Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Theo định nghĩa \(1\) rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính.

Chọn D

Cung có số đo \[\alpha \] rad của đường tròn bán kính \[R\] có độ dài \[l = R.\alpha \].

Chọn C

\(60^\circ  = \frac{\pi }{3}\)rad.

Ta có: cung có số đo \(\alpha \) rad của đường tròn có bán kính \(R\) có độ dài \(l = R\alpha \).

Do đó cung \(60^\circ \) có độ dài bằng \(l = 6.\frac{\pi }{3}\)\( = 2\pi \).

Chọn B

Điểm \(M\) thỏa mãn \(\left( {Ox,OM} \right) = 500^\circ \) thì nằm ở góc phần tư thứ \({\rm{II}}\) vì \(500^\circ  - 360^\circ  = 140^\circ  \in \left( {90^\circ ;180^\circ } \right)\).

Chọn A

Ta có: trong \(5\) giây quay được \(2 \times 360^\circ  = 720^\circ \).

Vậy trong \(1\) giây quay được: \(\frac{{720^\circ }}{5} = 144^\circ \).

Chọn A

Với \(2\pi  < \alpha  < \frac{{5\pi }}{2}\) ta có \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  > 0\), \(\tan \alpha  > 0\), \(\cot \alpha  > 0\).

Chọn C

Ta có \[\tan \alpha .\cot \alpha  = 1 \Leftrightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\].

Chọn D

Khi \[\alpha  \in \left( {0^\circ \,;\,90^\circ } \right)\] hàm \[\cos \alpha \] là hàm giảm nên \[\cos 35^\circ  < \cos 10^\circ \] suy ra D sai.

Chọn B

Ta có \[{\sin ^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \[\cos a =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].

Chọn A

Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha  =  - \frac{{5\pi }}{6},\beta  = \frac{\pi }{3},\gamma  = \frac{{25\pi }}{3}\), \(\delta  = \frac{{17\pi }}{6}\) trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm biểu diễn trùng nhau.

\({\rm{\; + \;C\'a ch\;2:\;Ta\;c\'o :\;}}\gamma  = \frac{{25\pi }}{3} = \frac{{24\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} = 4.2\pi  + \frac{\pi }{3} = \beta  + 4.2\pi {\rm{.\;}}\)

Do đó, hai góc \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm biểu diễn trùng nhau.

Chọn B

Vì \(\pi  - \alpha \) và \(\alpha \) là hai góc bù nhau nên \({\rm{sin}}\left( {\pi  - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha ;{\rm{cos}}\left( {\pi  - \alpha } \right) =  - {\rm{cos}}\alpha \). Do đó đáp án \(A\) đúng và đáp án \(B\) sai.

Ta có góc \(\pi  + a\) và a là hai góc hơn kém nhau \(1\pi \) nên \({\rm{sin}}\left( {\pi  + a} \right) =  - {\rm{sin}}\alpha ,{\rm{cos}}(\pi \) \( + a) =  - {\rm{cos}}\alpha \). Do đó đáp án C và \(D\) đều đúng.

Chọn C

Ta có: \(M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) - {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\)

\( = {\rm{cos}}\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right]{\rm{\;}}\) (áp dụng công thức cộng)

\( = {\rm{cos}}2a = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - 1 = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\) (áp dụng công thức nhân đôi)

 a) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(\frac{{33\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le \frac{{33\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{33}}{4} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{33}}{8} \le k \le - \frac{{25}}{8},\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)

Suy ra \(\alpha = \frac{{33\pi }}{4} + \left( { - 4} \right).2\pi = \frac{\pi }{4}\)

b) c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \( - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{291983}}{3} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{291983}}{6} \le k \le \frac{{291989}}{6}\,,\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = \)

Suy ra \(\alpha = - \frac{{291983\pi }}{3} + 48664.2\pi = \frac{\pi }{3}\)

c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(30 + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le 30 + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{15}}{\pi } + k \le 1,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{15}}{\pi } \le k \le \frac{{\pi - 15}}{\pi },\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)

Suy ra \(\alpha = 30 + \left( { - 4} \right).2\pi = 30 - 8\pi \approx 4,867\).

Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 10x = \cos 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10x = 4x + k2\pi \\10x = - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{7}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{7},x = - \frac{\pi }{7}\).

Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của \(2\pi \) do đó

Vì \( - \frac{{29\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \left( { - 2} \right).2\pi \), \(\, - \frac{{22}}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = - 3\pi \), \(\frac{{6\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \pi \) và \(\frac{{41\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = 3.2\pi \) nên các số \( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.

Phương trình \( \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + \cos 6x\)

\( \Leftrightarrow \cos 6x = \sin 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: \(x = \frac{\pi }{{16}},x = - \frac{\pi }{8}\).

Vì \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] nên \[\cos \frac{x}{n} > 0\], \[\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]

\[\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}} } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}}  = \cos \frac{x}{8}\]

Vậy \[n = 8\].

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha \), \(\beta  < \pi \)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  < 0\\\sin \beta  > 0\end{array} \right.\].

Ta có \[\cos \alpha  =  - \;\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \;\sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \;\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]. \[\sin \beta  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta }  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].

Suy ra \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta  = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{3} =  - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].

Vậy \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) =  - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\), ta có: \[{\sin ^4}x + {\cos ^7}x \le {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^7}x\) là \(1\).

Ta có: \[0 < \alpha < {90^0}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]\[ \Rightarrow 0 < \sin \frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow x > 0\]

\[{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]\[ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \], vì \[0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]

\[ \Leftrightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}} \]\[ \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \]

\[tan\alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \].

\[{\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x - 1} \right){\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x\].

\[ = - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x = - {\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 3\].

Theo bài ra ta có: \({\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1,33\), thay vào \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\) ta được:

 $\begin{array}{rr}& \frac{\text{sin}{50}^{\circ }}{\text{sin}r}=\frac{1,33}{1}\text{ (đk sin }r\ne 0\text{ ) }\\ & \Rightarrow \text{sin}r=\frac{\text{sin}{50}^{\circ }}{1,33}\\ & \iff \text{sin}r\approx 0,57597\text{ (thoa mãn đki) }\\ & \iff \text{sin}r\approx \text{sin}\left({35}^{\circ }{10}^{\text{'}}\right)\end{array}$

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}\)Mà \({0^ \circ } < r < {90^ \circ }\) nên \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).
Vậy góc khúc xạ \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).