Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 6 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Với hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì với \(P(B) > 0\). Ta có\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\].

Ta có: \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\].

Ta có: \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)\]

Ta có: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\].

Ta có: \({\rm{P}}(A \cap B) = P\left( B \right).{\rm{P}}(A\mid B) \Leftrightarrow {\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A \cap B)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{0,1}}{{0,8}} = \frac{1}{8}.\)

Ta có: \[{\rm{P}}(AB) = P\left( A \right).{\rm{P}}(B\mid A) \Leftrightarrow {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(AB)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{23}}{{145}}:\frac{7}{{15}} = \frac{{69}}{{203}}.\]

Xét hai biến cố sau:

A: "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi";

\(B\): "Học sinh được chọn ra là học sinh nam".

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt danh hiệu học sinh giỏi và là nam, chính là xác suất của \(A\) với điểu kiện \(B\).

\({\rm{P}}(A \cap B) = \frac{{80}}{{600}} = \frac{2}{{15}}{\rm{. }}\)

Do có 245 học sinh nam nên \({\rm{P}}(B) = \frac{{245}}{{600}} = \frac{{49}}{{120}}\). Vì thế, ta có;

\({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A \cap B)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{{49}}{{120}}}} = \frac{{16}}{{49}}.\)

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt danh hiệu học sinh giỏi và là nam bằng \(\frac{{16}}{{49}}\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Bạn Phong lấy được viên bi đỏ ";

\(B\) là biến cố: "Bạn Trung lấy được viên bi vàng ".

Vì \(n\left( A \right) = 6\) nên \(P\left( A \right) = \frac{6}{{16}} = \frac{3}{8}\).

Nếu \(A\) xảy ra tức là bạn Phong lấy được viên bi đỏ thì trong hộp có \(15\) viên bi với 10 viên bi vàng.

Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).

Theo công thức nhân xác suất: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất để Phong lấy được viên bi đỏ và Trung lấy được viên bi vàng bằng \(\frac{1}{4}.\)

Gọi \(A\) là biến cố “học sinh đó thích học môn Toán”,

\(B\) là biến cố “học sinh đó thích học môn Văn”

Xác suất để học sinh được chọn thích học môn Toán, biết học sinh đó thích học môn Văn chính là \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\), \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A \,\overline B } \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\)

\(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( {\overline A \,\overline B } \right) = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\)

Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{9}{{10}} = \frac{1}{5}\)

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{5}:\frac{1}{2} = \frac{2}{5}\)

Gọi \(A\) là biến cố “Lần 1 Minh lấy được bi màu xanh”,

\(B\) là biến cố “Lần 2 Minh lấy được bi có màu xanh”

Khi đó \(AB\) là biến cố “Cả hai lần Minh lấy được bi màu xanh”. Ta có \(P\left( {AB} \right) = \frac{5}{7}\)

Gọi \(x\) là số kẹo ban đầu trong túi \(\left( {x > 0} \right)\)

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{n}\), \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{n - 1}}\).

Theo công thức nhân xác suất, ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\)

Hay \(\frac{6}{n} \cdot \frac{5}{{n - 1}} = \frac{5}{7}\)\( \Rightarrow n = 7\).

Vậy số bi đỏ trong túi ban đầu là \(7 - 6 = 1\) bi

Giả sử nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là \(x\) \(\left( {x < 1} \right)\).

Gọi \(A\) là biến cố “Thứ tư, bạn Tuấn ăn sáng bằng bún”,

\(B\) là biến cố “Thứ năm, bạn Tuấn ăn sáng bằng bún”, khi đó \(P\left( B \right) = 0,63\)

Ta cần tính \(P\left( {\overline B \backslash A} \right)\)

Ta có thứ ba bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi nên \(P\left( A \right) = 0,7\), \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,7 = 0,3\)

Vì nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là \(x\) và ăn sáng bằng bún là \(1 - x\) hay \(P\left( {B|A} \right) = 1 - x\).

Ta có \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,7\)

Theo công thức xác suất toàn phần: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\backslash \overline A } \right)\)

\( \Rightarrow 0,63 = 0,7.\left( {1 - x} \right) + 0,3.0,7\)

\( \Rightarrow x = 0,4\)

Vậy nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là \(0,4\).

Gọi \(A\) là biến cố “Người được chọn ra không mắc bệnh”, khi đó \(P\left( A \right) = 1 - 0,1\%  = 0,999\), \(P\left( {\overline A } \right) = 0,001\).

\(B\) là biến cố “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”, khi đó \(P\left( {B|A} \right) = 8\%  = 0,08\) và \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95\)

Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(P\left( {\overline A |B} \right)\)

Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) + P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}} = \frac{{0,001.0,95}}{{0,001.0,95 + 0,999.0,08}} = \frac{{95}}{{8087}} \approx 1,17\% \)

Vậy khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1,17\% \).

a) Đ Vì \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)nên \[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,4 = 0,6\].

b) S Vì \[A\] và \[B\] độc lập nên \[A\] và \[\overline B \] độc lập.

Do đó, \[P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,6 = 0,4 \ne 0,7\].

c) Đ Vì \[A\] và \[B\] độc lập nên \[B\] và \[\overline A \] độc lập.

Do đó, \[P\left( {\overline {\left. A \right|} B} \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,4\].

d) S Vì \[A\] và \[B\] độc lập nên \[\overline B \] và \[\overline A \] độc lập.

Do đó, \[P\left( {\overline {\left. B \right|} \overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,7 \ne 0,6.\]

Giải chi tiết( giải thích)

a) Đ Vì hộp có \(10\) bi xanh nên số phần tử của biến cố \(A\)là \[n\left( A \right) = 10\].

b) Đ Vì bạn Nam lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp chứa \(10\) bi xanh và \(8\) bi đen nên \(n\left( \Omega  \right) = 18\)

Do đó, \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9}\).

c) S Nếu \(A\) xảy ra tức là bạn Nam lấy được bi xanh thì trong hộp có \(17\)viên bi với \(8\)bi đen

Do đó, \[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{8}{{17}} \ne \frac{4}{9}\].

d) S Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

\[P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{5}{9}.\frac{8}{{17}} = \frac{{40}}{{153}} \approx 0,3 \ne 0,8.\]

a) S Ta có \(P\left( A \right) = 0,65\) nên \(P\left( {\overline A } \right) = 0,35\).

b) S Vì các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là \(2\% \) nên \(P\left( {\overline B |A} \right) = 0,02\), suy ra \(P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\).

c) S Vì các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là \(3\% \) nên \[P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,03\], suy ra \[P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,03 = 0,97\].

d) Đ Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765\).

a) Đ Ta có \(P\left( A \right) = 0,85\) và \(P\left( {\overline A } \right) = 0,15\).

b) Đ Vì có \(1\% \) sản phẩm loại I bị hỏng nên \(P\left( {\overline B |A} \right) = 0,01\), suy ra\(P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,01 = 0,99\).

c) Đ Vì có \(4\% \) sản phẩm loại II bị hỏng nên \[P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,04\], suy ra \[P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,04 = 0,96\].

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,85.0,99 + 0,15.0,96 = 0,9855\).

d) S Theo công thức Bayes ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,85.0,99}}{{0,9855}} \approx 0,854\).

Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,21.0,6 = 0,126\).

\(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) \Rightarrow P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,126}}{{0,52}} = \frac{{63}}{{260}}\).

Suy ra: \(a = 63\) và \(b = 260\).

Vậy \(D = a + b = 63 + 260 = 323\).

Bình có \[30\] cách chọn, An có \[29\] cách chọn một viên bi trong hộp.

Do đó, \(n\left( \Omega  \right) = 30.29\).

Bình có \[10\] cách chọn một viên bi đen, An có \[29\] cách chọn từ \[29\] viên bi còn lại.

Do đó, \(n\left( {\bar B} \right) = 10.29\) và \(P\left( {\bar B} \right) = \frac{{n\left( {\bar B} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Bình có \[10\] cách chọn một viên bi đen, An có \[20\] cách chọn một viên bi trắng trong \[20\] viên bi trắng còn lại.

Do đó \(n\left( {A\bar B} \right) = 10.20\) và \(P\left( {A\bar B} \right) = \frac{{n\left( {A\bar B} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Khi đó, \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{{P\left( {A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}} = \frac{{n\left( {A\bar B} \right)}}{{n\left( {\bar B} \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\).

Suy ra \(a = 20\) và \(b = 29\).

Vậy \(C = a - b = 20 - 29 =  - 9\).

Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc Câu lạc bộ Tiếng Anh ở lớp 11A1";

\(B\): “Chọn được học sinh trong lớp 11A1 có chứng chỉ IELTS từ 5.5 trở lên”.

Khi đó, \[P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\].

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25\).

Xét các biến cố \(A\): "Khách hàng chọn được sản phẩm loại I ";

\(B\): "Khách hàng chọn được sản phẩm chất lượng tốt".

Ta có:

\(P\left( A \right) = 0,85;\) \(P\left( {\overline A } \right) = 0,15;\,P\left( {B|A} \right) = 0,99\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,96.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0,85.0,99 + 0,15.0,96 = 0,9855\)

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,85.0,99}}{{0,9855}} \approx 0,85\).

Phần giải chi tiết

Gọi \(A\) là biến cố: "Học sinh đó chọn tổ hợp \(D00\) "; \(B\) là biến cố: "Học sinh đó đỗ Đại học".

Ta cần tính \(P\left( {A\mid B} \right)\). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B\mid A} \right)\) và \(P\left( {B\mid \overline A } \right)\). Ta có:

\(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,6 = 0,4\).

\(P\left( {B\mid A} \right)\) là xác suất đế một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp \(D00\) \( \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = 0,7\)

\(P\left( {B\mid \overline A } \right)\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp

\(D00\)là \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,5\)

Thay vào công thức Bayes ta được:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\mid \overline A } \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,7}}{{0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,5}} \approx 0,68.\)

Phần giải chi tiết

Xét các biến cố:

A: "Bạn Hạnh lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội";

B: "Bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên".

Khi đó, \({\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};{\rm{P}}\left( {\overline {A\,} } \right) = 1 - {\rm{P}}\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn Hạnh chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên, suy ra \({\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn Hạnh chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên, suy ra \({\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề

tự nhiên là: \({\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {A\,} } \right).{\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9} \cdot \frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\).

Suy ra \(a = 4,b = 9\) và \(100a - 99b =  - 491\).