Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Một cung tròn có độ dài bằng bán kính. Khi đó số đo bằng rađian của cung tròn đó là
\(1\).
\(\pi \).
\(2\).
\(3\).
Chọn A
Theo định nghĩa \(1\) rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính.
Trên đường tròn bán kính bằng \[4\], cung có số đo \[\frac{\pi }{8}\] thì có độ dài là
\[\frac{\pi }{4}\].
\[\frac{\pi }{3}\].
\[\frac{\pi }{{16}}\].
\[\frac{\pi }{2}\].
Chọn D
Cung có số đo \[\alpha \] rad của đường tròn bán kính \[R\] có độ dài \[l = R.\alpha \].
Trên đường tròn bán kính \(R = 6\), cung \(60^\circ \) có độ dài bằng bao nhiêu?
\(l = \frac{\pi }{2}\).
\(l = 4\pi \).
\(l = 2\pi \).
\(l = \pi \).
Chọn C
\(60^\circ = \frac{\pi }{3}\)rad.
Ta có: cung có số đo \(\alpha \) rad của đường tròn có bán kính \(R\) có độ dài \(l = R\alpha \).
Do đó cung \(60^\circ \) có độ dài bằng \(l = 6.\frac{\pi }{3}\)\( = 2\pi \).
Trên đường tròn lượng giác, điểm \(M\) thỏa mãn \(\left( {Ox,OM} \right) = 500^\circ \) thì nằm ở góc phần tư thứ
\[{\rm{I}}\].
\[{\rm{II}}\].
\[{\rm{III}}\].
\[{\rm{IV}}\].
Chọn B
Điểm \(M\) thỏa mãn \(\left( {Ox,OM} \right) = 500^\circ \) thì nằm ở góc phần tư thứ \({\rm{II}}\) vì \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ \in \left( {90^\circ ;180^\circ } \right)\).
Bánh xe của người đi xe đạp quay được \(2\) vòng trong \(5\) giây. Hỏi trong \(1\) giây, bánh xe quay được một góc bao nhiêu độ?
\(144^\circ \).
\(288^\circ \).
\(36^\circ \).
\(72^\circ \).
Chọn A
Ta có: trong \(5\) giây quay được \(2 \times 360^\circ = 720^\circ \).
Vậy trong \(1\) giây quay được: \(\frac{{720^\circ }}{5} = 144^\circ \).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
Chọn A
Với \(2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}\) ta có \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\), \(\tan \alpha > 0\), \(\cot \alpha > 0\).
Cho biết \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\). Tính \(\cot \alpha \).
\(\cot \alpha = \frac{1}{2}\).
\(\cot \alpha = \sqrt 2 \).
\(\cot \alpha = 2\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{4}\).
Chọn C
Ta có \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1 \Leftrightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\].
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
\[\tan 45^\circ < \tan 60^\circ \].
\[\cos 45^\circ \le \sin 45^\circ \].
\[\sin 60^\circ < \sin 80^\circ \].
\[\cos 35^\circ > \cos 10^\circ \].
Chọn D
Khi \[\alpha \in \left( {0^\circ \,;\,90^\circ } \right)\] hàm \[\cos \alpha \] là hàm giảm nên \[\cos 35^\circ < \cos 10^\circ \] suy ra D sai.
Cho\(\sin a = \frac{1}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\cos a\).
\[\cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
\[\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
\(\cos a = \frac{8}{9}\).
\(\cos a = - \frac{8}{9}\).
Chọn B
Ta có \[{\sin ^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \[\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
Biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha = - \frac{{5\pi }}{6},\beta = \frac{\pi }{3},\gamma = \frac{{25\pi }}{3},\delta = \frac{{17\pi }}{6}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
\(\beta \) và \(\gamma \)
\(\alpha ,\beta ,\gamma \).
\(\beta ,\gamma ,\delta \).
\(\alpha \) và \(\beta \).
Chọn A
Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha = - \frac{{5\pi }}{6},\beta = \frac{\pi }{3},\gamma = \frac{{25\pi }}{3}\), \(\delta = \frac{{17\pi }}{6}\) trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm biểu diễn trùng nhau.
\({\rm{\; + \;C\'a ch\;2:\;Ta\;c\'o :\;}}\gamma = \frac{{25\pi }}{3} = \frac{{24\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} = 4.2\pi + \frac{\pi }{3} = \beta + 4.2\pi {\rm{.\;}}\)
Do đó, hai góc \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm biểu diễn trùng nhau.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
\({\rm{sin}}\left( {\pi - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha \).
\({\rm{cos}}\left( {\pi - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha \).
\({\rm{sin}}\left( {\pi + \alpha } \right) = - {\rm{sin}}\alpha \).
\({\rm{cos}}\left( {\pi + \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \).
Chọn B
Vì \(\pi - \alpha \) và \(\alpha \) là hai góc bù nhau nên \({\rm{sin}}\left( {\pi - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha ;{\rm{cos}}\left( {\pi - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \). Do đó đáp án \(A\) đúng và đáp án \(B\) sai.
Ta có góc \(\pi + a\) và a là hai góc hơn kém nhau \(1\pi \) nên \({\rm{sin}}\left( {\pi + a} \right) = - {\rm{sin}}\alpha ,{\rm{cos}}(\pi \) \( + a) = - {\rm{cos}}\alpha \). Do đó đáp án C và \(D\) đều đúng.
Rút gọn biểu thức \(M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) - {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\), ta được
\(M = {\rm{sin}}4a\).
\(M = 1 - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a\).
\(M = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\).
\(M = {\rm{cos}}4a\)
Chọn C
Ta có: \(M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) - {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\)
\( = {\rm{cos}}\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right]{\rm{\;}}\) (áp dụng công thức cộng)
\( = {\rm{cos}}2a = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - 1 = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\) (áp dụng công thức nhân đôi)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho số đo \(\alpha \) của góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) với \(0 \le \alpha \le 2\pi \),
a) Biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc \(\alpha \) có số đo là \(\frac{{33\pi }}{4}\) khi đó \(\alpha = \frac{\pi }{4}\)
b) Biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc \(\alpha \) có số đo là \( - \frac{{291983\pi }}{3}\) khi đó \(\alpha = \frac{\pi }{4}\)
c) Biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc \(\alpha \) có số đo là \( - \frac{{291983\pi }}{3}\) khi đó \(\alpha = \frac{\pi }{3}\)
d) Biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc \(\alpha \) có số đo là \(30\)khi đó \(\alpha > 5\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(\frac{{33\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)
Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le \frac{{33\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{33}}{4} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{33}}{8} \le k \le - \frac{{25}}{8},\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)
Suy ra \(\alpha = \frac{{33\pi }}{4} + \left( { - 4} \right).2\pi = \frac{\pi }{4}\)
b) c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \( - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)
Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{291983}}{3} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)
\( \Leftrightarrow \frac{{291983}}{6} \le k \le \frac{{291989}}{6}\,,\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = \)
Suy ra \(\alpha = - \frac{{291983\pi }}{3} + 48664.2\pi = \frac{\pi }{3}\)
c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(30 + k2\pi ,\,\,k \in Z\)
Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le 30 + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{15}}{\pi } + k \le 1,\,\,k \in Z\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{15}}{\pi } \le k \le \frac{{\pi - 15}}{\pi },\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)
Suy ra \(\alpha = 30 + \left( { - 4} \right).2\pi = 30 - 8\pi \approx 4,867\).
Cho phương trình lượng giác \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}5x = 1\), vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = 1\)
b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{7}\)
c) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn \( - \frac{\pi }{3}\)
d) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất bằng 0
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \cos 10x = \cos 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10x = 4x + k2\pi \\10x = - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{7}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{7},x = - \frac{\pi }{7}\).
Cho góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \( - \frac{\pi }{7}\). Khi đó:
a) \( - \frac{{29\pi }}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho
b) \( - \frac{{22}}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho
c) \(\frac{{6\pi }}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho
d) \(\frac{{41\pi }}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của \(2\pi \) do đó
Vì \( - \frac{{29\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \left( { - 2} \right).2\pi \), \(\, - \frac{{22}}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = - 3\pi \), \(\frac{{6\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \pi \) và \(\frac{{41\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = 3.2\pi \) nên các số \( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Cho phương trình lượng giác \({(\sin x + \cos x)^2} = 2{\cos ^2}3x\), vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(1 + \sin 2x = 3 + \cos 6x\)
b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lớn hơn \(\frac{\pi }{7}\)
c) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \frac{\pi }{8}\)
d) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất bằng 0
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Phương trình \( \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + \cos 6x\)
\( \Leftrightarrow \cos 6x = \sin 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: \(x = \frac{\pi }{{16}},x = - \frac{\pi }{8}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Với giá trị nào của \[n\] thì đẳng thức sau luôn đúng \[\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } = \cos \frac{x}{n}\], \[0 < x < \frac{\pi }{2}\].
Vì \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] nên \[\cos \frac{x}{n} > 0\], \[\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]
\[\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}} } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}} = \cos \frac{x}{8}\]
Vậy \[n = 8\].
Cho các góc \(\alpha \), \(\beta \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha \), \(\beta < \pi \), \[\sin \alpha = \frac{1}{3}\], \[\cos \beta = - \frac{2}{3}\]. Tính \[\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\].
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha \), \(\beta < \pi \)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha < 0\\\sin \beta > 0\end{array} \right.\].
Ta có \[\cos \alpha = - \;\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \;\sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \;\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]. \[\sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].
Suy ra \[\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].
Vậy \[\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^7}x\)
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\), ta có: \[{\sin ^4}x + {\cos ^7}x \le {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\].
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^7}x\) là \(1\).
Nếu \[\alpha \] là góc nhọn và \[\sin \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} \] thì \[\tan \alpha \] bằng bao nhiêu?
Ta có: \[0 < \alpha < {90^0}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]\[ \Rightarrow 0 < \sin \frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow x > 0\]
\[{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]\[ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \], vì \[0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}} \]\[ \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \]
\[tan\alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \].
Chứng minh biểu thức \[{\sin ^2}x.\tan x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\] không phụ thuộc vào \[x\]
\[{\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x - 1} \right){\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x\].
\[ = - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x = - {\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 3\].
Khi một tia sáng truyền từ ông khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới \(i\) liên hệ với góc khúc xạ \(r\) bởi Định luật khúc xạ ánh s \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sin}}r}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}{\rm{.\;}}\)
Ở đây, \({n_1}\) và \({n_2}\) tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới \(i = {50^ \circ }\), hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33 .
Theo bài ra ta có: \({\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1,33\), thay vào \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\) ta được:
sin50∘sinr=1,331 (đk sin r≠0 ) ⇒sinr=sin50∘1,33 ⇔sinr≈0,57597 (thoa mãn đki) ⇔sinr≈sin35∘10'
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}\)Mà \({0^ \circ } < r < {90^ \circ }\) nên \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).
Vậy góc khúc xạ \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).
