Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x - 1}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
Biểu thức \(\frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x - 1}}\) có nghĩa khi \({\rm{sinx}} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{sinx}} \ne 1\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=ℝ\π2+k2π∣k∈ℤ.
Cung có số đo\[250^\circ \] thì có số đo theo đơn vị là radian là
\[\frac{{25\pi }}{{12}}\].
\[\frac{{25\pi }}{{18}}\].
\[\frac{{25\pi }}{9}\].
\[\frac{{35\pi }}{{18}}\].
Chọn A
Ta có: \[250^\circ = \frac{\pi }{{180}}.250\, = \,\frac{{25\pi }}{{18}}\].
Nếu một cung tròn có số đo bằng radian là \[\frac{{5\pi }}{4}\] thì số đo bằng độ của cung tròn đó là
\[172^\circ \].
\[15^\circ \].
\[225^\circ \].
\[5^\circ \].
Chọn C
Ta có \(a^\circ = \frac{{180^\circ }}{\pi }.\alpha = \frac{{180^\circ }}{\pi }.\frac{{5\pi }}{4} = 225^\circ \).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ \)). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = - \frac{5}{4}\).
\(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{5}{4}\).
Chọn B
+ Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha \)\( = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)\( = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\).
+ Mặt khác \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).
+ Vậy \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
\(y = {\rm{tan}}x + x\).
\(y = {x^2} + 1\).
\(y = \cot x\).
\(y = \frac{{{\rm{sin}}x}}{x}\).
Chọn C
Hàm số \(y = {\rm{cot}}x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Đồ thị của các hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) và \(y = {\rm{cos}}x\) cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]?\).
5.
6.
4.
7
Chọn A
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{sinx}}\) và \({\rm{y}} = {\rm{cosx}}\) là nghiệm của phương trình \({\rm{sinx}} = {\rm{cosx}} \Leftrightarrow {\rm{tanx}} = 1\)do \({\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}}\) )
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Ta có: \( - 2\pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{{9\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{9\pi }}{4} \Leftrightarrow - 2,25 \le k \le 2,25\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).
Vậy đồ thị của các hàm số \({\rm{y}} = {\rm{sinx}}\) và \({\rm{y}} = {\rm{cosx}}\). cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\). Khi đó, \(\cos 2\alpha \) bằng
\( - \frac{1}{8}\).
\[\frac{{\sqrt 7 }}{4}\].
\[ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\].
\[\frac{1}{8}\].
Chọn A
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}\).
Biểu thức \[\frac{{\sin 10^\circ + \sin 20^\circ }}{{\cos 10^\circ + \cos 20^\circ }}\] bằng
\[\tan 10^\circ + \tan 20^\circ \].
\[\tan 30^\circ \].
\[\cot 10^\circ + \cot 20^\circ \].
\[\tan 15^\circ \].
Chọn D
\[\frac{{\sin {{10}^0} + \sin {{20}^0}}}{{\cos {{10}^0} + \cos {{20}^0}}}\]\[ = \frac{{2\sin {{15}^0}\cos {5^0}}}{{2\cos {{15}^0}\cos {5^0}}} = \tan {15^0}\].
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là:
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}} \right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi } \right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\frac{\pi }{2}} \right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi } \right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Chọn A
Hàm số đã cho xác định khi \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}} \right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số \(y = \sin 2x\) có chu kỳ là
\(T = 2\pi \).
\(T = \frac{\pi }{2}\).
\(T = \pi \).
\(T = 4\pi \).
Chọn C
Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi \) nên hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \).
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Chọn A
Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
+ Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
+ Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
+ Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Phương trình lượng giác \(2\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\].
\[{\rm{x}} = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \frac{{\sqrt 3 }}{2} + k\pi \].
\[{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi \].
\[{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \].
Chọn B
Ta có \(2\cot {\rm{x}} - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot {\rm{x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\cos a = \frac{1}{3}\), \(\cos b = \frac{1}{4}\), khi đó:
a) \(si{n^2}a = \frac{8}{9}\)
b) \(si{n^2}a > {\sin ^2}b\)
c) \(si{n^2}a + {\sin ^2}b > 1\)
d) \(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{{11}}{{14}}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(si{n^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{8}{9}\); \(si{n^2}b = 1 - {\cos ^2}b = \frac{{15}}{{16}}\).
Ta có \(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right)\left( {\cos a\cos b + \sin a\sin b} \right)\)
\( = {\cos ^2}a.{\cos ^2}b - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b\)
\( = \frac{1}{9}.\frac{1}{{16}} - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b\)(3)
Suy ra \(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{9}.\frac{1}{{16}} - \frac{8}{9}.\frac{{15}}{{16}} = - \frac{{119}}{{144}}\).
Cho phương trình lượng giác \(\sin (3x + \frac{\pi }{3}) = \cos (2x - \frac{\pi }{4})\), vậy:
a) Phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
b) Trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) phương trình có 3 nghiệm
c) \(x = - \frac{\pi }{{12}}\) là một nghiệm của phương trình thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\)
d) Tổng các nghiệm trong \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) bằng\(\frac{\pi }{4}\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Phương trình \( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} - 2x + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)
Do \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên ta có: \(x = - \frac{{43\pi }}{{60}},x = - \frac{{19\pi }}{{60}},x = \frac{\pi }{{12}},x = \frac{{29\pi }}{{60}},x = \frac{{53\pi }}{{60}},x = - \frac{\pi }{{12}}\)
Vậy tổng các nghiệm trong \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) bằng\(\frac{\pi }{3}\).
Một đường tròn có bán kính \(36m\). Khi đó:
a) Cung tròn bán kính \(R\) có số đo \(\alpha \,\left( {0 \le \alpha \le 2\pi } \right)\), có số đo \({a^0}\,\,\left( {0 \le a \le 360} \right)\) và có độ dài là \(l\) thì:
\(l = R\alpha = \frac{a}{{180}}.R\)
b) Độ dài của cung trên đường tròn có số đo \(\frac{{3\pi }}{4}\) là \( \approx 84,8m\)
c) Độ dài của cung trên đường tròn có số đo \({51^0}\) là \( \approx 32,04m\)
d) Độ dài của cung trên đường tròn có số đo \(\frac{1}{3}\) là \(22m\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có \(l = R\alpha = \frac{{\pi a}}{{180}}.R\)
b) Ta có \(l = R\alpha = 36.\frac{{3\pi }}{4} = 27\pi \approx 84,8m\)
c) Ta có \(l = \frac{{\pi a}}{{180}}.R = \frac{{\pi 51}}{{180}}.36 = \frac{{51\pi }}{5} \approx 32,04m\)
d) Ta có \(l = R\alpha = 36.\frac{1}{3} = 12m\)
Cho phương trình lượng giác \({\sin ^2}2x = {\cos ^2}(3x - \frac{\pi }{8})\), vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {6x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\pi + 4x} \right)\)
b) Trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) phương trình có 11 nghiệm
c) \(x = \frac{{37\pi }}{{40}}\) là một nghiệm của phương trình thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\)
d) Tổng các nghiệm trong \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Phương trình \( \Leftrightarrow \cos \left( {6x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos 4x = \cos \left( {\pi + 4x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - \frac{\pi }{4} = 4x + \pi + k2\pi \\6x - \frac{\pi }{4} = - 4x - \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{{40}} + \frac{{k\pi }}{5}\end{array} \right.\)
Các nghiệm nằm trong \(( - \pi ;\pi )\) của phương trình là:
\(x = \frac{{5\pi }}{8},x = - \frac{{7\pi }}{8},x = - \frac{{27\pi }}{{40}},x = - \frac{{19\pi }}{{40}},x = - \frac{{11\pi }}{{40}},x = - \frac{{3\pi }}{{40}},x = \frac{\pi }{8},\)
\(x = \frac{{13\pi }}{{40}},x = \frac{{21\pi }}{{40}},x = \frac{{29\pi }}{{40}},x = \frac{{37\pi }}{{40}}\)
Vậy tổng các nghiệm thuộc \(( - \pi ;\pi )\) là: \(\frac{{7\pi }}{8}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Xét tính tuần hoàn của hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \cot x\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos x = \cos (x + 2\pi ),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\\\cot x = \cot (x + \pi ),{\rm{ }}\forall x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Do đó, hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cot x\) là các hàm số tuần hoàn
Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn \(\sin (x + T) = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \)với mọi \(x \in \mathbb{R}\) phải có dạng \(T = k2\pi \), k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn \(\sin (x + T) = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)là \(2\pi \).
Nếu \(\sin \left( {x + T} \right) = \sin x\) với mọi \(x\), thì khi \(x = \frac{\pi }{2}\), ta được \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + T} \right) = \sin 1\). Số U mà \(\sin U = 1\) thì \(U\) phải có dạng \(U = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) nên \(\frac{\pi }{2} + T = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow T = k2\pi \).
Cho góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \(\frac{\pi }{5}\). Hỏi trong các góc \(\frac{{6\pi }}{5}\), \(\frac{{9\pi }}{5}\), \( - \frac{{11\pi }}{5}\), \(\frac{{31\pi }}{5}\),\( - \frac{{14\pi }}{5}\), những góc nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
\(\frac{{6\pi }}{5} = \pi + \frac{\pi }{5}\)
\[\frac{{9\pi }}{5} = 2\pi - \frac{\pi }{5}\]
\( - \frac{{11\pi }}{5} = - 2\pi - \frac{\pi }{5}\)
\(\frac{{31\pi }}{5} = 6\pi + \frac{\pi }{5}\)
\( - \frac{{14\pi }}{5} = - 3\pi + \frac{\pi }{5}\)
Nhận thấy số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho khi ta quay góc đó chẵn 1 vòng mà 1 vòng có số đo là \(2\pi \)\( \Rightarrow \) những số đo thỏa ycbt là \[\frac{{9\pi }}{5}\], \( - \frac{{11\pi }}{5}\),\(\frac{{31\pi }}{5}\).
Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?
Kim phút quét một góc là:\[\;2.{\rm{ }}( - 360^\circ ) + ( - 90^\circ ) = - 810^\circ \]
Cho \(\Delta ABC\) có các cạnh \(BC = a\), \[AC = b\], \(AB = c\) thỏa mãn hệ thức \(\frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a + c}}{{2a - c}}\). Hãy nhận dạng \(\Delta ABC\).
Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có:
\(\frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a + c}}{{2a - c}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2.2R\sin A + 2R\sin C}}{{2.2R\sin A - 2R\sin C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2\sin A + \sin C}}{{2\sin A - \sin C}}\)\( \Leftrightarrow 2\sin A + 2\sin A\cos B - \sin C - \sin C\cos B = 2\sin A - 2\sin A\cos B + \sin C - \sin C\cos B\)\( \Leftrightarrow 4\sin A\cos B = 2\sin C\)
\( \Leftrightarrow 4.\frac{a}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = 2.\frac{c}{{2R}}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {c^2}\)
\( \Leftrightarrow a = b\).
Vậy \(\Delta ABC\) cân tại \(C\).
Số nghiệm của phương trình \[\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] với \[ - {180^0} \le x \le {180^0}\] là bao nhiêu?
Ta có :
\[\begin{array}{l}\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \sin {60^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0}\\2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = {100^0} + k{360^0}\\2x = {160^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {50^0} + k{180^0}\\x = {80^0} + k{180^0}\end{array} \right.\end{array}\]
Xét nghiệm \[x = {50^0} + k{180^0}\].
Ta có : \[ - {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {50^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \le k \le \frac{{13}}{{18}}\].
Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {130^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {50^0}\end{array} \right.\].
Xét nghiệm \[x = {80^0} + k{180^0}\].
Ta có : \[ - {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {80^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \le k \le \frac{5}{9}\].
Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {100^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {80^0}\end{array} \right.\].
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.
