Đề kiểm tra Bài tập cuối chương VI lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Hàm số \(y = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x} \) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2\).

Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).

Ta có

Do \[M \in \left( P \right)\] nên \(c = 4.\)

Trục đối xứng: \[ - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow b =  - 4.\]

Vậy \[\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4\] và \[S =  - 4 + 4 = 0.\]

Parabol có bề lõm quay lên trên nên \(a > 0\).

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;c} \right)\) nằm phía trên trục hoành nên \(c > 0\).

Đỉnh của parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ \( - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0\) nên \(b > 0\).

Ta có \[f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\].

Từ bảng xét dấu ta có \(f(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 2,\,x = 3\)và \(f(x) > 0\,khi\,x \in \left( {2;3} \right)\)

Do đó \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\).

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

* Xét \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(f\left( x \right) = 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\), loại \(m = 2\).

* Xét \(m \ne 2\)

\(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \ge \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}\)

Vậy \(m \ge \frac{7}{3}\)

\(ycbt \Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow  - {m^2} < 0 \Leftrightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Suy ra \(m \in \left\{ { - 10;...; - 1} \right\} \cup \left\{ {1;...;10} \right\}\).

Vậy có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.\(\)

Phương trình \(\sqrt {6 - 5x}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\6 - 5x = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng \(1 + \left( { - 2} \right) =  - 1\).

Hàm số \(a < 0\), có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

Phương trình: \(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Để \(f\left( x \right)\) không dương thì \({x^2} - 6x + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\)

Lập bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

ta thấy để \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;4} \right]\).

Ta có \[\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} < 2x\]\( \Rightarrow \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} - 2x < 0 \Rightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 5x - 2}}{{x - 1}} < 0\).

Xét dấu vế trái

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bpt là \(S = \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

a) ĐKXĐ: \(3x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 3\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [ - 3; + \infty )\).

b) ĐKXĐ: \(5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\).

c)ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - x \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [2;4]\).

d) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 \ge 0}\\{x - 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy TXĐ hàm số là \(D = [ - 1;1) \cup (1; + \infty )\).

Theo định lý về dấu tam thức bậc hai: Nếu ∆ = 0 thì \[f\left( x \right)\] luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).

b) Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + x - 6}  = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{2{x^2} + x - 6 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 2}\\{{x^2} - 3x - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình \({x^2} - 3x - 10 = 0\) có hai nghiệm \(x =  - 2,x = 5\). Ta thấy \(x =  - 2\) và \(x = 5\) đều thoả mãn \(x \ge  - 2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{  - 2;5\} \).

a) \(S = \left\{ 2 \right\}\).

b) \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

c) \(S = \left\{ {2; - 13} \right\}\).

d) \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số \(y = (2m + 3)x + m + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).

Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).

Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).

Xét hàm số \(f(t) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. Vì cổng hình parabol cớ phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng \(d = 5\) mét nên \(AB = 5\) và \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right);B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vậy chiều cao của cổng là: \(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) mét.

Xét \({x^2} - 10x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 10\).

Bảng xét dấu:

Ta có: \({x^2} - 10x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 10\). Do vậy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m \ge 0}\\{{x^2} - 10x \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - \frac{m}{2}}\\{0 \le x \le 10}\end{array}} \right.} \right.\).

Hệ có 8 nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(2 <  - \frac{m}{2} \le 3 \Leftrightarrow 4 <  - m \le 6 \Leftrightarrow  - 6 \le m <  - 4\). Vậy \(m \in [ - 6; - 4)\) thỏa mãn đề bài.

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là

\(T(n) = n(360 - 10n) =  - 10{n^2} + 360n\).

Đây là hàm số bậc hai (theo \(n\) ) có \(a =  - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 18\), \(T(18) = 3240\)

Vậy, người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).