Đề kiểm tra Bài tập cuối chương VI lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Phương trình: \(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Để \(f\left( x \right)\) không dương thì \({x^2} - 6x + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\)

Lập bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

ta thấy để \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;4} \right]\).

Ta có \[\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} < 2x\]\( \Rightarrow \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} - 2x < 0 \Rightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 5x - 2}}{{x - 1}} < 0\).

Xét dấu vế trái

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bpt là \(S = \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

a) ĐKXĐ: \(3x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 3\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [ - 3; + \infty )\).

b) ĐKXĐ: \(5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\).

c)ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - x \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [2;4]\).

d) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 \ge 0}\\{x - 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [ - 1;1) \cup (1; + \infty )\).

Theo định lý về dấu tam thức bậc hai: Nếu ∆ = 0 thì \[f\left( x \right)\] luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).

b) Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + x - 6}  = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{2{x^2} + x - 6 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 2}\\{{x^2} - 3x - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình \({x^2} - 3x - 10 = 0\) có hai nghiệm \(x =  - 2,x = 5\). Ta thấy \(x =  - 2\) và \(x = 5\) đều thoả mãn \(x \ge  - 2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{  - 2;5\} \).

a) \(S = \left\{ 2 \right\}\).

b) \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

c) \(S = \left\{ {2; - 13} \right\}\).

d) \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số \(y = (2m + 3)x + m + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).

Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).

Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).

Xét hàm số \(f(t) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. Vì cổng hình parabol cớ phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng \(d = 5\) mét nên \(AB = 5\) và \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right);B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vậy chiều cao của cổng là: \(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) mét.

Xét \({x^2} - 10x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 10\).

Bảng xét dấu:

Ta có: \({x^2} - 10x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 10\). Do vậy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m \ge 0}\\{{x^2} - 10x \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - \frac{m}{2}}\\{0 \le x \le 10}\end{array}} \right.} \right.\).

Hệ có 8 nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(2 <  - \frac{m}{2} \le 3 \Leftrightarrow 4 <  - m \le 6 \Leftrightarrow  - 6 \le m <  - 4\). Vậy \(m \in [ - 6; - 4)\) thỏa mãn đề bài.

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là

\(T(n) = n(360 - 10n) =  - 10{n^2} + 360n\).

Đây là hàm số bậc hai (theo \(n\) ) có \(a =  - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 18\), \(T(18) = 3240\)

Vậy, người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).