Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a)\(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2,\,\,{x_2} = 3\) và có hệ số \(a =  - 1 < 0\).

Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

b)Tam thức có \(\Delta ' =  - 9 < 0\) và hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + m\) ( \[a =  - 1 < 0\])

\(\Delta ' = {( - 1)^2} - ( - 1).m = 1 + m\).

Để \[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\] thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + m < 0 \Leftrightarrow m <  - 1\).

b) Tìm \[m\] để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không âm với mọi x.

Xét \[m = 0\] thì \(g\left( x \right) = 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\). Do đó \[m = 0\] không thỏa mãn.

Xét \[m \ne 0\], khi đó \(g\left( x \right)\) là tam thức bậc hai có

\(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m.(m - 3) = m + 1.\)

Để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\)không âm với mọi x, tức là \(g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) có \(\Delta ' = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1;\,{x_2} = 1\).

Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Nên bất phương trình \({x^2} - 1 \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

b) Dễ thấy \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ;\,\) \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \).

Do đó ta có bảng xét dấu \(g\left( x \right)\):

Nên bất phương trình \({x^2} - 2x - 1 < 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\).

c) \((4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0\)

Xét \(f\left( x \right) = \left( {4 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có \(T = ( - \infty ;\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: \[2{x^2} - 4x - 2 = {x^2} - x - 2\]

\( \Leftrightarrow \) \[{x^2} - 3x = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 0\] hoặc \[x = 3\].

Thay lần lượt hai giá trị này của \[x\] vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \[x = 3\] thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = 3\].

b) \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 1}  = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \]

Bình phương hai vế của phương trình ta được \[3{x^2} - 6x + 1 =  - 2{x^2} - 9x + 1\].

\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + 3x = 0\].

\( \Leftrightarrow \)\[x = 0\] hoặc \[x =  - \frac{3}{5}\].

Thay lần lượt hai giá trị này của \[x\] vào phương trình đã cho, ta thấy \[x = 0\] và \[x =  - \frac{3}{5}\] thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {0\,;\, - \frac{3}{5}} \right\}\].

Hướng dẫn giải

a) Ta có :  \[\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\].

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).

b) Ta có : \[\sqrt {6 - 4x + {x^2}}  = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\x =  - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \frac{5}{6}\].

Vậy nghiệm của phương trình là:\[x =  - \frac{5}{6}\].

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 3}  = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x \ge 3\end{array} \right.\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right.\\x = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 3\].

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).

b) \(x - \sqrt {2x + 7}  =  - 4 \Leftrightarrow x + 4 = \sqrt {2x + 7}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{\left( {x + 4} \right)^2} = 2x + 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\{x^2} + 6x + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 3\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 3\).

Hướng dẫn giải

Vận tốc của bạn Minh: \[{v_1} = 5\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Vận tốc của bạn Hùng: \[{v_2} = 15\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Áp dụng định lý Pithago vào tam giác vuông \[AHB\]: \[BH = \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2} - {{\left( {0,05} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Gọi \[BC = x\left( {{\rm{km}}} \right),\,\,x > 0\].

Suy ra: \[CH = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\], \[x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\].

Ta cần xác định vị trí điểm \[C\] để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia

Nghĩa là: ta cần tìm \[x\] để thời gian hai bạn di chuyển đến \[C\] là bằng nhau.

Thời gian Hùng đi từ \[B\] đến \[C\] là: \[{t_2} = \frac{{{S_{BC}}}}{{{v_2}}} = \frac{x}{{15}}\left( h \right)\].

Quãng đường \[AC\] Minh đã đi là: \[AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} \]

Thời gian Minh đã đi từ \[A\] đến \[C\] là: \[{t_1} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_1}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5}\left( {\rm{h}} \right)\].

Theo yêu cầu bài toán: \[\frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5} = \frac{x}{{15}}\]

Bình phương 2 vế: \[\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2}}}{{225}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9\left( {\frac{3}{{80}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}}x + {x^2}} \right) + \frac{9}{{400}} = {x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - \frac{{9\sqrt {15} }}{{10}}x + \frac{9}{{25}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 0,3\\x \approx 0,1\end{array} \right.\end{array}\]

Vì \[0 < x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} \approx 0,19\] nên \[x \approx 0,1\] thỏa mãn.

Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí \[C\] cách điểm \[B\] một đoạn \[x \approx 0,1\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 100\left( {\rm{m}} \right).\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4).\)

Ta có \(\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x =  - 40\).

b) Ta có:

\(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}}  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16}  = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).

c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng \[\Delta \] cần tìm là: \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).

b) Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\). Do đó \[\Delta \] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \[\Delta \]: \(1\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)

Đường cao kẻ từ \(A\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB}  = \left( {5;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến  có phương trình là

\(5x + y - 7 = 0.\)

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Đường trung tuyến kẻ từ \(B\) nhận \(\overrightarrow {MB}  = \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) là vectơ chỉ phương  nên có vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow n  = (1;7)\) và đi qua \(B\left( {3;0} \right)\) nên có phương trình là: \(x + 7y - 3 = 0\).

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm \[M\] của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y =  - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\].

Phương trình tổng quát củađường thẳng \(d\) song song với \({d_3}\) qua \[M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\] là:

\(3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0\)\( \Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm  có dạng: \(A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}45^\circ  = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow \]\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 5 + 4t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\) qua \(A\left( { - 5;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {4; - 3} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {3;4} \right)\].

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(3\left( {x + 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).

b) Vì M trên trục \(Ox\) nên \(M(a;0)\).

Điểm M cách đều hai đường thẳng: \({d_1}:3x + 2y - 6 = 0\) và \({d_3}:3x + 2y + 6 = 0\) nên

\[\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 =  - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\]

Vậy \(M(0;0)\).

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

b) Toạ độ trung điểm \(I\) của  \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng  \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\)có tâm là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 1\) nên điểm \(M\) thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1;0} \right)\), nên có phương trình

       \( - 1\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

b) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right),\,R = \sqrt 5 \) và tiếp tuyến có dạng

\(\Delta :2x + y + c = 0\,\,\left( {c\not  = 7} \right).\)

Ta có \(R = d\left( {I,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c =  - 10\end{array} \right..\)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(2x + y = 0\) và \(2x + y - 10 = 0.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (E) đi qua hai điểm: \(P\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(Q\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16}}{{{a^2}}} + \frac{{81}}{{25{b^2}}} = 1\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\). Vậy phương trình elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b) Xét (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên: \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\)  (1)

Ta có: \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = 90^\circ \) \( \Rightarrow OM = O{F_1} \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = \frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = 5\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\).

Thay vào (1) ta được:

\[\frac{9}{{5({b^2} + 5)}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{b^2} + 16({b^2} + 5) = 5{b^2}({b^2} + 5) \Leftrightarrow {b^4} = 16 \Leftrightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow {a^2} = 9\]

Vậy phương trình elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình của parabol có dạng \[{y^2} = 2px\]. Lúc đó parabol đi qua điểm \[M(25;60)\]. Thay tọa độ điểm \[M\]vào phương trình parabol ta được \[{60^2} = 2p.25 \Rightarrow p = \frac{{{{60}^2}}}{{50}} = 72.\]

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = 144x\].