\(m = 1\) không thỏa mãn ycbt; \(m =  - 1\) thỏa mãn ycbt

Với \(m \ne  \pm 1\) ta có bpt \( \Leftrightarrow [(m + 1)x + m - 3][(m - 1)x - m - 3] \ge 0\)

Đáp số \(m \in [ - 3; - 1]\)

Điểm \(M(1;0)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi \(f(1) = 0\)

\( \Leftrightarrow 0 = 2 + (m - 1) + \left( {{m^2} - 1} \right) + 2\left( {{m^2} - 3m + 2} \right) - 3 \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{5 \pm \sqrt {13} }}{6}.\)

Xét một người mua \(x\) gói kẹo ( \(x\) nguyên dương). Khi đó: Gói thứ nhất người đó trả 60000 đồng.

Số gói kẹo còn lại là \(x - 1\) và người đó chỉ phải trả

\(60000 - 10\% 60000 = 54000\) đồng (mỗi gói).

Vậy số tiền phải trả khi mua kẹo được tính theo công thức \(y = 60000 + (x - 1) \cdot 54000 = 54000x + 6000\).

Số tiền bạn An dùng mua kẹo phải không quá 500000 đồng, suy ra: \(54000x + 6000 \le 500000 \Rightarrow x \le \frac{{247}}{{27}} \approx 9,148\).